5 Kategorien und Funktoren Flashcards
(D) Kategorie, Objekt, Morphismus, Kompositionsabbildung, Quelle, Ziel, Isomorphismus
Eine Kategorie C besteht aus drei Dingen:
- aus einer Klasse ObC von Objekten,
- für je zwei Objekte X, Y ∈ ObC aus einer Menge HomC(X,Y) von Morphismen,
- für je drei Objekte X, Y, Z aus einer Kompositionsabbildung
◦ : HomC(Y, Z) × HomC(X, Y) → HomC(X, Z), (g,f) → g◦f,
sodass die folgenden Axiome erfüllt sind:
(K1) Die Morphismenmengen HomC (X, Y ) sind paarweise disjunkt.
(K2) Die Komposition ist assoziativ: f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h für alle Objekte W, X, Y, Z und Morphismen h ∈ HomC(W,X), g ∈ HomC(X,Y), f ∈ HomC(Y,Z).
(K3) Für jedes Objekt X exsitiert ein Morphismus 1X ∈ HomC(X,X), der Identitätsmorphismus auf X, mit 1X ◦ f = f und g ◦ 1X = g für alle f ∈ HomC(W, X), g ∈ HomC(X, Y).
Statt f ∈ HomC(X,Y) schreibt man auch f : X → Y. Das Objekt X heißt dann Quelle und das Objekt Y Ziel des Morphismus f.
Ein Morphismus f : X → Y heißt Isomorphismus, wenn ein Morphismus g : Y → X mit g ◦ f = 1X und f ◦ g = 1Y existiert. Die Objekte X und Y heißen dann isomorph.
(D) Funktor, Endofunktor, kontravarianter Funktor, Verkettung
B, C, D Kategorien. Ein Funktor F : C → D besteht aus zwei Dingen:
- einer Zuordnung X → F(X) zwischen zwei Objekten X ∈ ObC und F(X) ∈ ObD und
- einer Abbildung HomC(X,Y) → HomD(F(X),F(Y)), f →F(f).
Diese sind kompatibel mit der Komposition und den Identitätsmorphismen:
F(f◦g)=F(f)◦F(g) ∀f ∈HomC(X,Y),g∈HomC(W,X)
F(1X) = 1F(X) ∀X ∈ ObC.
Ein Endofunktor ist ein Funktor F : C → C.
Ein kontravarianter Funktor von C nach D ist ein Funktor F : C^op → D.
Die Verkettung zweier Funktoren F : C → D und G : B → C ist der Funktor FG : B → D mit der Zuordnung X → F(G(X)) für alle Objekte X ∈ ObB und den Abbildungen
FG: HomB(X,Y) → HomD(F(G(X)),F(G(Y))), f → F(G(f)).
(D) Produkt, Koprodukt mit universellen Eigenschaften
C Kategorie, (Xi)i∈I Familie von Objekten in C.
- Ein Produkt der Objekte Xi ist ein Objekt Πi∈IXi in C zusammen mit einer Familie (πi)i∈I von Morphismen πi : Πj∈I Xj → Xi, so dass für jede Familie (fi)i∈I von Morphismen fi : W → Xi in C genau ein Morphismus f : W → Πi∈IXi existiert, so dass für alle i ∈ I das folgende Diagramm kommutiert […].
Dies wird als die universelle Eigenschaft des Produkts bezeichnet.
- Ein Koprodukt der Objekte Xi ist ein Objekt ⨿i∈IXi in C zusammen mit einer Familie (ιi)i∈I von Morphismen ιi : Xi → ⨿j∈IXj, sodass zu jeder Familie (gi)i∈I von Morphismen gi : Xi → W ein eindeutig bestimmter Morphismus g : ⨿i∈I Xi → W existiert, so dass für alle i ∈ I das folgende Diagramm kommutiert […].
Dies wird als die universelle Eigenschaft des Koprodukts bezeichnet. Ist I = {1,…,n}, so schreibt man auch X1×…×Xn = Πi∈IXi und X1+…+Xn =⨿i∈IXi
(D) final/terminal, kofinal/initial, Nullobjekt (3)
Ein Objekt X in einer Kategorie C heißt:
- final oder terminal, wenn es zu jedem Objekt W in C genau einen Morphismus fW : W → X gibt.
- kofinal oder initial, wenn es zu jedem Objekt W in C genau einen Morphismus gW : X → W gibt.
- Nullobjekt, wenn es final und kofinal ist.
