Глава 7. Пересечение геометрических фигур (позиционные задачи) Flashcards
Позиционные задачи
Позиционные задачи - это такие задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или их взаимное положение (принадлежность, параллельность, пересечение и непересечение) двух или более фигур.
Первая позиционная задача. Вторая позиционная задача
Первая позиционная задача - это задача построения точек пересечения линии с поверхностью.
Вторая позиционная задача - это задача построения линии пересечения двух поверхностей.
Четыре варианта пересечения плоскостей
Четыре варианта пересечения плоскостей:
1) обе плоскости перпендикулярны одной и той же плоскости проекций;
2) плоскости перпендикулярны разным плоскостям проекций;
3) одна из плоскостей перпендикулярна плоскости проекций, а вторая - общего положения;
4) обе плоскости общего положения.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Способ вспомогательных секущих плоскостей - это прием, позволяющий находить общие точки для пересекающихся плоскостей. Заключается способ в следующем:
1) заданные плоскости пересекают вспомогательной;
2) находят прямые пересечения вспомогательной плоскости с данными;
3) находят точку пересечения найденных линий. Данная точка принадлежит одновременно данным плоскостям и секущей плоскости.
4) находим аналогичным образом еще одну точку и соединяем с предыдущей. Полученная прямая есть линия пересечения данных плоскостей.
Последовательность нахождения точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения
Последовательность нахождения точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения следующая:
1) через точку, в которую проецируется проецирующая прямая, в плоскости общего положения провести вспомогательный отрезок;
2) построить вторую проекцию вспомогательного отрезка;
3) по линии связи найти вторую проекцию проецирующей прямой;
4) определить видимость второй проекции по конкурирующим точкам.
Последовательность нахождения точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью
Последовательность нахождения точки прямой общего положения с проецирующей плоскостью следующая:
1) отметить точку пересечения прямой следа плоскости на плоскости проекций, к которой данная плоскость является проецирующей;
2) по линии связи найти точку пересечения на второй проекции прямой;
3) определить видимость прямой при помощи метода конкурирующих точек.
Последовательность нахождения точки пересечения прямой общего положения и плоскости общего положения
Последовательность нахождения точки пересечения прямой общего положения и плоскости общего положения следующая:
1) заключить прямую общего положения в какую-нибудь проецирующую плоскость;
2) найти линию пересечения проецирующей плоскости и нашей плоскости через точки пересечения следа проецирующей плоскости и данной плоскости;
3) найти точки пересечения найденной прямой с данной общего положения. Данная точка пересечения будет принадлежать одно временно вспомогательной секущей плоскости, плоскости общего положения и прямой общего положения.
Многогранник
Многогранник - это составная поверхность, состоящая из нескольких плоских многоугольников.
Особенность алгоритма построения линии пересечения плоскости с составной поверхностью
Особенность алгоритма построения линии пересечения плоскости с составной поверхностью заключается в том, что линия пересечения также является многоугольником.
Два способа построения сечения многогранника плоскостью
Два способа построения сечения многогранника плоскостью:
1) способ ребер (определяют вершины многоугольника сечения на том основании, что они лежат на проекциях пересекаемого многогранника; сводится к многократному определению точек пересечения ребер с секущей плоскостью; способ применяется, когда ребра многогранника занимают проецирующее положение).
2) способ граней (определяют стороны многоугольника сечения на том основании, что они являются отрезками, принадлежащими линиям пересечения сек-й плоскости с каждой отдельной гранью многогранника; сводится к многократному решению задачи на построение линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью; способ применяется, когда некоторые грани многогранника являются проецирующими).
Интересный факт
Число k точек пересечения прямой общего положения с многогранником зависит от взаимного положения прямой и многогранника, при этом
0 ≤ k ≤ n,
где n - число граней многогранника поверхности.
Общий алгоритм решения задачи (нахождение точки пересечения прямой общего положения с многогранником)
Общий алгоритм решения задачи (нахождение точки пересечения прямой общего положения с многогранником):
1) прямую заключают в плоскость посредник ɣ;
2) находят линию пересечения поверхности многогранника и плоскости ɣ;
3) определяют точки пересечения и исходной прямой как лежащие в одной плоскости ɣ.
Два способа построения линии пересечения многогранников
Два способа построения линии пересечения многогранников:
1) способ ребер (построение вершин ломаной как точек пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника с гранями первого; при этом найденные точки соединяют в определенной последовательности, соблюдая следующее правило: прямыми соединяются лишь те точки, которые принадлежат одной грани;
2) способ граней (построение сторон ломаной как отрезков прямых попарного пересечения граней данных многогранник).
