1 Topologische Räume und stetige Abbildungen Flashcards
(D) Topologie, topologischer Raum, Punkt, offene Mengen, abgeschlossenen Mengen
Sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. Eine Topologie auf der Menge X ist eine Teilmenge O ⊆ P(X), die folgende Axiome erfüllt:
(T1) Die leere Menge ∅ und X sind Elemente von O.
(T2) Jede Vereinigung von Mengen in O ist in O enthalten:
Oi ∈O∀i∈I ⇒ ∪i∈IOi ∈O.
(T3) Jeder endliche Schnitt von Mengen aus O ist in O enthalten:Oi ∈ O ∀i ∈ I, I endlich ⇒ ∩_i∈I Oi ∈ O.
Das Paar (X, O) heißt topologischer Raum, die Elemente von (X, O) heißen Punkte.
Die Mengen in O heißen offene Mengen und die Mengen A ∈ P(X) mit X \ A ∈ O heißen abgeschlossene Mengen.
(L) abgeschlossene Mengen
Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann gilt:
- Die Mengen ∅ und X sind abgeschlossen.
- Jeder Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
- Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(Bsp) Topologien (6)
- diskrete Topologie: X beliebig
Odsk = P(X)
Jede Teilmenge Y ⊆ X ist offen und abgeschlossen bezüglich Odsk. - indiskrete Topologie / Klumpentopologie: X bel.
Oin = {∅,X}
Die Mengen ∅ und X sind auch die einzigen abgeschlossenen Teilmengen von X. - kofinite Topologie: X beliebig
Okof = {O ⊆ X|X \O endlich oder O = ∅} - koabzählbare Topologie:
Okoab = {O ⊆ X | X \ O abzählbar oder O = ∅}
Ist X abzählbar, dann erhält man die diskrete Topologie auf X. - Auf der leeren Menge ∅ und auf jeder einelementigen Menge {m} gibt es jeweils genau eine Topologie, nämlich O∅ = {∅} und O{m} = {∅,{m}} (leerer topologischer Raum und Einpunktraum).
- (X, OX ) topologischer Raum, M ⊆ X Teilmenge. Dann ist die Teilraumtopologie auf M
OM⊆X = OX ∩ M = {U ⊆ M | ∃O ∈ OX mit U = O ∩ M }.
Offene (abgeschlossene) Mengen in (M,OM⊆X) sind die Schnitte offener (abgeschlossener) Mengen in X mit M.
(D) Umgebung, Menge der
Sei (X, O) ein topologischer Raum.
Eine Menge U ⊆ X heißt Umgebung eines Punkts x ∈ X, wenn eine offene Menge O⊆X existiert mit x ∈ O ⊆ U. Die Menge der Umgebungen von x ∈ X wird mit U(x) bezeichnet.
(B) Aussagen über Umgebungen (6)
Für jeden topologischen Raum (X, O_X ) und jeden Punkt x ∈ X gilt:
- (Teilmengen) Ist U eine Umgebung von x in X und U ⊆ V , so ist auch V eine Umgebung von x.
- (offene Mengen) Ist O ⊆ X offen mit x ∈ O, so ist O eine Umgebung von x.
- (Def) Jede Umgebung eines Punktes x ∈ X enthält eine offene Umgebung von x.
- (Vereinigungen) Vereinigungen von Umgebungen eines Punktes x ∈ X sind Umgebungen von x.
- (Schnitte) Endliche Schnitte von Umgebungen eines Punktes x ∈ X sind Umgebungen von x.
- (Def) Eine Teilmenge O ⊆ X ist genau dann offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist.
(Bsp) Hausdorffräume und Umgebungen (3)
- Die diskrete Topologie auf einer Menge X ist hausdorffsch.
- Die indiskrete Topologie auf einer Menge X ist hausdorffsch genau dann, wenn X höchstens ein Element besitzt. Die einzige Umgebung eines Punktes x ∈ X ist X.
- Ist X endlich, so ist die kofinite Topologie auf X die diskrete Topologie auf X und damit hausdorffsch. Ist X unendlich, so ist die kofinite Topologie nicht hausdorffsch.