(D) freies Produkt, freie Wörter
(Gi)i∈I Familie von Gruppen. Das freie Produkt ⋆i∈IGi ist die Menge der reduzierten freien Wörter in den Gruppen Gi
⋆i∈IGi =U’ Wn mit Wn = {(g1,…,gn) : gi ∈ Gki \ {e}, ki ≠ ki+1 ∀i∈{1,…,n−1}}
mit der Gruppenmultiplikation · : ⋆i∈I Gi × ⋆i∈I Gi → ⋆i∈I Gi, […].
(D) Pullback/Faserprodukt, universelle Eigenschaft des Pullback, Pushout, universelle Eigenschaft des Pushout
C Kategorie, X1, X2 Objekte in C.
- Ein Pullback oder Faserprodukt zweier Morphismen pi : Xi → B ist ein Objekt P in C zusammen mit zwei Morphismen πi′ : P → Xi, sodass das innere Rechteck in dem folgenden Diagramm kommutiert und für jedes Paar von Morphismen fi : S → Xi, für die das äußere Viereck kommutiert, existiert genau ein Morphismus f : S → P, sodass die zwei Dreiecke kommutieren […].
Das bezeichnet man als die universelle Eigenschaft des Pullbacks oder Faserprodukts.
- Ein Pushout zweier Morphismen ji : A → Xi ist ein Objekt P in C zusammen mit zwei Morphismen ι′i : Xi → P, sodass das innere Rechteck in dem folgenden Diagramm kommutiert und für jedes Paar von Morphismen gi : Xi → T, für die das äußere Viereck kommutiert, existiert genau ein Morphismus g : P → T, sodass die zwei Dreiecke kommutieren […].
Das bezeichnet man als die universelle Eigenschaft des Pushouts.
(D) normale Untergruppe, Normalteiler, erzeugte normale Untergruppe
G Gruppe.
- Eine Untergruppe N ⊆ G heißt normale Untergruppe oder Normalteiler, wenn
gng−1 ∈N für alle g∈G, n∈N gilt. - Die von einer Teilmenge A ⊆ G erzeugte normale Untergruppe ⟨A⟩ ⊆ G ist der Schnitt aller Normalteiler in G, die A enthalten:
⟨A⟩= \inter_ A⊆N, N⊆G normal N
(D) natürliche Transformation, natürlicher Isomorphismus, natürlich isomorph
F, G : C → D Funktoren. Eine natürliche Transformation η : F → G ist eine Zuordnung X ∈ ObC |→ ηX : F(X) → G(X) von einem Objekt X zu einem Morphismus ηX in D, sodass für jeden Morphismus f : X → Y das folgende Diagramm kommutiert […].
Sind die Morphismen ηX : F(X) → G(X) Isomorphismen für alle Objekte X in C, so nennt man η : F → G einen natürlichen Isomorphismus und die Funktoren F, G natürlich isomorph.
(D) kleine Kategorie
Eine kleine Kategorie ist eine Kategorie, in der die Objekte eine Menge bilden.
(D) Gruppoid
Ein Gruppoid G ist eine kleine Kategorie, in der alle Morphismen Isomorphismen sind.
(Bsp) Kategorien: Set, Top, Top*, VectK, Grp, Ring, K-Alg
- Set – Kategorie der Mengen: Objekte: Mengen, Morphismen: Abbildungen, Isomorphismen: Bijektionen
- Top – Kategorie der topologischen Räume: Objekte: topologische Räume, Morphismen: stetige Abbildungen, Isomorphismen: Homöomorphismen
- Top* – Kategorie der punktierten topologischen Räume: Objekte: Paare (x,X) eines topologischen Raums (X,O) und eines Punkts x ∈ X, Morphismen f : (x,X) → (y,Y): stetige Abbildungen f : X → Y mit f(x) = f(y), Isomorphismen: Homöomorphismen f : X → Y mit f(x) = f(y).
- VectK – Kategorie der Vektorräume über einem Körper K: Objekte: K-Vektorräume, Morphismen: K-lineare Abbildungen, Isomorphismen: K-lineare Isomorphismen.
- Grp – Kategorie der Gruppen (Objekte: Gruppen, Morphismen: Gruppenhomomorphismen, Isomorphismen: Gruppenisomorphismen.
- Ring – Kategorie der Ringe: Objekte: Ringe, Morphismen: Ringhomomorphismen, Isomorphismen: Ringisomorphismen
URing – Kategorie der unitalen Ringe: Objekte: unitale Ringe, Morphismen: unitale Ringhomomorphismen, Isomorphismen: unitale Ringisomorphismen. - K-Alg – Kategorie der Algebren über einem Körper K: Objekte: K-Algebren, Morphismen: K- Algebrahomomorphismen, Isomorphismen: K-Algebraisomorphismen
