Глава 7. Пересечение геометрических фигур (позиционные задачи)

Question 1

Позиционные задачи

Answer 1

Позиционные задачи - это такие задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или их взаимное положение (принадлежность, параллельность, пересечение и непересечение) двух или более фигур.

Question 2

Первая позиционная задача. Вторая позиционная задача

Answer 2

Первая позиционная задача - это задача построения точек пересечения линии с поверхностью.
Вторая позиционная задача - это задача построения линии пересечения двух поверхностей.

Question 3

Четыре варианта пересечения плоскостей

Answer 3

Четыре варианта пересечения плоскостей:
1) обе плоскости перпендикулярны одной и той же плоскости проекций;
2) плоскости перпендикулярны разным плоскостям проекций;
3) одна из плоскостей перпендикулярна плоскости проекций, а вторая - общего положения;
4) обе плоскости общего положения.

Question 4

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Answer 4

Способ вспомогательных секущих плоскостей - это прием, позволяющий находить общие точки для пересекающихся плоскостей. Заключается способ в следующем:
1) заданные плоскости пересекают вспомогательной;
2) находят прямые пересечения вспомогательной плоскости с данными;
3) находят точку пересечения найденных линий. Данная точка принадлежит одновременно данным плоскостям и секущей плоскости.
4) находим аналогичным образом еще одну точку и соединяем с предыдущей. Полученная прямая есть линия пересечения данных плоскостей.

Question 5

Последовательность нахождения точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения

Answer 5

Последовательность нахождения точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения следующая:
1) через точку, в которую проецируется проецирующая прямая, в плоскости общего положения провести вспомогательный отрезок;
2) построить вторую проекцию вспомогательного отрезка;
3) по линии связи найти вторую проекцию проецирующей прямой;
4) определить видимость второй проекции по конкурирующим точкам.

Question 6

Последовательность нахождения точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью

Answer 6

Последовательность нахождения точки прямой общего положения с проецирующей плоскостью следующая:
1) отметить точку пересечения прямой следа плоскости на плоскости проекций, к которой данная плоскость является проецирующей;
2) по линии связи найти точку пересечения на второй проекции прямой;
3) определить видимость прямой при помощи метода конкурирующих точек.

Question 7

Последовательность нахождения точки пересечения прямой общего положения и плоскости общего положения

Answer 7

Последовательность нахождения точки пересечения прямой общего положения и плоскости общего положения следующая:
1) заключить прямую общего положения в какую-нибудь проецирующую плоскость;
2) найти линию пересечения проецирующей плоскости и нашей плоскости через точки пересечения следа проецирующей плоскости и данной плоскости;
3) найти точки пересечения найденной прямой с данной общего положения. Данная точка пересечения будет принадлежать одно временно вспомогательной секущей плоскости, плоскости общего положения и прямой общего положения.

Question 8

Многогранник

Answer 8

Многогранник - это составная поверхность, состоящая из нескольких плоских многоугольников.

Question 9

Особенность алгоритма построения линии пересечения плоскости с составной поверхностью

Answer 9

Особенность алгоритма построения линии пересечения плоскости с составной поверхностью заключается в том, что линия пересечения также является многоугольником.

Question 10

Два способа построения сечения многогранника плоскостью

Answer 10

Два способа построения сечения многогранника плоскостью:
1) способ ребер (определяют вершины многоугольника сечения на том основании, что они лежат на проекциях пересекаемого многогранника; сводится к многократному определению точек пересечения ребер с секущей плоскостью; способ применяется, когда ребра многогранника занимают проецирующее положение).
2) способ граней (определяют стороны многоугольника сечения на том основании, что они являются отрезками, принадлежащими линиям пересечения сек-й плоскости с каждой отдельной гранью многогранника; сводится к многократному решению задачи на построение линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью; способ применяется, когда некоторые грани многогранника являются проецирующими).