Die Umgebungen eines Punktes x ∈ X bzgl. der kofiniten Topologie sind genau die offenen Mengen O ⊆ X mit x ∈ O. Denn aus x ∈ O ⊆ U mit O offen, folgt X \ U ⊆ X \ O endlich, und damit ist U offen.
(D) offene/abgeschlossene Kugel, metrische Topologie
Sei (X, d) ein metrischer Raum.
- Die offene/abgeschlossene Kugel vom
Radius r um x ist definiert durch
B_r(x) = {y ∈ X | d(x, y) < r} und B_≤r(x) = {y ∈ X | d(x, y) ≤ r}. - Die metrische Topologie auf X ist die Menge aller Teilmengen O ⊆ X, die zu jedem Punkt x ∈ O auch eine offene Kugel um x enthalten:
O_d = {O ⊆ X | ∀ x ∈ O : ∃ ε>0 mit B_ε(x) ⊆ O}.
(S) offene/abgeschlossene Kugel, metrische Topologie
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt:
- Die metrische Topologie ist eine Topologie auf X.
- Für alle ε > 0 und x ∈ X ist B_ε(x) offen.
- Für alle ε > 0 und x ∈ X ist B_≤ε(x) abgeschlossen.
- X mit der metrischen Topologie ist ein Hausdorffraum.
(Bsp) metrischer Raum (4)
- normierter Vektorraum über R oder C
Jeder normierte Vektorraum (V,||•||) über R oder C ist ein metrischer Raum mit der Metrik
d: V × V → R, d(x,y) = ||x−y||. - R^n mit der p-Norm
R^n mit der p-Norm ist ein metrischer Raum. Für p=2 erhält man die euklidische Metrik. - Teilmenge von R^n mit Einschränkung der euklidischen Metrik, Standardtopologie
Für jede Teilmenge M ⊆ R^n erhält man durch die Einschränkung der euklidischen Metrik einen metrischen Raum. Die zugehörige Topologie nennt man die Standardtopologie auf M. - beliebige Menge mit der diskreten Metrik
Für jede Menge X ist die diskrete Metrik
d : X × X → R, d(x, y) = 1 für x ≠ y, 0 für x = y
eine Metrik auf X. Die zugehörige Topologie ist die diskrete Topologie. Denn für jede Teilmenge U ⊆ X und jeden Punkt x ∈ U gilt B1/2(x) = {x} ⊆ U, und somit sind alle Teilmengen von X offen.
(Bsp) wichtige nicht hausdorffsche Topologie
Die Zariski-Topologie auf K^n ist dadurch definiert, dass die abgeschlossenen Mengen genau die affinen algebraischen Mengen sind:
O_Z = {K^n \ A | A ⊂ K^n affine algebraische Menge}.
(S) äquivalente Metriken
Zwei Metriken d_1, d_2 auf einer Menge X induzieren genau dann die gleiche Topologie auf X, wenn zu jedem Punkt x ∈ X und jedem ε>0 ein δ = δ(x,ε) > 0 ex. mit
d_1(x, y) < δ ⇒ d_2(x, y) < ε und
d_2(x, y) < δ ⇒ d_1(x, y) < ε
In diesem Fall nennt man die Metriken d_1 und d_2 äquivalent.
(D) Inneres, Abschluss, Rand, dicht
- Das Innere M° einer Teilmenge M ⊆ X ist die Vereinigung aller offenen Mengen, die in M enthalten sind:
M° = U_(O⊆X, O⊆M offen) O - Der Abschluss M einer Teilmenge M ⊆ X ist der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten:
M– = ∏_(A⊆X abg., M⊆A) A. - Der Rand ∂M einer Teilmenge M ⊆ X ist ihr Abschluss ohne ihre Inneres: ∂M = M– \ M° .
Wir haben also eine disjunkte Zerlegung X = M° U ∂M U (X \ M). - Eine Teilmenge M ⊆ X heisst dicht in X, wenn M– = X, und nirgends dicht in X, wenn M°– = ∅.
(S) Inneres, Abschluss, Rand
Sei (X, O) ein topologischer Raum und M ⊆ X eine Teilmenge. Dann gilt:
- M° ist offen, M° ⊆ M, und M° = M genau dann, wenn M offen ist.
