4 Kompaktheit Flashcards
(D) offene Überdeckung, Teilüberdeckung, kompakt, endliche Teilüberdeckung, kompakt (3)
(X, O) topologischer Raum.
- Eine offene Überdeckung von (X,O) ist eine Familie (Oi)i∈I offener Teilmengen Oi ∈ O mit X ⊆ ∪i∈IOi. Ist J ⊆ I eine Teilmenge, so dass auch (Oi)i∈J eine Überdeckung von X ist, so nennt man (Oi)i∈J eine Teilüberdeckung von (Oi)i∈I
- Der topologische Raum (X,O) heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung (Oi)i∈I von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
- Eine Teilmenge K ⊆ X heißt kompakt, wenn sie mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum ist.
(S) Wann ist ein T2-Raum auch T4? (Kap. 4)
Ein Hausdorffraum ist normal, wenn er kompakt ist.
(D) beschränkt, Durchmesser
(X, d) metrischer Raum.
Eine Teilmenge B ⊆ X heißt beschränkt, wenn B = ∅ oder ihr Durchmesser diam(B) = sup{d(x, y) | x, y ∈ B} endlich ist.
(D) folgenkompakt
Ein topologischer Raum (X,OX) heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (xn)n∈N0 eine konvergente Teilfolge besitzt.
(L) Lemma von Lebesgue, Beweis
(X,d) kompakter metrischer Raum.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung (Oi)i∈I von X ein ε > 0, die Lebesgue-Zahl, sodass jede Teilmenge M ⊆ X mit diam(M) < ε in einer der Mengen Oi enthalten ist.
Beweis: Widerspruchsbeweis
1. Sei (Oi) eine offene Überdeckung. Angenommen es existiert kein solches ε>0. Dann finden wir zu jedem noch so kleinen Durchmesser eine Menge mit einem kleineren Durchmesser, die in keine der offenen Mengen Oi passt.
- Wir lassen den Durchmesser mit 1/n gegen 0 laufen und erhalten so eine Folge/Familie von Mengen Mn.
- Wir wählen ein Element aus jeder der Mengen. Und erhalten damit eine Folge von Punkten. Da der Raum metrisch und kompakt ist, ist er auch folgenkompakt. Also besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
- Sei x der Punkt gegen den die Teilfolge konvergiert. Wir haben eine offene Überdeckung des Raumes, dh, der Punkt x liegt in einer offenen Mengen Oi und damit existiert auch noch eine ε-Kugel um den Punkt, die in der Menge enthalten ist.
- Für k->∞ konvergiert die Teilfolge der Punkte gegen x und der Durchmesser der dazugehörigen Mengen gegen 0. Ab einem bestimmten Zeitpunkt hat man dann den Fall, dass die Menge in der ε-Kugel um den Punkt liegt und damit in einer offenen Menge Oi. Ein Widerspruch.
(S) Satz von Tychonoff
Sei (Xi,Oi)i∈I eine Familie kompakter topologischer Räume. Dann ist auch der Produktraum Πi∈IXi kompakt.
Beweis:
1. Annahme: haben Familie abgeschlossener Teilmengen des Produktraums mit eDE und wollen zeigen, dass Punkt im Schnitt der Teilmengen liegt
- abgeschlossenen Teilmengen aus dem Produktraum in Teilräume projizieren; dann Abschlüsse davon nehmen; Familie der abgeschlossenen Projektionen besitzt eDE und einzelne Räume sind kompakt: Also ist Schnitt aller Projektionen nicht leer und wir wählen Punkt aus Schnitt jeder Familie
- Ziel: Punkte zusammensetzen zu Punkt aus Produktraum, der dort im Schnitt aller Teilmengen liegt; Problem: wenn Punkte ungünstig gewählt, liegt Punkt nicht im Schnitt; Also: ungünstige Wahl vermeiden durch hinzufügen maximal vieler abgeschlossener Teilmengen, sodass eDE nicht zerstört wird
- Existenz dieser maximal erweiterten Familie zeigen (Zornsches Lemma)
- Zeigen, dass der Punkt x jetzt tatsächlich im Schnitt der ganzen Familie liegt
(L) Zornsches Lemma
Jede nichtleere induktiv geordnete Menge M besitzt ein maximales Element m. Das heißt, aus n ∈ M und m ≼ n folgt m = n.