Question 11

Интересный факт

Answer 11

Число k точек пересечения прямой общего положения с многогранником зависит от взаимного положения прямой и многогранника, при этом
0 ≤ k ≤ n,
где n - число граней многогранника поверхности.

Question 12

Общий алгоритм решения задачи (нахождение точки пересечения прямой общего положения с многогранником)

Answer 12

Общий алгоритм решения задачи (нахождение точки пересечения прямой общего положения с многогранником):
1) прямую заключают в плоскость посредник ɣ;
2) находят линию пересечения поверхности многогранника и плоскости ɣ;
3) определяют точки пересечения и исходной прямой как лежащие в одной плоскости ɣ.

Question 13

Два способа построения линии пересечения многогранников

Answer 13

Два способа построения линии пересечения многогранников:
1) способ ребер (построение вершин ломаной как точек пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника с гранями первого; при этом найденные точки соединяют в определенной последовательности, соблюдая следующее правило: прямыми соединяются лишь те точки, которые принадлежат одной грани;
2) способ граней (построение сторон ломаной как отрезков прямых попарного пересечения граней данных многогранник).

Question 14

Плоскости общего положения, которые можно использовать в качестве вспомогательных при построении ломаной пересечения многогранников

Answer 14

Плоскости общего положения, которые можно использовать в качестве вспомогательных при построении ломаной пересечения многогранников:
1) если строят линию пересечения поверхностей двух пирамид, вспомогательные плоскости должны проходить через вершины пирамид;
2) если строят линию пересечения поверхностей пирамиды и призмы, вспомогательные плоскости должны проходить через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы;
3) если строят линию пересечения поверхностей двух призм, вспомогательные плоскости должны проходить параллельно боковым ребрам обоих призм.

Question 15

Линия пересечения плоскости общего положения с горизонтально проецирующим цилиндром вращения

Answer 15

Линия пересечения плоскости общего положения с горизонтально проецирующим цилиндром вращения является эллипс, который на фронтальную плоскость проекций проецируется как эллипс, а на горизонтальную плоскость проекций проецируется как окружность.

Question 16

Варианты линий пересечения проецирующей плоскости с конической поверхностью вращения при различном их расположении относительно образующих конической поверхности

Answer 16

Варианты линий пересечения проецирующей плоскости с конической поверхностью вращения при различном их расположении относительно образующих конической поверхности:
1. Если плоскость проходит через вершину конической поверхности и пересекает эту поверхность в единственной точке (в вершине), то всякая параллельная ей плоскость пересечет коническую поверхность по эллипсу. Или же каждая плоскость, угол наклона к плоскости основания конуса которой, больше угла наклона образующих пересекает поверхность конуса по эллипсу.
2. Если плоскость проходит через вершину конической поверхности и касается поверхности конуса по прямой, то всякая параллельная ей плоскость пересечет коническую поверхность по параболе. Или же каждая плоскость, угол наклона к плоскости основания конуса которой, равен углу наклона образующих пересекает поверхность конуса по параболе.
3. Если плоскость проходит через вершину конической поверхности и пересекает поверхность по двум образующим, то всякая параллельная ей плоскость пересечет коническую поверхность по гиперболе. Или же Или же каждая плоскость, угол наклона к плоскости основания конуса которой, меньше угла наклона образующих пересекает поверхность конуса по гиперболе.

Question 17

Пересечение сферы и проецирующей плоскости

Answer 17

Пересечение сферы и проецирующей плоскости - есть окружность, которая на плоскость проекций, к которой секущая плоскость перпендикулярна, проецируется в отрезок, а на другую плоскость проекций в эллипс.