- M– ist abgeschlossen, M ⊆ M–, und M = M– genau dann, wenn M abgeschlossen ist.
- ∂M ist abgeschlossen, ∂∂M ⊆ ∂M und ∂∂∂M = ∂∂M.
(D) feiner, gröber, nicht vergleichbar
X Menge, O1, O2 ⊆ P(X) Topologien auf X.
Dann heißt O1 feiner als O2 und O2 gröber als O1, wenn O2 ⊆ O1.
Existiert keine Inklusion, dann nennt man die Topologien nicht vergleichbar.
(Bsp) Vergleiche topologischer Räume (3)
- Die diskrete Topologie P(X) ist die feinste Topologie auf einer Menge X, denn für jede Topologie O auf X gilt O ⊆ P(X).
- Die indiskrete Topologie {∅,X} ist die gröbste Topologie auf einer Menge X, denn für jede Topologie O auf X gilt {∅,X} ⊆ O.
- Die kofinite Topologie auf einer Teilmenge X ⊆ Rn ist gröber als die Standardtopologie, da für jede endliche Menge M ⊆ X ist X \ M offen bezüglich der Standardtopologie.
(L) Einbettungssatz von Urysohn
Erfüllt ein topologischer Raum (X, O) das 2. Abzählbarkeitsaxiom, dann existiert eine abzählbare dichte Teilmenge M ⊆ X.
(D) Homomorphismus von topologischen Räumen, Hömoömorphismus
Seien (X, O_X) und (Y, O_Y) topologische Räume.
- Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig oder Homomorphismus von topologischen
Räumen, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist: O ∈ O_Y ⇒ f^−1(O) ∈ O_X. - Eine stetige Abbildung f : X → Y heisst Homöomorphismus oder Isomorphismus von topologischen Räumen wenn sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung f^−1 : Y → X stetig ist. Existiert ein Homöomorphismus f : X → Y, so nennt man die topologischen Räume (X,O_X) und (Y,O_Y) homoöomorph.
(B) Stetigkeit für abgeschlossenen Mengen und Abschluss (2)
- Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn das Urbild f^−1(A) ⊆ X jeder abgeschlossenen Menge A ⊆ Y abgeschlossen ist.
- Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmengen S ⊆ X das Bild des Abschlusses im Abschluss des Bildes enthalten ist:
f(–S) ⊆ –f(S).
(D) offene und abgeschlossene Abbildung
- Eine Abbildung f : X → Y heisst offen, wenn das Bild jeder offenen Teilmenge O ⊆ X
offen ist: O ∈ O_X ⇒ f(O) ∈ O_Y. - Eine Abbildung f : X → Y heißt abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen
Teilmenge A ⊆ X abgeschlossen ist: X\A ∈ O_X ⇒ Y \f(A) ∈ O_Y.
(S) Aussagen zu Homömorphismen und Homomorphismus (4)
Seien (X, O_X), (Y, O_Y) und (Z, O_Z) topologische Räume.
Dann gilt:
- (Identität) Die Identitätsabbildung id_X : X → X, x → x ist ein Homöomorphismus.
- (Verkettungen) Sind f : X→Y und g : Y→Z stetig, so ist auch g ◦ f : X→Z, x → g(f(x)) stetig.
- (Gruppe) Die Homöomorphismen f : X → X bilden eine Gruppe, die Homöomorphismengruppe Homöo(X, O_X).
- (Äquivalenzrelation) Homöomorphie von topologischen Räumen ist eine Äquivalenzrelation.
(B) Homöomorphismen und offen/abgeschlossen (3)
Für eine stetige Abbildung f : X → Y sind äquivalent:
- f ist ein Homöomorphismus.
- f ist bijektiv und offen.
- f ist bijektiv und abgeschlossen.
(D) stetig in einem Punkt
Eine Abbildung f : (X, O_X) → (Y, O_Y) heißt stetig in einem Punkt x ∈ X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f(x) eine Umgebung von x ist:
U ∈ U(f(x)) ⇒ f^−1(U) ∈ U(x).
