Глава 6. Поверхности

Question 1

Поверхность

Answer 1

Поверхность - это непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением в форме многочлена n-й степени или в форме какой-нибудь трансцендентной функции.

Question 2

Поверхность

Answer 2

Поверхность - это двухпараметрическое множество точек или однопараметрическое множество линий.

Question 3

Кинематический способ образования поверхностей

Answer 3

Кинематический способ образования поверхностей - это способ образование поверхностей, принятый в начертательной геометрии, при котором поверхность рассматривается как непрерывная совокупность последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии.

Question 4

Образующая линия g

Answer 4

Образующая линия g - это линия (прямая, кривая, постоянного или переменного вида), производящая поверхность своим передвижением.

Question 5

Направляющие линии d

Answer 5

Направляющие линии d - это линии, задающие закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы.

Question 6

Линейчатая поверхность

Answer 6

Линейчатая поверхность - это поверхность, которая может быть задана перемещением прямой линии.

Question 7

Нелинейчатая поверхность

Answer 7

Нелинейчатая поверхность - это поверхность, которая не может быть задана перемещением прямой линии.

Question 8

Развертываемые линейчатые поверхности

Answer 8

Развертываемые линейчатые поверхности - это поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, например, цилиндрическая и коническая поверхности.

Question 9

Неразвертываемые линейчатые поверхности

Answer 9

Неразвертываемые линейчатые поверхности - это поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

Question 10

Определитель поверхности (понятие, вводимое при использовании кинематического способа образования поверхностей). Две части определителя поверхности

Answer 10

Определитель поверхности (понятие, вводимое при использовании кинематического способа образования поверхностей) - это необходимая и достаточная совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.
Две части определителя поверхности:
1) геометрическая;
2) алгоритмическая.

Question 11

Геометрическая часть определителя поверхности

Answer 11

Геометрическая часть определителя поверхности - это перечень геометрических фигур, участвующих в задании поверхности, и отношений между ними.

Question 12

Алгоритмическая часть определителя поверхности

Answer 12

Алгоритмическая часть определителя поверхности - это та часть определителя, которая описывает закон движения и изменения образующей.

Question 13

Форма определителя произвольной поверхности

Answer 13

Форма определителя произвольной поверхности:
Ф (Г); [A],
где (Г) - геометрическая часть, [A] - Алгоритмическая часть.

Question 14

Классификация поверхностей на основе определителя поверхностей

Answer 14

Классификация поверхностей на основе определителя поверхностей:
1) поверхности параллельного переноса (образующая g перемещается поступательно вдоль направляющей d):
Ф(g, d); [gᵢ=T(g)];
2) поверхности вращения (образующая g вращается вокруг некоторой оси i):
Ф(g, i); [gᵢ=Rᵢ(g)];
3) винтовые поверхности (образующая g совершает равномерное и поступательное движение около оси i):
Ф(g, i); [gᵢ=Rᵢ(g) ∘ Tᵢ(g)].

Question 15

Циклические поверхности

Answer 15

Циклические поверхности - это поверхности, образуемые окружностью переменного радиуса, центр которой перемещается по какой-либо кривой.

Question 16

Каналовая поверхность

Answer 16

Каналовая поверхность - это разновидность циклической поверхности, плоскость образующей окружности которой в процессе перемещения остаётся перпендикулярной к направляющей кривой.

Question 17

Трубчатая поверхность

Answer 17

Трубчатая поверхность - это разновидность циклической поверхности, радиус образующей окружности которой в процессе перемещения остаётся постоянным.

Question 18

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

Answer 18

Линейчатые поверхности с тремя направляющими - это поверхности, образующиеся при перемещении прямолинейной образующей по трем направляющим (направляющими могут быть как кривые, так и прямые линии):
Ф(g; d₁, d₂, d₃); [gᵢ ∩ {d₁, d₂, d₃} ≠ ∅].

