2 Zusammenhang und Trennung

Question 1

(D) zusammenhängend, lokal zusammenhängend

Answer 1

1. Ein topologischer Raum (X, O) heißt zusammenhängend, wenn er keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen besitzt:
   X = O1 ∪ O2 mit O1,O2∈O, O1 ∩ O2= ∅ ⇒ O1 = ∅ oder O2 = ∅.
2. Ein topologischer Raum (X, O) heißt lokal zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes x ∈ X eine zusammenhängende Umgebung von x enthält.

Question 2

(B) Zusammenhang - äquivalente Aussagen

Answer 2

Ein topologischer Raum (X, O) ist genau dann zusammenhängend, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. X besitzt keine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen.
2. X und ∅ sind die einzigen Teilmengen von X, die offen und abgeschlossen sind.

Question 3

(Bsp) (nicht) zusammenhängende Räume (3)

Answer 3

1. Ist X eine Menge mit mindestens zwei Elementen, so ist X mit der diskreten Topologie nicht zusammenhängend, denn fu ̈r jeden Punkt x ∈ X sind O1 = {x} und O2 = X \ {x} disjunkte, nichtleere offene Mengen mit O1 ∪ O2 = X.
2. Eine Menge X mit der indiskreten Topologie, der leere topologische Raum und der Einpunktraum aus Beispiel 1.1.4 sind zusammenhängend. Denn in diesen topologischen Räumen gibt es höchstens eine nichtleere offene Menge.
3. Q ⊆ R mit der Teilraumtopologie ist nicht zusammenhängend, denn für x ∈ R \ Q sind O1 = (−∞,x)∩Q und O2 = (x,∞)∩Q disjunkte, in Q offene Mengen mit O1 ∪O2 = Q.

Question 4

(Bsp) zusammenhängende Teilmengen von R

Answer 4

Eine Teilmenge M ⊆ R mit der Standardtopologie ist genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist, also wenn aus x1, x2 ∈ M mit x1 < x2 folgt [x1, x2] ⊆ M.

Question 5

(S) Verhalten von Zusammenhang unter bestimmten Operationen

Answer 5

1. (konstante Abbildung) Ein topologischer Raum (X,OX) ist genau dann zusammenhängend, wenn jede stetige Abbildung f : (X, OX ) → ({1, 2}, P ({1, 2})) konstant ist.
2. (Bild) Ist (X, OX ) zusammenhängend und f : (X, OX ) → (Y, OY ) stetig, so ist auch das Bild f(X) ⊆ Y zusammenhängend.
3. Ist (Mi)i∈I eine Familie zusammenhängender Teilräume eines topologischen Raums (X,OX) mit Mi∩Mj ≠ ø für alle i,j∈I, so ist auch Ui∈Mi ⊆ X zusammenhängend.

Question 6

(Bsp) Beispiele zusammenhängender topologischer Räume

Answer 6

1. (Kreis) Der Kreis S1 = {z ∈ C | |z| = 1} ist zusammenha ̈ngend als Bild des Intervalls [0, 1] unter der stetigen Abbildung exp : [0, 1] → S1, x 􏰀→ e2πix.
2. (Homöomorphie) Sind (X,OX) und (Y,OY) homo ̈omorphe topologische Ra ̈ume, so ist nach Satz 2.1.5, 2. (X, OX ) zusammenha ̈ngend genau dann, wenn (Y, OY ) zusammenha ̈ngend ist.
3. (Gerade mit rationaler Steigung) Die Vereinigung aller Geraden durch den Ursprung im R2 mit rationaler Steigung M ={(x1,x2)∈R2|∃q∈Q: x2 =qx1}⊆R2
   ist zusammenha ̈ngend. Denn es gilt M = ∪q∈QMq mit Mq = {(x1,x2) ∈ R|x2 = qx1}. Alle Geraden Mq sind zusammenha ̈ngend, da sie homo ̈omorph zu R sind, und es gilt (0,0)∈Mq fu ̈ralleq∈Q.

Question 7

(D) Weg, wegzusammenhängend, lokal wegzusammenhängend

Answer 7

Sei (X, O) ein topologischer Raum.
1. Ein Weg in X von x∈X nach x′∈X ist eine stetige Abbildung γ : [0,1] → X mit
γ(0) = x und γ(1) = x′.

2. (X, O) heißt wegzusammenhängend, wenn es zu zwei Punkten x, x′ ∈ X immer einen
   Weg γ : [0,1] → X mit γ(0) = x und γ(1) = x′ gibt.
3. (X, O) heißt lokal wegzusammenhängend, wenn jede Umgebung U ⊆ X eines Punktes
   x ∈ X eine wegzusammenhängende Umgebung V ⊆ X von x enthält.

Question 8

(S) Verbindung zwischen (lokal) zusammenhängend und (lokal) wegzusammenhängend (3)

Answer 8

1. Wegzusammenhängende topologische Räume sind zusammenhängend.
2. Lokal wegzusammenhängende topologische Räume sind lokal zusammenhängend.
3. Stetige Bilder wegzusammenhängender Räume sind wegzusammenhängend.