Question 18

Построение линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости и тора

Answer 18

Построение линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости и тора:
1) горизонтальная проекция линии пересечения - есть отрезок, , совпадающий с горизонтальным следом секущей плоскости;
2) фронтальную проекцию линии находим, строя на поверхности параллели и находя на них точки, принадлежащие линии пересечения (точка пересечения параллели и горизонтальной проекции линии пересечения -> линия связи -> фронтальная проекция параллели);
3) точка границы видимости кривой на фронтальной плоскости проекций находится через пересечение горизонтальной проекции кривой и фронтального меридиана тора;
4) наивысшая точка кривой находится как самая ближняя к вершине тора, а следовательно, принадлежащая кривой и самой маленькой параллели тора. Таким образом, наивысшая точка кривой находится как точка касания наименьшей из возможных параллелей и горизонтальной проекций кривой.

Question 19

Способ вспомогательных секущей поверхностей

Answer 19

Способ вспомогательных секущей поверхностей - это особый прием, использующийся для нахождения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей общего положения. Он заключается в том, что для нахождения линии пересечения поверхностей вводят вспомогательную поверхность и определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с заданными. На пересечении полученных линий находится точка, принадлежащая как вспомогательной поверхности, так и двум данным. Введя другие вспомогательные секущие поверхности можно определить другие точки, принадлежащие обеим поверхностям и построить линию пересечения.

Question 20

Выбор вспомогательной поверхности

Answer 20

Выбор вспомогательной поверхности следует делать таким образом, чтобы можно было легко найти линию пересечения её с поверхностями и чтобы эта линия пересечения проецировалась на плоскость проекций в виде простых линий (прямых или окружностей).

Question 21

Построение линии пересечения сферы с центром и конуса вращения, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций

Answer 21

Построение линии пересечения сферы с центром и конуса вращения, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций:
1) найти характерные точки: верхняя и нижняя точки пересечения, граница видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций;
2) найти промежуточные точки линии пересечения, вводя ряд параллельных горизонтальных секущих плоскостей. Каждая из этих плоскостей пересекает заданные поверхности по окружностям (параллелям) на пересечении которых располагаются искомые точки.
3) построить фронтальную проекцию, являющуюся параболой. Построить горизонтальную проекцию.

Question 22

Замечание о плоскостях общего положения, которые удобно использовать

Answer 22

Замечание о плоскостях общего положения, которые удобно использовать: при построении линий пересечения линейчатых поверхностей рационально использовать вспомогательные секущие плоскости общего положения, которые пересекают заданные поверхности по прямым линиям - образующим этих поверхностей.

Question 23

Нахождение линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей

Answer 23

Нахождение линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей основывается на том, что всякая секущая плоскость, содержащая прямую, которая проходит через вершину конической поверхности параллельно образующим цилиндрической, пересекает обе поверхности по прямым (образующим).

Question 24

Нахождение линии пересечения двух конических поверхностей

Answer 24

Нахождение линии пересечения двух конических поверхностей

Question 25

Нахождение линии пересечения двух цилиндрических поверхностей

Answer 25

Нахождение линии пересечения двух цилиндрических поверхностей основывается на том, что всякая секущая плоскость, заданная при помощи двух прямых, параллельных каждая своей образующей цилиндра, пересекает обе поверхности по прямым (образующим).

Question 26

Способ концентрических секущих сфер

Answer 26

Способ концентрических секущих сфер - это особый прием начертательной геометрии, используемый для нахождения линии пересечения поверхностей, основанный на свойстве соосных поверхностей вращения пересекаться по окружностям.

Question 27

Соосные поверхности вращения

Answer 27

Соосные поверхности вращения - это поверхности вращения, имеющие общую ось.

Question 28

Концентрические сферы

Answer 28

Концентрические сферы - это сферы, имеющие общий центр.

Question 29

Условия применения способа концентрических секущих сфер

Answer 29

Условия применения способа концентрических секущих сфер: 1) обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения; 2) оси поверхностей пересекаются; 3) оси параллельны одной из плоскостей проекций.

Question 30

Эксцентрические сферы

Answer 30

Эксцентрические сферы - это сферы с несовпадающими центрами.