Question 19

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и направляющей плоскостью

Answer 19

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и направляющей плоскостью - это поверхности, образующиеся при перемещении прямолинейной образующей по двум направляющим, расположение которых в каждом своем положении определяется плоскостью (в каждом своем положении угол между образующими и плоскостью одинаков).
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ (gᵢ ^ α) = const].

Question 20

Направляющая плоскость

Answer 20

Направляющая плоскость - это плоскость, относительно которой направляющие всегда имеют одинаковый угол наклона.

Question 21

Плоскость параллелизма

Answer 21

Плоскость параллелизма - это направляющая плоскость, к которой образующие в каждом своем положении параллельны.

Question 22

Поверхности Каталана

Answer 22

Поверхности Каталана - это поверхности, образованные при помощи плоскости параллелизма, например, цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид.

Question 23

Цилиндроид

Answer 23

Цилиндроид - это поверхность Каталана, образующаяся перемещением прямолинейной образующей по двум криволинейным направляющим, причем в каждый момент образующая параллельна заданной плоскости α:
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ gᵢ || α],
где d₁, d₂ - кривые.

Question 24

Коноид

Answer 24

Коноид - это поверхность Каталана, образующаяся перемещением прямолинейной образующей по прямолинейной и криволинейной направляющим, не лежащим в одной плоскости:
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ gᵢ || α],
где d₁ - прямая линия, d₂ - кривая.

Question 25

Гиперболический параболоид (косая плоскость)

Answer 25

Гиперболический параболоид (косая плоскость) - это поверхность Каталана, образуемая перемещением прямолинейной образующей по двум, не лежащим в одно плоскости, прямолинейным направляющим: Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ gᵢ || α], где d₁, d₂ - прямые.

Question 26

Свойства двух систем образующих косой плоскости

Answer 26

Свойства двух систем образующих косой плоскости: 1) две образующие одной системы являются скрещивающимися прямыми; 2) две образующие разных систем всегда пересекаются; 3) через каждую точку поверхности проходит по одной образующей каждой системы; 4) все образующие одной системы параллельны некоторой плоскости.

Question 27

Поверхность с ребром возврата (торс)

Answer 27

Поверхность с ребром возврата (торс) - это поверхность, образующаяся перемещением прямолинейной образующей, в каждом своём положении касающейся некоторой пространственной кривой (являющаяся для поверхности направляющей). Ф(g; d); [gᵢ ∩d], где d - кривая.

Question 28

Ребро возврата

Answer 28

Ребро возврата - это некая пространственная кривая, касающаяся которой прямолинейная образующая, образует торсовую поверхность.

Question 29

Коническая и цилиндрическая поверхности (с точки зрения вырождения ребра возврата) Коническая поверхность

Answer 29

Коническая и цилиндрическая поверхности (с точки зрения вырождения ребра возврата) Коническая поверхность - это частный вид торса, при которому ребро возврата вырождается в точку. Цилиндрическая поверхность - это частный вид торса, при котором ребро вырождается в несобственную точку.

Question 30

Коническая поверхность

Answer 30

Коническая поверхность - это поверхность, образующаяся перемещением прямолинейной образующей g по криволинейной направляющей d. Ф(g; d, S); [gᵢ ∩ d ∧ S ∈ gᵢ], d - кривая.

Question 31

Цилиндрическая поверхность

Answer 31

Цилиндрическая поверхность - это поверхность, образующаяся перемещением прямолинейной образующей g по криволинейной направляющей d. Ф(g; d, S); [gᵢ ∩ d ≠ ∅ ∧ S ∈ gᵢ], d - кривая, S - несобственная точка.

Question 32

Поверхность вращения

Answer 32

Поверхность вращения - это поверхность, которая образуется при вращении образующей g вокруг неподвижной прямой i, называемой осью поверхности.

Question 33

Параллели поверхности вращения

Answer 33

Параллели поверхности вращения - это окружности вращения, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Question 34

Экватор поверхности вращения

Answer 34

Экватор поверхности вращения - это наибольшая из параллелей поверхности.

