1 Topologische Räume und stetige Abbildungen

Question 1

(D) Topologie, topologischer Raum, Punkt, offene Mengen, abgeschlossenen Mengen

Answer 1

Sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. Eine Topologie auf der Menge X ist eine Teilmenge O ⊆ P(X), die folgende Axiome erfüllt:

(T1) Die leere Menge ∅ und X sind Elemente von O.
(T2) Jede Vereinigung von Mengen in O ist in O enthalten:
Oi ∈O∀i∈I ⇒ ∪i∈IOi ∈O.
(T3) Jeder endliche Schnitt von Mengen aus O ist in O enthalten:Oi ∈ O ∀i ∈ I, I endlich ⇒ ∩_i∈I Oi ∈ O.

Das Paar (X, O) heißt topologischer Raum, die Elemente von (X, O) heißen Punkte.

Die Mengen in O heißen offene Mengen und die Mengen A ∈ P(X) mit X \ A ∈ O heißen abgeschlossene Mengen.

Question 2

(L) abgeschlossene Mengen

Answer 2

Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann gilt:

1. Die Mengen ∅ und X sind abgeschlossen.
2. Jeder Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
3. Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Question 3

(Bsp) Topologien (6)

Answer 3

1. diskrete Topologie: X beliebig
   Odsk = P(X)
   Jede Teilmenge Y ⊆ X ist offen und abgeschlossen bezüglich Odsk.
2. indiskrete Topologie / Klumpentopologie: X bel.
   Oin = {∅,X}
   Die Mengen ∅ und X sind auch die einzigen abgeschlossenen Teilmengen von X.
3. kofinite Topologie: X beliebig
   Okof = {O ⊆ X|X \O endlich oder O = ∅}
4. koabzählbare Topologie:
   Okoab = {O ⊆ X | X \ O abzählbar oder O = ∅}
   Ist X abzählbar, dann erhält man die diskrete Topologie auf X.
5. Auf der leeren Menge ∅ und auf jeder einelementigen Menge {m} gibt es jeweils genau eine Topologie, nämlich O∅ = {∅} und O{m} = {∅,{m}} (leerer topologischer Raum und Einpunktraum).
6. (X, OX ) topologischer Raum, M ⊆ X Teilmenge. Dann ist die Teilraumtopologie auf M
   OM⊆X = OX ∩ M = {U ⊆ M | ∃O ∈ OX mit U = O ∩ M }.
   Offene (abgeschlossene) Mengen in (M,OM⊆X) sind die Schnitte offener (abgeschlossener) Mengen in X mit M.

Question 4

(D) Umgebung, Menge der

Answer 4

Sei (X, O) ein topologischer Raum.

Eine Menge U ⊆ X heißt Umgebung eines Punkts x ∈ X, wenn eine offene Menge O⊆X existiert mit x ∈ O ⊆ U. Die Menge der Umgebungen von x ∈ X wird mit U(x) bezeichnet.

Question 5

(B) Aussagen über Umgebungen (6)

Answer 5

Für jeden topologischen Raum (X, O_X ) und jeden Punkt x ∈ X gilt:

1. (Teilmengen) Ist U eine Umgebung von x in X und U ⊆ V , so ist auch V eine Umgebung von x.
2. (offene Mengen) Ist O ⊆ X offen mit x ∈ O, so ist O eine Umgebung von x.
3. (Def) Jede Umgebung eines Punktes x ∈ X enthält eine offene Umgebung von x.
4. (Vereinigungen) Vereinigungen von Umgebungen eines Punktes x ∈ X sind Umgebungen von x.
5. (Schnitte) Endliche Schnitte von Umgebungen eines Punktes x ∈ X sind Umgebungen von x.
6. (Def) Eine Teilmenge O ⊆ X ist genau dann offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist.

Question 6

(Bsp) Hausdorffräume und Umgebungen (3)

Answer 6

1. Die diskrete Topologie auf einer Menge X ist hausdorffsch.
2. Die indiskrete Topologie auf einer Menge X ist hausdorffsch genau dann, wenn X höchstens ein Element besitzt. Die einzige Umgebung eines Punktes x ∈ X ist X.
3. Ist X endlich, so ist die kofinite Topologie auf X die diskrete Topologie auf X und damit hausdorffsch. Ist X unendlich, so ist die kofinite Topologie nicht hausdorffsch.
   Die Umgebungen eines Punktes x ∈ X bzgl. der kofiniten Topologie sind genau die offenen Mengen O ⊆ X mit x ∈ O. Denn aus x ∈ O ⊆ U mit O offen, folgt X \ U ⊆ X \ O endlich, und damit ist U offen.