(S) Zusammenhang lokale und globale Stetigkeit
Sei (X, OX ) und (Y, OY ) topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn sie stetig in allen Punkten x ∈ X ist.
(Übergang zwischen lokaler und globaler Stetigkeit)
(D) Häufungspunkt, Grenzwert, folgenstetig (in einem Punkt)
- Ein Punkt x ∈ X heißt Häufungspunkt einer Folge (xn)_n∈N0 in X, wenn es zu jeder Umgebung U von x unendlich viele n ∈ N0 gibt mit xn ∈ U.
- Ein Punkt x ∈ X heißt Grenzwert einer Folge (x_n)_n∈N0 in X, wenn für jede Umgebung U von x gilt x_n ∈ U für fast alle n ∈ N0.
Besitzt eine Folge (x_n)_n∈N0 einen Grenzwert x ∈ X, so nennt man sie konvergent mit Grenzwert x und schreibt x = lim_n→∞ xn oder x_n → x mit n→∞. - Eine Abbildung f : X → Y heißt folgenstetig in einem Punkt x ∈ X, wenn für alle Folgen (x_n)_n∈N0 die gegen x konvergieren, die Bildfolge (f(x_n))_n∈N0 gegen f(x) ∈ Y konvergiert.
Eine Abbildung f : X → Y heißt folgenstetig, wenn sie folgenstetig in allen Punkten x ∈ X ist.
(S) Folgenstetigkeit und Stetigkeit
Für alle topologischen Räume (X, O_X) und (Y, O_Y) gilt:
- Stetige Abbildungen f : X → Y sind folgenstetig.
- Erfüllt (X, O_X) das 1. Abzählbarkeitsaxiom, so sind folgenstetige Abbildungen f : X → Y auch stetig.
(Bsp) Umgebung (1)
- X beliebig, O diskrete Topologie: Dann ist jede Teilmenge U ⊆ X mit x ∈ U ist eine Umgebung von x ∈ X, da jede dieser Mengen dann die offene Menge {x} enthält (offen bzgl. Odsk)
(D) metrischer Raum, Metrik/Abstandsfunktion
Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) aus einer Menge X und einer Abbildung d : X × X → R, die Metrik oder Abstandsfunktion, das die folgenden Bedin- gungen erfüllt:
(M1) Positivität: d(x,y) ≥ 0 für alle x,y ∈ X und d(x,y) = 0 ⇔ x = y.
(M2) Symmetrie: d(x, y) = d(y, x) für alle x, y ∈ X.
(M3) Dreiecksungleichung: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z ∈ X.
(F) Wie sehen die offenen Bälle B1(0) bezüglich der Metriken dp und d∞ aus?
Sollte ich zeichnen können.
(Bsp) Inneres, Abschluss, Rand
Wir betrachten Q ⊆ R als Teilmenge von R mit der Standardtopologie.
Q° = ø, Q– = R, ∂Q = R,
(D) Subbasis, Basis, 2. Abzählbarkeitsaxiom
(X, O) topologischer Raum. Eine Teilmenge M ⊆ P(X) heißt
- Subbasis der Topologie O, wenn O = ⟨M⟩ gilt.
- Basis der Topologie O, wenn M ⊆ O und jede Menge in O eine Vereinigung von Mengen aus M ist.
Hat ein topologischer Raum eine abzählbare Basis, dann sagt man, er erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom.
(Bsp) Subbasis, Basis
- Basis der Standardtopologie auf R
Die Menge M = {(a,b) ⊆ R | a < b ∈ R} der beschränkten offenen Intervalle ist eine Basis der Standardtopologie auf R (gilt auch für a < b ∈ Q => 2. AA erfüllt). - Subbasis der Standardtopologie auf R
Die Menge M′ = {(−∞,a) | a ∈ R} ∪ {(a,∞)|a ∈ R} ist eine Subbasis der Standardtopologie auf R.
(Bsp) stetige Abbildung, Homöomorphismus (1)
- exp : [0, 1] → S1, x → e2πix ist ein Homöomorphismus (K: [0,1] kompakt, S1 T2, g surjektiv).
- Die Identitätsabbildung ist ein Homöoorphismus.