Question 31

Условия применения способа эксцентрических секущих сфер

Answer 31

Условия применения способа эксцентрических секущих сфер: 1) одна из пересекающихся поверхностей - поверхность вращения, а вторая - поверхность с круговыми сечениями; 2) поверхности имеют общую плоскость симметрии; 3) плоскость симметрии параллельна одной из плоскостей проекций.

Question 32

Одно из оснований применения способа эксцентрических секущих сфер

Answer 32

Одно из оснований применения способа эксцентрических секущих сфер: одна и та же окружность может принадлежать бесконечному множеству сфер различного радиуса, центры которых находятся на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенном через центр этой окружности.

Question 33

Линией пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной

Answer 33

Линией пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной являются прямые линии - образующие этих поверхностей.

Question 34

Линии пересечения цилиндров с параллельными образующими

Answer 34

Линии пересечения цилиндров с параллельными образующими - прямые, общие образующие.

Question 35

Линия пересечения двух соосных поверхностей вращения

Answer 35

Линия пересечения двух соосных поверхностей вращения - окружности, являющиеся общими параллелями.

Question 36

Основная теорема алгебры применительно к пересечению поверхностей

Answer 36

Основная теорема алгебры применительно к пересечению поверхностей формулируется так: "Две алгебраические поверхности порядков n и m пересекаются по пространственной кривой порядка nm".

Question 37

Следствие из основной теоремы алгебры применительно к пересечению поверхностей

Answer 37

Следствие из основной теоремы алгебры применительно к пересечению поверхностей: "Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной прямой четвертого порядка".

Question 38

Варианты распадения кривой четвертого порядка на линии меньшего порядка

Answer 38

Варианты распадения кривой четвертого порядка на линии меньшего порядка: 4 = 1+3 - одна прямая и кривая третьего порядка; 4 = 1+1+2 - две прямые и кривая второго порядка; 4 = 1+1+1+1 - четыре прямые; 4 = 2+2 - две кривые второго порядка.

Question 39

Теорема 1 (о плоскости кривой линии пересечения)

Answer 39

Теорема 1 (о плоскости кривой линии пересечения). Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются по второй кривой, которая также является плоской.

Question 40

Теорема 2 (о двойном прикосновении)

Answer 40

Теорема 2 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют две точки прикосновения, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющие точки соприкосновения.

Question 41

Теорема 3 (теорема Монжа)

Answer 41

Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которые проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Question 42

Теорема 4 (о проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии)

Answer 42

Теорема 4 (о проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии). Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка. Например, линия пересечения цилиндрической поверхности со сферой проецируется в виде параболы, пересечения цилиндрической и конической поверхностей, а также двух конических поверхностей проецируются в виде гиперболы.

Question 43

Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда одна из геометрических фигур проецирующая)

Answer 43

Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда одна из геометрических фигур проецирующая): Точка (-и) пересечения находятся на основании свойств проекций на ту плоскость проекций, к которой проецирующая фигура перпендикулярна.

Question 44

Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда обе геометрические фигуры - общего положения)

Answer 44

Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда обе геометрические фигуры - общего положения): Алгоритм нахождения точки пересечения, когда ни линия, ни поверхность не занимают проецирующего положения: 1) линию заключают в вспомогательную поверхность; 2) строят линию пересечения вспомогательной поверхности с данной; 3) на пересечении построенной линии с данной находят искомую точку.

Question 45

Критерий выбора вспомогательной поверхности при нахождении точки пересечения, когда ни линия, ни поверхность не занимают проецирующего положения

Answer 45

Критерий выбора вспомогательной поверхности при нахождении точки пересечения, когда ни линия, ни поверхность не занимают проецирующего положения: ёвспомогательную поверхность следует выбирать таким образом, чтобы линия пересечения её с заданной поверхностью проецировалась в виде простой линии. В частности, если линия - прямая, рационально в качестве вспомогательной поверхности использовать плоскость.