Question 9

(Bsp) Besenraum, Eigenschaften

Answer 9

Der Besenraum ist die Teilmenge

B=([0,1] × {0}) U (Un∈N Bn) mit Bn = {(t,t/n) | t ∈ [0,1]} ⊆ R2

mit der Teilraumtopologie.

Er ist zusammenhängend und wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend oder lokal zusammenhängend.

sternförmig bezüglich dem Nullpunkt
sternfömig => wegzusammenhängend => zusammenhängend

global wegzusammenh./ zusammenh ≠> lokale Varianten

Question 10

(Bsp) Sinusraum, Eigenschaften

Answer 10

Der Sinusraum ist die Teilmenge
S = {(x, sin(1/x)) | 0 ≠ x ∈ R} ∪ {(0, 0)} ⊆ R2
mit der Teilraumtopologie.

Er ist zusammenhängend, aber weder lokal zusammenhängend noch wegzusammenhängend noch lokal wegzusammenhängend.

Question 11

(S) Zusammenhangskomponente, Wegkomponente

Answer 11

Für jeden topologischen Raum (X,OX) erhält man Äquivalenzrelationen auf X

x ∼C y ⇔ es gibt einen zusammenhängenden Teilraum M ⊆ X mit x, y ∈ M

x ∼W y ⇔ es gibt einen Weg γ : [0,1] → X mit γ(0) = x und γ(1) = y.

Die Äquivalenzklasse C(x) von x ∈ X bezüglich ∼C heißt Zusammenhangskomponente von x, die Äquivalenzklasse W(x) von x bezüglich ∼W Wegkomponente von x.

Mit diesem Äquivalenzklassen haben wir unsere intuitive Vorstellung von Komponenten nun mathematisch gefasst.

Question 12

(F) topologischer Raum als Vereinigung von Zusammenhangskomponenten/Wegkomponenten

Answer 12

Jeder topologische Raum ist die disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten und die disjunkte Vereinigung seiner Wegkomponenten. Da wegzusammenhängende Teilräume M ⊆ X auch immer zusammenhängend sind, gilt ausserdem W(x) ⊆ C(x) für alle x ∈ X.

Question 13

(Bsp) Zusammenhangskomponente, Wegkomponente (2)

Answer 13

1. Die Wegkomponenten und Zusammenhangskomponenten des Teilraums Q ⊆ R sind genau die Mengen {q} mit q ∈ Q. Sie sind abgeschlossen, aber nicht offen.
2. Der Sinusraum S besitzt nur eine Zusammenhangskomponente, nämlich S selbst. Seine Wegkomponenten sind genau die Mengen S+, S− und {(0,0)}. Die Wegkomponente {(0, 0)} ist abgeschlossen, die Wegkomponenten S± sind offen.

Question 14

(S) Zusammenhangskomponente/Wegkomponente als Vereinigung (4)

Answer 14

Für jeden topologischen Raum (X, OX) und jeden Punkt x ∈ X gilt:

1. Die Zusammenhangskomponente C(x) ist die Vereinigung aller zusammenhängenden Mengen M ⊆ X mit x ∈ M. Sie ist abgeschlossen und zusammenhängend.
2. Ist (X, OX) lokal zusammenhängend, so ist C(x) auch offen. (Da Umgebung all ihrer Punkte)
3. Die Wegkomponente W(x) ist die Vereinigung aller wegzusammenhängenden Mengen M ⊆ X mit x ∈ M. Sie ist wegzusammenhängend.
4. Ist (X,OX) lokal wegzusammenhängend, so gilt W(x) = C(x) für alle x ∈ X, und die Wegkomponente W(x) = C(x) ist offen und abgeschlossen.

Question 15

(K) Wann ist ein lokal wegzusammenhängender topologischer Raum auch wegzusammenhängend?

Answer 15

Ein lokal wegzusammenhängender topologischer Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist.

Question 16

(K) Teilmengen als Vereinigung von Zusammenhangskomponenten

Answer 16

Teilmenge eines topologischen Raums (X,OX), die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, sind eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von X.

Question 17

(D) Trennungsaxiome (7)

Answer 17

Ein topologischer Raum (X, O) heißt:

1. T0-Raum, wenn zu je zwei verschiedenen Punkten x1, x2 ∈ X eine offene Menge O ⊆ X existiert, die nur einen von beiden enthält.
2. T1-Raum, wenn zu je zwei verschiedenen Punkten x1, x2 ∈ X eine offene Menge O ⊆ X existiert, die x1, aber nicht x2 enthält.
3. T2-Raum oder Hausdorffraum, wenn zu je zwei verschiedenen Punkten x1,x2 ∈ X disjunkte offene Teilmengen O1, O2 ⊆ X existieren, mit x1 ∈ O1 und x2 ∈ O2.
4. T3-Raum, wenn zu jedem Punkt x ∈ X und jeder abgeschlossenen Menge A ⊆ X mit x ∈/ A disjunkte offene Teilmengen Ox, OA ⊆ X existieren mit x ∈ Ox, A ⊆ OA.
5. T4-Raum, wenn zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A1, A2 ⊆ X disjunkte
   offene Teilmengen O1, O2 ⊆ X existieren mit Ai ⊆ Oi fu ̈r i = 1, 2.
6. regulärer Raum, wenn er ein T1-Raum und ein T3-Raum ist.
7. normaler Raum, wenn er ein T2-Raum und ein T4-Raum ist.

