6 Homotopie Flashcards
(D) Homotopie relativ zu, homotop relativ zu, Homotopie, homotop, nullhomotop (4)
(X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume, M ⊆ X Teilraum und f, g : X → Y stetige Abbildungen mit f|M = g|M.
- Eine Homotopie von f nach g relativ zu M ist eine stetige Abbildung
h : [0,1] × X → Y, (t,x) → h(t,x)
mit h(0,x) = f(x), h(1,x) = g(x), h(t,m) = f(m) = g(m) ∀x ∈ X,m ∈ M,t ∈ [0,1]. - Gibt es eine Homotopie von f nach g relativ zu M, so nennt man f, g homotop relativ zu M und schreibt f ∼M g.
- Für M = ∅ spricht man auch von einer Homotopie und homotop und schreibt f ∼ g.
- Eine stetige Abbildung f : X → Y, die homotop zu einer konstanten Abbildung g : X → Y ist, heißt nullhomotop.
(Bsp) homotope Abbildungen (1)
- Die Exponentialabbildung exp : [0,1] → S1, x → e^2πix ist homotop zur konstanten Abbildung c1 : [0, 1] → S1, x → 1 mit der Homotopie
h : [0,1] × [0,1] → S1, h(t,x) = e^2πi(1−t)x.
(D) hTop, Homotopiekategorie, hTop*, hTop(2) (3)
- Die Kategorie hTop hat als Objekte topologische Räume und als Morphismen von (X, OX ) nach (Y, OY ) Homotopieklassen stetiger Abbildungen f : (X, OX ) → (Y, OY ). hTop wird als die Homotopiekategorie der topologischen Räume bezeichnet.
- Die Kategorie hTop* hat als Objekte punktierte topologische Räume und als Morphismen von (x, X) nach (y, Y ) Homotopieklassen stetiger Abbildungen f : (X, OX ) → (Y, OY ) mit f(x) = y relativ zu {x}. Sie wird als die Homotopiekategorie der punktierten topologischen Räume bezeichnet.
- Die Kategorie hTop(2) hat als Objekte Paare (X, A) eines topologischen Raums X und eines Teilraums A ⊆ X und als Morphismen von (x, X) nach (y, Y ) Homotopieklassen relativ zu A von stetigen Abbildungen f : (X,A) → (Y,B) mit f(A) ⊆ B. Sie heißt Homotopiekategorie der Kategorie von Paaren punktierten topologischen Räume.
(S) Homotopie als Äquivalenzrelation
Seien (X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume und M ⊆ X ein Teilraum. Dann ist ∼M eine Äquivalenzrelation auf der Menge C(X,Y) der stetigen Abbildungen f : X → Y.
(D) Homotopieäquivalenz, homotopieäquivalent / vom selben Homotopietyp, kontrahierbar (3)
(X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume.
- Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt Homotopieäquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung g : Y → X mit g ◦ f ∼ idX und f ◦ g ∼ idY gibt.
- Gibt es eine Homotopieäquivalenz f : X → Y , so schreibt man X ≃ Y und sagt X und Y sind homotopieäquivalent oder vom selben Homotopietyp.
- Ein topologischer Raum (X, OX ) heißt kontrahierbar, wenn er homotopieäquivalent zu einem Einpunktraum ist.
(D) Retrakt, Retraktion, (schwacher) Deformationsretrakt, starker Deformationsretrakt (3)
(X,O) topologischer Raum, M ⊆ X Teilraum, ι : M → X Inklusionsabbildung. Dann nennt man M
- einen Retrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung r : X → M mit r ◦ ι = idM gibt. Eine solche Abbildung r nennt man Retraktion.
- einen (schwachen) Deformationsretrakt von X, wenn es eine Retraktion r : X → M gibt mit ι ◦ r ∼ idX .
- einen starken Deformationsretrakt von X, wenn es eine Retraktion r : X → M gibt mit ι ◦ r ∼M idX.
(Bsp) Retrakt, Deformationsretrakt (2)
- (X,O) beliebig, p ∈ X. Dann ist {p} ⊆ X ein Retrakt von X mit Retraktion r : X → {p}, x → p. Der Teilraum {p} ⊆ X ist ein Deformationsretrakt von X genau dann, wenn X kontrahierbar ist.