Question 7

(D) offene/abgeschlossene Kugel, metrische Topologie

Answer 7

Sei (X, d) ein metrischer Raum.

1. Die offene/abgeschlossene Kugel vom
   Radius r um x ist definiert durch
   B_r(x) = {y ∈ X | d(x, y) < r} und B_≤r(x) = {y ∈ X | d(x, y) ≤ r}.
2. Die metrische Topologie auf X ist die Menge aller Teilmengen O ⊆ X, die zu jedem Punkt x ∈ O auch eine offene Kugel um x enthalten:
   O_d = {O ⊆ X | ∀ x ∈ O : ∃ ε>0 mit B_ε(x) ⊆ O}.

Question 8

(S) offene/abgeschlossene Kugel, metrische Topologie

Answer 8

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt:

1. Die metrische Topologie ist eine Topologie auf X.
2. Für alle ε > 0 und x ∈ X ist B_ε(x) offen.
3. Für alle ε > 0 und x ∈ X ist B_≤ε(x) abgeschlossen.
4. X mit der metrischen Topologie ist ein Hausdorffraum.

Question 9

(Bsp) metrischer Raum (4)

Answer 9

1. normierter Vektorraum über R oder C
   Jeder normierte Vektorraum (V,||•||) über R oder C ist ein metrischer Raum mit der Metrik
   d: V × V → R, d(x,y) = ||x−y||.
2. R^n mit der p-Norm
   R^n mit der p-Norm ist ein metrischer Raum. Für p=2 erhält man die euklidische Metrik.
3. Teilmenge von R^n mit Einschränkung der euklidischen Metrik, Standardtopologie
   Für jede Teilmenge M ⊆ R^n erhält man durch die Einschränkung der euklidischen Metrik einen metrischen Raum. Die zugehörige Topologie nennt man die Standardtopologie auf M.
4. beliebige Menge mit der diskreten Metrik
   Für jede Menge X ist die diskrete Metrik
   d : X × X → R, d(x, y) = 1 für x ≠ y, 0 für x = y
   eine Metrik auf X. Die zugehörige Topologie ist die diskrete Topologie. Denn für jede Teilmenge U ⊆ X und jeden Punkt x ∈ U gilt B1/2(x) = {x} ⊆ U, und somit sind alle Teilmengen von X offen.

Question 10

(Bsp) wichtige nicht hausdorffsche Topologie

Answer 10

Die Zariski-Topologie auf K^n ist dadurch definiert, dass die abgeschlossenen Mengen genau die affinen algebraischen Mengen sind:
O_Z = {K^n \ A | A ⊂ K^n affine algebraische Menge}.

Question 11

(S) äquivalente Metriken

Answer 11

Zwei Metriken d_1, d_2 auf einer Menge X induzieren genau dann die gleiche Topologie auf X, wenn zu jedem Punkt x ∈ X und jedem ε>0 ein δ = δ(x,ε) > 0 ex. mit

d_1(x, y) < δ ⇒ d_2(x, y) < ε und
d_2(x, y) < δ ⇒ d_1(x, y) < ε

In diesem Fall nennt man die Metriken d_1 und d_2 äquivalent.

Question 12

(D) Inneres, Abschluss, Rand, dicht

Answer 12

1. Das Innere M° einer Teilmenge M ⊆ X ist die Vereinigung aller offenen Mengen, die in M enthalten sind:
   M° = U_(O⊆X, O⊆M offen) O
2. Der Abschluss M einer Teilmenge M ⊆ X ist der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten:
   M– = ∏_(A⊆X abg., M⊆A) A.
3. Der Rand ∂M einer Teilmenge M ⊆ X ist ihr Abschluss ohne ihre Inneres: ∂M = M– \ M° .
   Wir haben also eine disjunkte Zerlegung X = M° U ∂M U (X \ M).
4. Eine Teilmenge M ⊆ X heisst dicht in X, wenn M– = X, und nirgends dicht in X, wenn M°– = ∅.

Question 13

(S) Inneres, Abschluss, Rand

Answer 13

Sei (X, O) ein topologischer Raum und M ⊆ X eine Teilmenge. Dann gilt:

1. M° ist offen, M° ⊆ M, und M° = M genau dann, wenn M offen ist.
2. M– ist abgeschlossen, M ⊆ M–, und M = M– genau dann, wenn M abgeschlossen ist.
3. ∂M ist abgeschlossen, ∂∂M ⊆ ∂M und ∂∂∂M = ∂∂M.