Question 35

Горло (шейка) поверхности вращения

Answer 35

Горло (шейка) поверхности вращения - это наименьшая из параллелей поверхности.

Question 36

Меридиональная плоскость поверхности вращения

Answer 36

Меридиональная плоскость поверхности вращения - это плоскость, проходящая через ось вращения.

Question 37

Меридиан поверхности вращения

Answer 37

Меридиан поверхности вращения - это линия, по которой меридиональная плоскость пересекает поверхность вращения. Главный меридиан поверхности вращения - это меридиан, лежащий в плоскости, параллельной какой-либо из плоскостей проекций.

Question 38

Классификация поверхностей, в зависимости от положения образующей g относительно оси вращения i

Answer 38

Классификация поверхностей, в зависимости от положения образующей g относительно оси вращения i: - цилиндрическая поверхность вращения (g || i); - коническая поверхность вращения или прямой круговой конус (g пересекает i; точка пересечения это вершина конической поверхности); - однополостный гиперболоид вращения (g скрещивается с i).

Question 39

Поверхности второго и третьего порядка с точки зрения их образования

Answer 39

Поверхности второго и третьего порядка с точки зрения их образования: 1) Поверхность второго порядка - это поверхность, образующаяся в результате вращения кривой второго порядка вокруг своей оси. 2) Поверхность четвертого порядка - это поверхность, образующаяся в результате вращения кривой второго порядка вокруг прямой, лежащей в плоскости этой кривой, но не совпадающей с осью кривой.

Question 40

Поверхности, образующиеся при вращении окружности

Answer 40

Поверхности, образующиеся при вращении окружности: 1) Сферическая поверхность образуется при вращении окружности, если ось вращения проходит через центр окружности. 2) Торовая поверхность - это поверхность, образующаяся в случае, когда окружность вращается вокруг оси, не проходящей через её центр.

Question 41

Виды торовых поверхностей

Answer 41

Виды торовых поверхностей: 1) открытый тор или кольцевая поверхность - это торовая поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, не имеющей с окружностью общих точек; 2) закрытый тор - это торовая поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, касательной к окружности; 3) самопересекающийся тор - это торовая поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, пересекающей окружность. Эта поверхность имеет две полости: внутреннюю и наружнюю.

Question 42

Поверхности, образующиеся при вращении эллипса

Answer 42

Поверхности, образующиеся при вращении эллипса 1) вытянутый эллипсоид вращения (вращение происходит вокруг большой оси эллипса); 2) сжатый эллипсоид вращения (вращение происходит вокруг малой оси эллипса).

Question 43

Поверхность, образующаяся при вращении параболы

Answer 43

Поверхность, образующаяся при вращении параболы Параболоид вращения - это поверхность, образующаяся при вращении параболы, относительно её оси.

Question 44

Поверхности, образующиеся при вращении гиперболы

Answer 44

Поверхности, образующиеся при вращении гиперболы 1) двуполостный гиперболоид (вращение происходит вокруг действительной оси гиперболы); 2) однополостный гиперболоид (вращение происходит вокруг мнимой оси гиперболы).

Question 45

Геликоид

Answer 45

Геликоид - это линейчатая винтовая поверхность, у которой образующая - прямая линия.

Question 46

Прямая винтовая поверхность (прямой геликоид). Косая винтовая поверхность (косой геликоид)

Answer 46

Прямая винтовая поверхность (прямой геликоид) - это геликоид, образующая прямая которого перпендикулярна оси винтовой поверхности. Косая винтовая поверхность (косой геликоид) - это геликоид, образующая прямая которого не перпендикулярна оси винтовой поверхности.