Плоскости общего положения, которые можно использовать в качестве вспомогательных при построении ломаной пересечения многогранников
Плоскости общего положения, которые можно использовать в качестве вспомогательных при построении ломаной пересечения многогранников:
1) если строят линию пересечения поверхностей двух пирамид, вспомогательные плоскости должны проходить через вершины пирамид;
2) если строят линию пересечения поверхностей пирамиды и призмы, вспомогательные плоскости должны проходить через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы;
3) если строят линию пересечения поверхностей двух призм, вспомогательные плоскости должны проходить параллельно боковым ребрам обоих призм.
Линия пересечения плоскости общего положения с горизонтально проецирующим цилиндром вращения
Линия пересечения плоскости общего положения с горизонтально проецирующим цилиндром вращения является эллипс, который на фронтальную плоскость проекций проецируется как эллипс, а на горизонтальную плоскость проекций проецируется как окружность.
Варианты линий пересечения проецирующей плоскости с конической поверхностью вращения при различном их расположении относительно образующих конической поверхности
Варианты линий пересечения проецирующей плоскости с конической поверхностью вращения при различном их расположении относительно образующих конической поверхности:
1. Если плоскость проходит через вершину конической поверхности и пересекает эту поверхность в единственной точке (в вершине), то всякая параллельная ей плоскость пересечет коническую поверхность по эллипсу. Или же каждая плоскость, угол наклона к плоскости основания конуса которой, больше угла наклона образующих пересекает поверхность конуса по эллипсу.
2. Если плоскость проходит через вершину конической поверхности и касается поверхности конуса по прямой, то всякая параллельная ей плоскость пересечет коническую поверхность по параболе. Или же каждая плоскость, угол наклона к плоскости основания конуса которой, равен углу наклона образующих пересекает поверхность конуса по параболе.
3. Если плоскость проходит через вершину конической поверхности и пересекает поверхность по двум образующим, то всякая параллельная ей плоскость пересечет коническую поверхность по гиперболе. Или же Или же каждая плоскость, угол наклона к плоскости основания конуса которой, меньше угла наклона образующих пересекает поверхность конуса по гиперболе.
Пересечение сферы и проецирующей плоскости
Пересечение сферы и проецирующей плоскости - есть окружность, которая на плоскость проекций, к которой секущая плоскость перпендикулярна, проецируется в отрезок, а на другую плоскость проекций в эллипс.
Построение линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости и тора
Построение линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости и тора:
1) горизонтальная проекция линии пересечения - есть отрезок, , совпадающий с горизонтальным следом секущей плоскости;
2) фронтальную проекцию линии находим, строя на поверхности параллели и находя на них точки, принадлежащие линии пересечения (точка пересечения параллели и горизонтальной проекции линии пересечения -> линия связи -> фронтальная проекция параллели);
3) точка границы видимости кривой на фронтальной плоскости проекций находится через пересечение горизонтальной проекции кривой и фронтального меридиана тора;
4) наивысшая точка кривой находится как самая ближняя к вершине тора, а следовательно, принадлежащая кривой и самой маленькой параллели тора. Таким образом, наивысшая точка кривой находится как точка касания наименьшей из возможных параллелей и горизонтальной проекций кривой.
Способ вспомогательных секущей поверхностей
Способ вспомогательных секущей поверхностей - это особый прием, использующийся для нахождения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей общего положения. Он заключается в том, что для нахождения линии пересечения поверхностей вводят вспомогательную поверхность и определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с заданными. На пересечении полученных линий находится точка, принадлежащая как вспомогательной поверхности, так и двум данным. Введя другие вспомогательные секущие поверхности можно определить другие точки, принадлежащие обеим поверхностям и построить линию пересечения.
Выбор вспомогательной поверхности
Выбор вспомогательной поверхности следует делать таким образом, чтобы можно было легко найти линию пересечения её с поверхностями и чтобы эта линия пересечения проецировалась на плоскость проекций в виде простых линий (прямых или окружностей).
Построение линии пересечения сферы с центром и конуса вращения, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций
Построение линии пересечения сферы с центром и конуса вращения, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций:
1) найти характерные точки: верхняя и нижняя точки пересечения, граница видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций;
2) найти промежуточные точки линии пересечения, вводя ряд параллельных горизонтальных секущих плоскостей. Каждая из этих плоскостей пересекает заданные поверхности по окружностям (параллелям) на пересечении которых располагаются искомые точки.