Question 46

Плоскость, касательная к поверхности в некоторой точке, или просто касательная плоскость

Answer 46

Плоскость, касательная к поверхности в некоторой точке, или просто касательная плоскость, - это плоскость, которой принадлежат все прямые, касательные к поверхности в этой точке.

Question 47

Прямая, касательная к поверхности, или просто касательная

Answer 47

Прямая, касательная к поверхности, или просто касательная, - это прямая, касательная к какой-либо кривой, принадлежащей поверхности.

Question 48

Нормаль к поверхности в заданной точке

Answer 48

Нормаль к поверхности в заданной точке - это прямая, перпендикулярная касательной плоскости в данной точке.

Question 49

Виды взаимного положения касательной плоскости и поверхности

Answer 49

Виды взаимного положения касательной плоскости и поверхности: 1) касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку (сама поверхность называется поверхностью с эллиптическими точками); 2) касательная плоскость касается поверхности по линии (такая поверхность называется поверхность называется поверхностью с параболическими точками); 3) касательная плоскость пересекает поверхность (такая поверхность называется поверхностью с гиперболическими точками).

Question 50

Построение касательной плоскости и нормали к поверхности сферы

Answer 50

Построение касательной плоскости и нормали к поверхности сферы: [при решении этой задачи важно знать, что касательная к плоской кривой лежит в плоскости этой кривой и что нормаль к сфере всегда проходит через центр сферы]. 1) через точку на сфере можно провести две касательные к двум окружностям, проходящим на поверхности через точку A и параллельным горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций; 2) нормаль к сфере проходит через точку A и центр сферы, перпендикулярно касательно к соответствующим касательным к окружностям-параллелям.

Question 51

Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности конуса

Answer 51

Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности конуса: 1) плоскость касается конической поверхности по образующей, которая принадлежит касательной плоскости; 2) достаточно провести ещё одну касательную к окружности, лежащей на поверхности конуса и проходящей через данную точку, чтобы получить касательную плоскость; 3) для построения нормали через данную точку проводим перпендикуляр к касательной плоскости (фронтальная проекция нормали перпендикулярна фронтальной проекции фронтали касательной плоскости).

Question 52

Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности тора

Answer 52

Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности тора: 1) для построения касательной плоскости, проходящей через точку на торе, достаточно провести касательные к двум линиям, проходящим на поверхности через точку A. Одной из таких линий является параллель - окружность, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Вторая линия - меридиан поверхности (дуга окружности радиусом окружности, вращением которой получился самопересекающийся тор). Построить касательную к параллели несложно, а вот для построения касательной для дуги, чтобы избежать построения лекальной кривой, надо использовать способ преобразования чертежа - вращение вокруг проецирующей кривой. Меридиональную плоскость вместе с точкой на поверхности тора поворачиваем вокруг оси поверхности в положение главной меридиональной плоскости. Меридиан, проходящий через точку, совмещается с главным меридианом, а точка занимает новое положение на очерке поверхности. Касательная к главному меридиану в точке, соответствующей новому положению данной, пересекает ось вращения. В тоже время при вращении меридиональной плоскости точка пересечения находится на оси вращения, поэтому не изменяет своего положения. Мы можем провести прямую через эту точку и данную, лежащую на поверхности и получить вторую проекцию касательной. 2) чтобы найти нормаль к поверхности необходимо провести к поверхности в точке, в которую переместилась данная после вращения -> найти точку пересечения этой нормали с осью вращения поверхности -> провести прямую через эту новую точку и данную на поверхности.

Question 53

Построение недостающих очерков поверхностей вращения, оси которых наклонены к плоскости проекций

Answer 53

Построение недостающих очерков поверхностей вращения, оси которых наклонены к плоскости проекций, осуществляется путем вписывания сфер в эти поверхности, проецировании этих сфер и построении линий, касающихся этих сфер (в случае, если поверхность - самопересекающийся тор, то линия будет кривой, если же это конус, то линия будет прямой).