Question 47

Закрытая винтовая поверхность (закрытый геликоид). Открытая винтовая поверхность (открытый геликоид)

Answer 47

Закрытая винтовая поверхность (закрытый геликоид) - это винтовая поверхность, образующая которой пересекает ось винтовой поверхности. Открытая винтовая поверхность (открытый геликоид) - это винтовая поверхность, образующая которой скрещивается с осью винтовой поверхности.

Question 48

Прямой винтовой коноид

Answer 48

Прямой винтовой коноид - это другое название цилиндрической винтовой поверхности.

Question 49

Направляющий конус

Answer 49

Направляющий конус - это вспомогательный конус вращения с образующими, наклоненными к горизонтальной плоскости проекций под тем же углом, что и образующие винтовой поверхности, используемый для построения фронтальный проекций образующих.

Question 50

Многогранник (с точки зрения его составных частей)

Answer 50

Многогранник (с точки зрения его составных частей) - это геометрическое тело с плоскими гранями, прямыми ребрами, являющимися границей граней многогранника, и вершинами - точками, в которых сходятся ребра.

Question 51

Многоугольник

Answer 51

Многоугольник - это геометрическая фигура на плоскости, заданная последовательностью вершин и сторон.

Question 52

Грань многогранника. Ребро многогранника. Вершина многогранника. Сетка многогранника

Answer 52

Грань многогранника - это многоугольник, один из конечного числа, из которых состоит многогранник. Ребро многогранника - это отрезок, по которому пересекаются смежные грани. Вершина многогранника - это точка, в которой пересекается 3 или более ребер многогранника. Сетка многогранника - это совокупность всех вершин и ребер многогранной поверхности.

Question 53

Простой выпуклый многоугольник

Answer 53

Простой выпуклый многоугольник - это многоугольник, находящийся по одну сторону от всякой прямой, проходящей через две его соседний вершины.

Question 54

Правильный многоугольник

Answer 54

Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны.

Question 55

Названия правильных многоугольников с указанием числа сторон до 10

Answer 55

Названия правильных многоугольников с указанием числа сторон до 10: 3 - треугольник; 4 - четырехугольник (квадрат); 5 - пятиугольник (пентагон); 6 - шестиугольник (гексагон); 7 - семиугольник (гептагон); 8 - восьмиугольник (октагон); 9 - девятиугольник (эннеагон); 10 - десятиугольник (декагон).

Question 56

Правильный многогранник

Answer 56

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине которого сходится одинаковое число ребер.

Question 57

Все 5 правильных многогранников

Answer 57

Все 5 правильных многогранников: 1) тетраэдр (грани - равносторонние треугольники); 2) куб (грани - квадраты); 3) октаэдр (грани - равносторонние треугольники; отличие от тетраэдра в том, что октаэдр - это два "слепленных" тетраэдра); 4) додекаэдр (грани - правильные пятиугольники); 5) икосаэдр (20 граней - правильные треугольники).

Question 58

3 свойства всякого многогранника

Answer 58

3 свойства всякого многогранника. Всякий многранник - имеет конечное число многоугольных граней, общие точки которых определяют ребра и вершины многогранника; - имеет ребра, которые принадлежат только двум граням; - имеет вершины, в которых сходятся различные ребра и грани (не менее трех).

Question 59

Призма. Основания призмы. Боковые грани

Answer 59

Призма - это многогранник, две грани которого являются конгруэнтными n-угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами. Основания призмы - это конгруэнтными n-угольники призмы, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые грани - это грани призмы, являющиеся параллелограммы и перпендикулярные плоскостям оснований.

Question 60

Пирамида. Основание пирамиды. Боковые грани пирамиды. Вершина пирамиды

Answer 60

Пирамида - это многогранник, одна из граней которого произвольный многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Основание пирамиды - это та грань пирамиды, которая не содержит вершину пирамиды, в которой пересекаются грани-треугольники. Боковые грани пирамиды - это те грани пирамиды, которые являются треугольниками и пересекаются в общей точке. Вершина пирамиды - это точка, в которой пересекаются все грани пирамиды, кроме одной (основания).