- Der Kreis S1 ist ein Deformationsretrakt des Möbiusbands und des Zylinders (Beispiel 6.1.10).
(D) Verkettung, Umkehrung, trivialer Weg, homotop, nullhomotop, Homotopie von Wegen / Homotopie mit festen Endpunkten (6)
(X,O) topologischer Raum, W(p,q,X) die Menge der Wege in X von p∈X nach q∈X.
- Die Verkettung zweier Wege γ1 ∈ W(p,q,X) und γ2 ∈ W(q,r,X) ist der Weg
γ2 ⋆γ1 : [0,1] → X, γ2 ⋆γ1(t) = γ1(2t) t ∈ [0, 1/2], γ2(2t−1) t∈[1/2,1]. - Die Umkehrung eines Weges γ : [0,1] → X ist der Weg γ : [0,1] → X, t → γ(1−t).
- Für p ∈ X heißt der konstante Weg γp : [0,1] → X, t → p der triviale Weg auf p.
- Zwei Wege γ, γ′ ∈ W(p,q,X) heißen homotop, wenn sie homotop relativ zu {0,1} sind; man schreibt dann γ ∼ γ′.
- Ein Weg γ ∈ W (p, p, X ) heißt nullhomotop, wenn er homotop zum trivialen Weg γp relativ zu {0, 1} ist.
- Eine Homotopie von γ nach γ′ relativ zu {0,1} nennt man auch eine Homotopie von Wegen oder eine Homotopie mit festen Endpunkten.
(S) Fundamentalgruppoid, Fundamentalgruppe
(X, O) topologischer Raum.
- Die Punkte x ∈ X und die Homotopieklassen von Wegen γ : [0,1] → X bilden mit der durch die Verkettung von Wegen induzierten Komposition von Morphismen ein Gruppoid Π1(X), das Fundamentalgruppoid von X.
- Insbesondere bilden für jeden Punkt x ∈ X die Homotopieklassen von Wegen von x nach x eine Gruppe, die Fundamentalgruppe π1(x, X) = HomΠ1(X)(x, x) im Punkt x.
(D) einfach zusammenhängend, 1-zusammenhängend
Ein topologischer Raum (X, O) heißt einfach zusammenhängend, wenn alle Fundamentalgruppen π1(x,X) trivial sind, und 1-zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend und einfach zusammenhängend ist.
(S) Lift/Hochhebung
f : S1 → S1 stetig.
Dann gibt es zu jedem t0 ∈ Z eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung f~ : R → R mit f~(0) = t0 und exp ◦ f~ = f ◦ exp. Eine stetige Abbildung f~ : R → R mit exp ◦ f~ = f ◦ exp heißt Lift oder Hochhebung von f .
(D) Abbildungsgrad einer stetigen Abbildung, Abbildungsgrad eines Weges
- Der Abbildungsgrad einer stetigen Abbildung f : S1 → S1, deg(f) = f~(1) - f~(0) ∈ Z für eine beliebige Hochhebung f~: R → R von f.
- Der Abbildungsgrad eines Weges γ : [0, 1] → S1 mit γ(1) = γ(0) = 1 ist definiert durch
deg(γ) = deg(γ~ ◦ exp~−1).
(S) Abbildungsgrad eines Weges hängt nur von seiner Homotopieklasse ab
Der Abbildungsgrad definiert einen Gruppenisomorphismus
deg : π1(1, S1) → Z, [γ] → deg(γ).
(Bsp) Homotopieäquivalenz, kontrahierbarer Raum (5)
- Jeder Homöomorphismus f : X → Y ist eine Homotopieäquivalenz zwischen X und Y.
- Die n-Sphäre Sn ist homotopieäquivalent zu Rn+1 \ {0}.
- Der Zylinder Z = S1 × R ist homotopieäquivalent zum Kreis S1.
- Das Möbiusband ist homotopieäquivalent zum Kreis S1.
- Jeder konvexe Teilraum X ⊆ Rn ist kontrahierbar.
(Bsp) einfach zusammenhängend, 1-zusammenhängend (2)
- Kontrahierbare topologische Räume sind einfach zusammenhängend, da homotopieäquivalent zum Einpunktraum.
- Sternförmige Teilräume des R^n sind 1-zusammenhängend.