Question 14

(D) feiner, gröber, nicht vergleichbar

Answer 14

X Menge, O1, O2 ⊆ P(X) Topologien auf X.

Dann heißt O1 feiner als O2 und O2 gröber als O1, wenn O2 ⊆ O1.

Existiert keine Inklusion, dann nennt man die Topologien nicht vergleichbar.

Question 15

(Bsp) Vergleiche topologischer Räume (3)

Answer 15

1. Die diskrete Topologie P(X) ist die feinste Topologie auf einer Menge X, denn für jede Topologie O auf X gilt O ⊆ P(X).
2. Die indiskrete Topologie {∅,X} ist die gröbste Topologie auf einer Menge X, denn für jede Topologie O auf X gilt {∅,X} ⊆ O.
3. Die kofinite Topologie auf einer Teilmenge X ⊆ Rn ist gröber als die Standardtopologie, da für jede endliche Menge M ⊆ X ist X \ M offen bezüglich der Standardtopologie.

Question 16

(L) Einbettungssatz von Urysohn

Answer 16

Erfüllt ein topologischer Raum (X, O) das 2. Abzählbarkeitsaxiom, dann existiert eine abzählbare dichte Teilmenge M ⊆ X.

Question 17

(D) Homomorphismus von topologischen Räumen, Hömoömorphismus

Answer 17

Seien (X, O_X) und (Y, O_Y) topologische Räume.

1. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig oder Homomorphismus von topologischen
   Räumen, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist: O ∈ O_Y ⇒ f^−1(O) ∈ O_X.
2. Eine stetige Abbildung f : X → Y heisst Homöomorphismus oder Isomorphismus von topologischen Räumen wenn sie bijektiv und ihre Umkehrabbildung f^−1 : Y → X stetig ist. Existiert ein Homöomorphismus f : X → Y, so nennt man die topologischen Räume (X,O_X) und (Y,O_Y) homoöomorph.

Question 18

(B) Stetigkeit für abgeschlossenen Mengen und Abschluss (2)

Answer 18

1. Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn das Urbild f^−1(A) ⊆ X jeder abgeschlossenen Menge A ⊆ Y abgeschlossen ist.
2. Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn für alle Teilmengen S ⊆ X das Bild des Abschlusses im Abschluss des Bildes enthalten ist:
   f(–S) ⊆ –f(S).

Question 19

(D) offene und abgeschlossene Abbildung

Answer 19

1. Eine Abbildung f : X → Y heisst offen, wenn das Bild jeder offenen Teilmenge O ⊆ X
   offen ist: O ∈ O_X ⇒ f(O) ∈ O_Y.
2. Eine Abbildung f : X → Y heißt abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen
   Teilmenge A ⊆ X abgeschlossen ist: X\A ∈ O_X ⇒ Y \f(A) ∈ O_Y.

Question 20

(S) Aussagen zu Homömorphismen und Homomorphismus (4)

Answer 20

Seien (X, O_X), (Y, O_Y) und (Z, O_Z) topologische Räume.
Dann gilt:

1. (Identität) Die Identitätsabbildung id_X : X → X, x → x ist ein Homöomorphismus.
2. (Verkettungen) Sind f : X→Y und g : Y→Z stetig, so ist auch g ◦ f : X→Z, x → g(f(x)) stetig.
3. (Gruppe) Die Homöomorphismen f : X → X bilden eine Gruppe, die Homöomorphismengruppe Homöo(X, O_X).
4. (Äquivalenzrelation) Homöomorphie von topologischen Räumen ist eine Äquivalenzrelation.

Question 21

(B) Homöomorphismen und offen/abgeschlossen (3)

Answer 21

Für eine stetige Abbildung f : X → Y sind äquivalent:

1. f ist ein Homöomorphismus.
2. f ist bijektiv und offen.
3. f ist bijektiv und abgeschlossen.

Question 22

(D) stetig in einem Punkt

Answer 22

Eine Abbildung f : (X, O_X) → (Y, O_Y) heißt stetig in einem Punkt x ∈ X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f(x) eine Umgebung von x ist:
U ∈ U(f(x)) ⇒ f^−1(U) ∈ U(x).