(D) lokalkompakt
Ein topologischer Raum (X, OX ) heißt lokalkompakt, wenn jede Umgebung eines Punkt x ∈ X eine kompakte Umgebung von x enthält:
U∈U(x) ⇒ ∃ K∈U(x) kompakt mit K⊆U.
(S) Lokalkompaktheit in Hausdorffräumen
Ein Hausdorffraum (X, OX ) ist lokalkompakt genau dann, wenn jeder Punkt x ∈ X eine kompakte Umgebung besitzt.
(D) Einpunktkompaktifizierung, Alexandrov-Kompaktifizierung
(X, O) lokalkompakter Hausdorffraum. Die Einpunktkompaktifizierung oder Alexandrov-Kompaktifizierung von (X, O) ist die Menge
X* = X ∪ {∞} mit der Topologie
O* = O ∪ {O ⊆ X* | X* \ O ⊆ X kompakt}.
(S) Alexandrov-Kompaktifizierung (2)
(X, O) lokalkompakter Hausdorffraum. Dann gilt
- O* ist Topologie auf X, und (X,O*) ist ein kompakter Hausdorffraum.
- Ist (X′, O′) ein kompakter Hausdorffraum und p′ ∈ X′ mit X′ \ {p′} homöomorph zu X, dann ist (X′, O′) homöomorph zu (X∗, O∗).
(Bsp) (nicht) lokalkompakter Raum
- ## R^n mit der Standardtopologie ist lokalkompakt.Denn jede Umgebung U von x ∈ Rn entha ̈lt eine offene Kugel Bε(x) ⊆ U und damit auch die abgeschlossene Kugel B≤ε/2(x), die nach dem Satz von Heine-Borel kompakt ist und die offene Menge Bε/2(x) entha ̈lt.
- ## Der Hilbertsche Folgenraum l^2 ist nicht lokalkomapkt.Denn nach Beispiel 1.3.18, 2. bilden die offenen Ba ̈lle B1/n(x) mit n ∈ N eine Umge- bungsbasis eines Punktes x ∈ l2. Jede kompakte Umgebung K von x mu ̈sste also eine Kugel B1/n(x) enhalten. Damit wa ̈re aber auch B≤1/n(x) ⊆ K = K in K enthalten und damit kompakt als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten topologischen Raums. Nach Beispiel 4.2.3 ist aber die abgeschlossene Kugel B≤1(0) und damit auch die dazu homo ̈omorphe Kugel B≤1/n(x) nicht kompakt.
(L) Teilmengen lokalkompakter Räume
Jede offene oder abgeschlossene Teilmenge eines lokalkompakten topologi- schen Raums (X, OX ) mit der Teilraumtopologie ist lokalkompakt.
(Bsp) (nicht) kompakter topologischer Raum (5)
- Das abgeschlossene Einheitsintervall [0,1] als Teilmenge von R mit der Standardtopologie ist kompakt (Heine-Borel)
- Eine beliebige Menge X mit der kofiniten Topologie ist kompakt.
- Die reellen Zahlen mit der Standardtopologie sind nicht kompakt, da nicht beschränkt (Heine-Borel)
- Die Gruppe GL(n, R) der invertierbaren reellen n×n-Matrizen mit der Standardtopologie.
(F) Wann ist ein T2-Raum lokalkompakt?
Ein T2-Raum ist genau dann lokalkompakt, wenn jeder Punkte eine kompakte Umgebung hat.