3) построить фронтальную проекцию, являющуюся параболой. Построить горизонтальную проекцию.
Замечание о плоскостях общего положения, которые удобно использовать
Замечание о плоскостях общего положения, которые удобно использовать: при построении линий пересечения линейчатых поверхностей рационально использовать вспомогательные секущие плоскости общего положения, которые пересекают заданные поверхности по прямым линиям - образующим этих поверхностей.
Нахождение линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей
Нахождение линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей основывается на том, что всякая секущая плоскость, содержащая прямую, которая проходит через вершину конической поверхности параллельно образующим цилиндрической, пересекает обе поверхности по прямым (образующим).
Нахождение линии пересечения двух конических поверхностей
Нахождение линии пересечения двух конических поверхностей
Нахождение линии пересечения двух цилиндрических поверхностей
Нахождение линии пересечения двух цилиндрических поверхностей основывается на том, что всякая секущая плоскость, заданная при помощи двух прямых, параллельных каждая своей образующей цилиндра, пересекает обе поверхности по прямым (образующим).
Способ концентрических секущих сфер
Способ концентрических секущих сфер - это особый прием начертательной геометрии, используемый для нахождения линии пересечения поверхностей, основанный на свойстве соосных поверхностей вращения пересекаться по окружностям.
Соосные поверхности вращения
Соосные поверхности вращения - это поверхности вращения, имеющие общую ось.
Концентрические сферы
Концентрические сферы - это сферы, имеющие общий центр.
Условия применения способа концентрических секущих сфер
Условия применения способа концентрических секущих сфер:
1) обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;
2) оси поверхностей пересекаются;
3) оси параллельны одной из плоскостей проекций.
Эксцентрические сферы
Эксцентрические сферы - это сферы с несовпадающими центрами.
Условия применения способа эксцентрических секущих сфер
Условия применения способа эксцентрических секущих сфер:
1) одна из пересекающихся поверхностей - поверхность вращения, а вторая - поверхность с круговыми сечениями;
2) поверхности имеют общую плоскость симметрии;
3) плоскость симметрии параллельна одной из плоскостей проекций.
Одно из оснований применения способа эксцентрических секущих сфер
Одно из оснований применения способа эксцентрических секущих сфер: одна и та же окружность может принадлежать бесконечному множеству сфер различного радиуса, центры которых находятся на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенном через центр этой окружности.
Линией пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной
Линией пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной являются прямые линии - образующие этих поверхностей.
Линии пересечения цилиндров с параллельными образующими
Линии пересечения цилиндров с параллельными образующими - прямые, общие образующие.
Линия пересечения двух соосных поверхностей вращения
Линия пересечения двух соосных поверхностей вращения - окружности, являющиеся общими параллелями.
Основная теорема алгебры применительно к пересечению поверхностей
Основная теорема алгебры применительно к пересечению поверхностей формулируется так:
“Две алгебраические поверхности порядков n и m пересекаются по пространственной кривой порядка nm”.
Следствие из основной теоремы алгебры применительно к пересечению поверхностей
Следствие из основной теоремы алгебры применительно к пересечению поверхностей:
“Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной прямой четвертого порядка”.
Варианты распадения кривой четвертого порядка на линии меньшего порядка
Варианты распадения кривой четвертого порядка на линии меньшего порядка:
4 = 1+3 - одна прямая и кривая третьего порядка;
4 = 1+1+2 - две прямые и кривая второго порядка;
4 = 1+1+1+1 - четыре прямые;
4 = 2+2 - две кривые второго порядка.
Теорема 1 (о плоскости кривой линии пересечения)
Теорема 1 (о плоскости кривой линии пересечения). Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются по второй кривой, которая также является плоской.
Теорема 2 (о двойном прикосновении)
Теорема 2 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют две точки прикосновения, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющие точки соприкосновения.
Теорема 3 (теорема Монжа)
Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которые проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.
Теорема 4 (о проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии)
Теорема 4 (о проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии). Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка. Например, линия пересечения цилиндрической поверхности со сферой проецируется в виде параболы, пересечения цилиндрической и конической поверхностей, а также двух конических поверхностей проецируются в виде гиперболы.
Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда одна из геометрических фигур проецирующая)
Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда одна из геометрических фигур проецирующая):
Точка (-и) пересечения находятся на основании свойств проекций на ту плоскость проекций, к которой проецирующая фигура перпендикулярна.
Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда обе геометрические фигуры - общего положения)
Пересечение линии с поверхностью (Случай, когда обе геометрические фигуры - общего положения):
Алгоритм нахождения точки пересечения, когда ни линия, ни поверхность не занимают проецирующего положения:
1) линию заключают в вспомогательную поверхность;
2) строят линию пересечения вспомогательной поверхности с данной;
3) на пересечении построенной линии с данной находят искомую точку.
Критерий выбора вспомогательной поверхности при нахождении точки пересечения, когда ни линия, ни поверхность не занимают проецирующего положения
Критерий выбора вспомогательной поверхности при нахождении точки пересечения, когда ни линия, ни поверхность не занимают проецирующего положения:
ёвспомогательную поверхность следует выбирать таким образом, чтобы линия пересечения её с заданной поверхностью проецировалась в виде простой линии. В частности, если линия - прямая, рационально в качестве вспомогательной поверхности использовать плоскость.
Плоскость, касательная к поверхности в некоторой точке, или просто касательная плоскость
Плоскость, касательная к поверхности в некоторой точке, или просто касательная плоскость, - это плоскость, которой принадлежат все прямые, касательные к поверхности в этой точке.
Прямая, касательная к поверхности, или просто касательная
Прямая, касательная к поверхности, или просто касательная, - это прямая, касательная к какой-либо кривой, принадлежащей поверхности.
Нормаль к поверхности в заданной точке
Нормаль к поверхности в заданной точке - это прямая, перпендикулярная касательной плоскости в данной точке.
Виды взаимного положения касательной плоскости и поверхности
Виды взаимного положения касательной плоскости и поверхности:
1) касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку (сама поверхность называется поверхностью с эллиптическими точками);
2) касательная плоскость касается поверхности по линии (такая поверхность называется поверхность называется поверхностью с параболическими точками);
3) касательная плоскость пересекает поверхность (такая поверхность называется поверхностью с гиперболическими точками).
Построение касательной плоскости и нормали к поверхности сферы
Построение касательной плоскости и нормали к поверхности сферы:
[при решении этой задачи важно знать, что касательная к плоской кривой лежит в плоскости этой кривой и что нормаль к сфере всегда проходит через центр сферы].
1) через точку на сфере можно провести две касательные к двум окружностям, проходящим на поверхности через точку A и параллельным горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций;
2) нормаль к сфере проходит через точку A и центр сферы, перпендикулярно касательно к соответствующим касательным к окружностям-параллелям.
Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности конуса
Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности конуса:
1) плоскость касается конической поверхности по образующей, которая принадлежит касательной плоскости;
2) достаточно провести ещё одну касательную к окружности, лежащей на поверхности конуса и проходящей через данную точку, чтобы получить касательную плоскость;
3) для построения нормали через данную точку проводим перпендикуляр к касательной плоскости (фронтальная проекция нормали перпендикулярна фронтальной проекции фронтали касательной плоскости).
Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности тора
Построение проекций касательной плоскости и нормали к поверхности тора:
1) для построения касательной плоскости, проходящей через точку на торе, достаточно провести касательные к двум линиям, проходящим на поверхности через точку A. Одной из таких линий является параллель - окружность, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Вторая линия - меридиан поверхности (дуга окружности радиусом окружности, вращением которой получился самопересекающийся тор). Построить касательную к параллели несложно, а вот для построения касательной для дуги, чтобы избежать построения лекальной кривой, надо использовать способ преобразования чертежа - вращение вокруг проецирующей кривой. Меридиональную плоскость вместе с точкой на поверхности тора поворачиваем вокруг оси поверхности в положение главной меридиональной плоскости. Меридиан, проходящий через точку, совмещается с главным меридианом, а точка занимает новое положение на очерке поверхности. Касательная к главному меридиану в точке, соответствующей новому положению данной, пересекает ось вращения. В тоже время при вращении меридиональной плоскости точка пересечения находится на оси вращения, поэтому не изменяет своего положения. Мы можем провести прямую через эту точку и данную, лежащую на поверхности и получить вторую проекцию касательной.
2) чтобы найти нормаль к поверхности необходимо провести к поверхности в точке, в которую переместилась данная после вращения -> найти точку пересечения этой нормали с осью вращения поверхности -> провести прямую через эту новую точку и данную на поверхности.
Построение недостающих очерков поверхностей вращения, оси которых наклонены к плоскости проекций
Построение недостающих очерков поверхностей вращения, оси которых наклонены к плоскости проекций, осуществляется путем вписывания сфер в эти поверхности, проецировании этих сфер и построении линий, касающихся этих сфер (в случае, если поверхность - самопересекающийся тор, то линия будет кривой, если же это конус, то линия будет прямой).