Question 23

(S) Zusammenhang lokale und globale Stetigkeit

Answer 23

Sei (X, OX ) und (Y, OY ) topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn sie stetig in allen Punkten x ∈ X ist.

(Übergang zwischen lokaler und globaler Stetigkeit)

Question 24

(D) Häufungspunkt, Grenzwert, folgenstetig (in einem Punkt)

Answer 24

1. Ein Punkt x ∈ X heißt Häufungspunkt einer Folge (xn)_n∈N0 in X, wenn es zu jeder Umgebung U von x unendlich viele n ∈ N0 gibt mit xn ∈ U.
2. Ein Punkt x ∈ X heißt Grenzwert einer Folge (x_n)_n∈N0 in X, wenn für jede Umgebung U von x gilt x_n ∈ U für fast alle n ∈ N0.
   Besitzt eine Folge (x_n)_n∈N0 einen Grenzwert x ∈ X, so nennt man sie konvergent mit Grenzwert x und schreibt x = lim_n→∞ xn oder x_n → x mit n→∞.
3. Eine Abbildung f : X → Y heißt folgenstetig in einem Punkt x ∈ X, wenn für alle Folgen (x_n)_n∈N0 die gegen x konvergieren, die Bildfolge (f(x_n))_n∈N0 gegen f(x) ∈ Y konvergiert.
   Eine Abbildung f : X → Y heißt folgenstetig, wenn sie folgenstetig in allen Punkten x ∈ X ist.

Question 25

(S) Folgenstetigkeit und Stetigkeit

Answer 25

Für alle topologischen Räume (X, O_X) und (Y, O_Y) gilt:

1. Stetige Abbildungen f : X → Y sind folgenstetig.
2. Erfüllt (X, O_X) das 1. Abzählbarkeitsaxiom, so sind folgenstetige Abbildungen f : X → Y auch stetig.

Question 26

(Bsp) Umgebung (1)

Answer 26

1. X beliebig, O diskrete Topologie: Dann ist jede Teilmenge U ⊆ X mit x ∈ U ist eine Umgebung von x ∈ X, da jede dieser Mengen dann die offene Menge {x} enthält (offen bzgl. Odsk)

Question 27

(D) metrischer Raum, Metrik/Abstandsfunktion

Answer 27

Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) aus einer Menge X und einer Abbildung d : X × X → R, die Metrik oder Abstandsfunktion, das die folgenden Bedin- gungen erfüllt:

(M1) Positivität: d(x,y) ≥ 0 für alle x,y ∈ X und d(x,y) = 0 ⇔ x = y.

(M2) Symmetrie: d(x, y) = d(y, x) für alle x, y ∈ X.

(M3) Dreiecksungleichung: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z ∈ X.

Question 28

(F) Wie sehen die offenen Bälle B1(0) bezüglich der Metriken dp und d∞ aus?

Answer 28

Sollte ich zeichnen können.

Question 29

(Bsp) Inneres, Abschluss, Rand

Answer 29

Wir betrachten Q ⊆ R als Teilmenge von R mit der Standardtopologie.

Q° = ø, Q– = R, ∂Q = R,

Question 30

(D) Subbasis, Basis, 2. Abzählbarkeitsaxiom

Answer 30

(X, O) topologischer Raum. Eine Teilmenge M ⊆ P(X) heißt

1. Subbasis der Topologie O, wenn O = ⟨M⟩ gilt.
2. Basis der Topologie O, wenn M ⊆ O und jede Menge in O eine Vereinigung von Mengen aus M ist.

Hat ein topologischer Raum eine abzählbare Basis, dann sagt man, er erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom.

Question 31

(Bsp) Subbasis, Basis

Answer 31

1. Basis der Standardtopologie auf R
   Die Menge M = {(a,b) ⊆ R | a < b ∈ R} der beschränkten offenen Intervalle ist eine Basis der Standardtopologie auf R (gilt auch für a < b ∈ Q => 2. AA erfüllt).
2. Subbasis der Standardtopologie auf R
   Die Menge M′ = {(−∞,a) | a ∈ R} ∪ {(a,∞)|a ∈ R} ist eine Subbasis der Standardtopologie auf R.

Question 32

(Bsp) stetige Abbildung, Homöomorphismus (1)

Answer 32

1. exp : [0, 1] → S1, x → e2πix ist ein Homöomorphismus (K: [0,1] kompakt, S1 T2, g surjektiv).
2. Die Identitätsabbildung ist ein Homöoorphismus.