3 Konstruktion von topologischen Räumen

Question 1

(D) Initialtopologie, Finaltopologie

Answer 1

1. Die durch eine Familie (fi)i∈I von Abbildungen fi : X → Yi induzierte Initialtopologie auf X, ist die von den Urbildern aller offenen Mengen in Yi erzeugte Topologie auf X:
   O_ini = ⟨∪i∈I{f−1(O)|O ∈ Oi}⟩.
2. Die durch eine Familie (gi)i∈I von Abbildungen gi : Yi → X induzierte Finaltopologie auf X besteht aus den Mengen, deren Urbilder offen sind
   O_fin ={O⊆X|g−1(O)∈Oi∀i∈I}.

Question 2

(D) Teilraumtopologie, Einbettung

Answer 2

(X, OX), (W, OW) topologische Räume, M ⊆ X Teilmenge, ι : M → X, m → m Inklusionsabbildung.

1. Die Teilraumtopologie O_M⊆X ist die von ι induzierte Initialtopologie ι*OX auf M.
2. Eine Abbildung f : W → X heißt Einbettung von (W, OW) in (X, OX), wenn sie injektiv ist und OW die von f induzierte Initialtopologie f*OX auf W ist.

Question 3

(D) Quotiententopologie, Identifizierung

Answer 3

Seien (X,OX), (Y,OY) topologische Räume, ∼ eine Äquivalenzrelationauf X und π : X → X/ ∼, x → [x] die kanonische Surjektion.

1. Die Quotiententopologie O∼ auf X/∼ ist die von π induzierte Finaltopologie auf X/∼.
2. Eine Abbildung f : X → Y heißt Identifizierung, wenn sie surjektiv ist und OY die von f induzierte Finaltopologie auf Y ist.

Question 4

(D) Produkttopologie, Produkt, Summentopologie, Summe

Answer 4

1. Die Produkttopologie auf der Menge ×i Xi ist die von den Projektionsabbildungen π_j : ×i Xi → Xj , xi → xj induzierte Initialtopologie auf ×i Xi. Man bezeichnet diesen topologischen Raum als das Produkt der Räume (Xi,Oi) und mit Πi∈IXi.
2. Die Summentopologie auf U°i Xi ist die von den Inklusionsabbildungen ι_j : Xj → U°i Xi, x → (x, j) induzierte Finaltopologie auf U°i Xi. Man bezeichnet diesen topologischen Raum als die Summe der Räume (Xi, Oi) und mit ⨿i Xi.

Ist I = {1,…,n}, so schreibt man auch X1 ×···×Xn := Πi Xi und X1 +···+Xn := ⨿i Xi.

Question 5

(D) topologische Gruppe

Answer 5

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe (G, ◦), zusammen mit einer Topologie O auf G, so dass die Gruppenmultiplikation ◦ : G × G → G und die Inversion i : G → G, g → g^−1 stetig sind.

Question 6

(D) topologischer Vektorraum

Answer 6

Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum (V, +, ·) ü̈ber K = R oder K = C mit einer Topologie O, so dass die Vektoraddition + : V × V → V und die Skalarmultiplikation · : K × V → V stetig sind bezüglich O, der Produkttopologie auf V × V und der durch O und die Standardtopologie auf K induzierten Produkttopologie auf K × V .

Question 7

(D) Pullback, Faserprodukt

Answer 7

(X1,O1), (X2,O2), (B,OB) topologische Räume, pi : Xi → B für i ∈ {1, 2} stetig. Dann heißt der topologische Raum

X1 ×B X2 = {(x1,x2)∈X1 ×X2 | p1(x1) = p2(x2)} ⊆ X1 ×X2

mit der von der Produkttopologie auf X1 × X2 induzierten Teilraumtopologie der Pullback oder Faserprodukt von X1 und X2 entlang pi : Xi → B.

Question 8

(D) Pushout

Answer 8

X1, X2, A topologische Räume, ji : A → Xi stetig. Dann heißt der topologische Raum

X1 +A X2 = (X1+X2)/∼

mit der Äquivalenzrelation ι1 ◦ j1(a) ∼ ι2 ◦ j2(a) ∀a∈A und der von der Summentopologie auf X1 + X2 induzierten Quotiententopologie der Pushout von X1 und X2 entlang ji : A → Xi.

Question 9

(D) topologische Mannigfaltigkeit

Answer 9

Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension n ∈ N0 ist ein Hausdorffraum (X, O), der lokal homöomorph zum Rn ist: zu jedem Punkt x ∈ X gibt es eine offene Umgebung x ∈ Ux ∈ O und einen Homöomorphismus φx : Ux → Vx auf eine offene Teilmenge Vx ⊆ Rn.

Ein Beispiel für eine topologische Mannigfaltigkeit ist der reell projektive Raum RP^n (H9.3).

Question 10

(D) Reell projektiver Raum, Eigenschaften

Answer 10

Der reell projektive Raum RP^n ist der Quotient RP^n = Sn/∼ der n-Sphäre Sn bezüglich der Äquivalenzrelation x ∼ y ⇔ y ∈ {±x}, die die Antipodenpunkte identifiziert.

• RP^n ist topologische Mannigfaltigkeit

Question 11

(Bsp) Quotientenräume

Answer 11

1. S1
   Der Quotientenraum [0, 1]/{0, 1} ist homöomorph zu S1, denn exp : [0, 1] → S1, x → e2πix induziert nach 4.1.7 einen Homöomorphismus.
2. Zylindermantel
   Der Quotientenraum [0, 1]×2/∼ mit (0, y) ∼ (1, y) ist homöomorph zum Zylindermantel Z = S1 × [0,1] ⊆ C × [0,1], denn g : [0,1]×2 → Z, (x,y) → (e2πix,y) induziert nach 4.1.7 einen Homöomorphismus.
3. Möbiusband
   Der Quotientenraum M = [0, 1]^2 / ∼ mit (0, y) ∼ (1, 1 − y) ist das Möbiusband.
4. Torus
   Der Quotientenraum T = [0, 1]×2 / ∼ mit (0, y) ∼ (1, y) und (x, 0) ∼ (x, 1) ist der Torus.