Question 18

(Bsp) Beispiele von T_k-Räumen

Answer 18

1. ## Die Menge R mit der Topologie O = {(−∞, a) | a ∈ R} U {∅, R} erfüllt T0, aber nicht T1x, y ∈ R mit x < y ist (−∞, y) eine offene Menge, die x, aber nicht y enthält. Aber jede offene Menge, die y enthält, enthält auch x.
2. ## Eine unendliche Menge X mit der kofiniten Topologie erfüllt T1, aber nicht T2.T1: Oi := X{xi} offen; nicht T2: Seien O1, O2 ≠ ø offen mit O1 \inter O2 = ø. Dann ist O1 ⊆ X\O2 und X\O1 endlich. Also auch X = O1 U X\O1.
3. ## Jeder metrische Raum (X, d) mit der metrischen Topologie ist normal.T2: x,y ∈ X mit x ≠ y, so folgt ε := d(x,y) > 0. Bε/2(x) und Bε/2(y) offene Mengen. Ihr Schnitt ist leer: Sei z ∈ Bε/2(x), dann folgt mit der Dreiecksungleichung … Also z /∈ Bε/2(x).
   T4:
4. Für ein Beispiel eines T3-Raums siehe (3), da normal => T3.
5. Für ein Beispiel eines T4-Raums siehe (3).

Question 19

(L) Lemma von Urysohn

Answer 19

Ein Hausdorffraum (X, O) ist genau dann normal, wenn zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Mengen A1, A2 ⊆ X eine stetige Abbildung f : X → [0,1] mit f(x) = 0 für alle x ∈ A1 und f(x) = 1 für alle x ∈ A2 existiert. Eine solche Abbildung heißt Urysohn-Funktion.

Mit Hilfe des Lemmas von Urysohn kann man nun für jede stetige reellwertige Funktion auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen topologischen Raums eine stetige Fortsetzung auf dem ganzen Raum konstruieren.

Question 20

(S) Fortsetzungsatz von Tietze

Answer 20

Sei (X, O) ein normaler topologischer Raum, A ⊆ X abgeschlossen und f : A → R stetig. Dann gibt es eine stetige Abbildung F : X → R mit F|A = f.

Beweis:

1. f (A) ⊆ [−1, 1]
   - per Induktion eine Folge von Treppenfunktionen konstruieren
   - Folge ist auf dem ganzen Raum definiert und approximiert f auf dem Teilraum A
   - Folge wird mithilfe von Urysohn-Funktionen konstruiert
   - Folge bildet eine gleichmäßig konvergente Reihe
2. f : A → R beliebig
   - (Bsp) => Homöo φ : R → (−1,1)
   - mit (1) erhält man F’ : X → R mit F’|A = φ f
   - Multiplikation von F’ mit Urysohnfunktion (F’‘=h*F’) und anschließender Verkettung mit φ−1 (F=φ−1◦F’’) liefert gesuchte Funktion F

Question 21

(L) Teilräume von Tk-Räumen

Answer 21

Sei (X,O) ein Tk-Raum mit k ∈ {0,1,2,3}. Dann ist auch jede Teilmenge M ⊆ X mit der Teilraumtopologie ein Tk-Raum.

Ist k=4, dann ist jede abgeschlossene Teilmenge M ⊆ X mit der Teilraumtopologie ein Tk-Raum (H5.3).

Question 22

(B) Tk-Raum-Implikationen

Answer 22

1. T2 → T1 → T0 (offensichtlich)
2. Gilt T1, dann gilt T4 → T3 → T2 (Beweis fehlt noch)
3. normal → T0, T1, T2, T3, T4
4. regulär → T0, T1, T2, T3
5. normal → regulär

Question 23

(F) Wann ist ein T2-Raum auch T4?

Answer 23

Das Lemma von Urysohn sagt uns, wann genau ein T2-Raum auch T4 ist.

Question 24

(F) Wozu verwendet man das Lemma von Urysohn?

Answer 24

Mit Hilfe des Lemmas von Urysohn kann man für jede stetige reellwertige Funktion auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen topologischen Raums eine stetige Fortsetzung auf dem ganzen Raum konstruieren (= Tietze).

Question 25

…

Answer 25

Jeder lokalkompakte Hausdorffraum ist regulär.