Глава 6. Поверхности Flashcards
Поверхность
Поверхность - это непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением в форме многочлена n-й степени или в форме какой-нибудь трансцендентной функции.
Поверхность
Поверхность - это двухпараметрическое множество точек или однопараметрическое множество линий.
Кинематический способ образования поверхностей
Кинематический способ образования поверхностей - это способ образование поверхностей, принятый в начертательной геометрии, при котором поверхность рассматривается как непрерывная совокупность последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии.
Образующая линия g
Образующая линия g - это линия (прямая, кривая, постоянного или переменного вида), производящая поверхность своим передвижением.
Направляющие линии d
Направляющие линии d - это линии, задающие закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы.
Линейчатая поверхность
Линейчатая поверхность - это поверхность, которая может быть задана перемещением прямой линии.
Нелинейчатая поверхность
Нелинейчатая поверхность - это поверхность, которая не может быть задана перемещением прямой линии.
Развертываемые линейчатые поверхности
Развертываемые линейчатые поверхности - это поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, например, цилиндрическая и коническая поверхности.
Неразвертываемые линейчатые поверхности
Неразвертываемые линейчатые поверхности - это поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.
Определитель поверхности (понятие, вводимое при использовании кинематического способа образования поверхностей). Две части определителя поверхности
Определитель поверхности (понятие, вводимое при использовании кинематического способа образования поверхностей) - это необходимая и достаточная совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.
Две части определителя поверхности:
1) геометрическая;
2) алгоритмическая.
Геометрическая часть определителя поверхности
Геометрическая часть определителя поверхности - это перечень геометрических фигур, участвующих в задании поверхности, и отношений между ними.
Алгоритмическая часть определителя поверхности
Алгоритмическая часть определителя поверхности - это та часть определителя, которая описывает закон движения и изменения образующей.
Форма определителя произвольной поверхности
Форма определителя произвольной поверхности:
Ф (Г); [A],
где (Г) - геометрическая часть, [A] - Алгоритмическая часть.
Классификация поверхностей на основе определителя поверхностей
Классификация поверхностей на основе определителя поверхностей:
1) поверхности параллельного переноса (образующая g перемещается поступательно вдоль направляющей d):
Ф(g, d); [gᵢ=T(g)];
2) поверхности вращения (образующая g вращается вокруг некоторой оси i):
Ф(g, i); [gᵢ=Rᵢ(g)];
3) винтовые поверхности (образующая g совершает равномерное и поступательное движение около оси i):
Ф(g, i); [gᵢ=Rᵢ(g) ∘ Tᵢ(g)].
Циклические поверхности
Циклические поверхности - это поверхности, образуемые окружностью переменного радиуса, центр которой перемещается по какой-либо кривой.
Каналовая поверхность
Каналовая поверхность - это разновидность циклической поверхности, плоскость образующей окружности которой в процессе перемещения остаётся перпендикулярной к направляющей кривой.
Трубчатая поверхность
Трубчатая поверхность - это разновидность циклической поверхности, радиус образующей окружности которой в процессе перемещения остаётся постоянным.
Линейчатые поверхности с тремя направляющими
Линейчатые поверхности с тремя направляющими - это поверхности, образующиеся при перемещении прямолинейной образующей по трем направляющим (направляющими могут быть как кривые, так и прямые линии):
Ф(g; d₁, d₂, d₃); [gᵢ ∩ {d₁, d₂, d₃} ≠ ∅].
Линейчатые поверхности с двумя направляющими и направляющей плоскостью
Линейчатые поверхности с двумя направляющими и направляющей плоскостью - это поверхности, образующиеся при перемещении прямолинейной образующей по двум направляющим, расположение которых в каждом своем положении определяется плоскостью (в каждом своем положении угол между образующими и плоскостью одинаков).
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ (gᵢ ^ α) = const].
Направляющая плоскость
Направляющая плоскость - это плоскость, относительно которой направляющие всегда имеют одинаковый угол наклона.
Плоскость параллелизма
Плоскость параллелизма - это направляющая плоскость, к которой образующие в каждом своем положении параллельны.
Поверхности Каталана
Поверхности Каталана - это поверхности, образованные при помощи плоскости параллелизма, например, цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид.
Цилиндроид
Цилиндроид - это поверхность Каталана, образующаяся перемещением прямолинейной образующей по двум криволинейным направляющим, причем в каждый момент образующая параллельна заданной плоскости α:
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ gᵢ || α],
где d₁, d₂ - кривые.
Коноид
Коноид - это поверхность Каталана, образующаяся перемещением прямолинейной образующей по прямолинейной и криволинейной направляющим, не лежащим в одной плоскости:
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ gᵢ || α],
где d₁ - прямая линия, d₂ - кривая.
Гиперболический параболоид (косая плоскость)
Гиперболический параболоид (косая плоскость) - это поверхность Каталана, образуемая перемещением прямолинейной образующей по двум, не лежащим в одно плоскости, прямолинейным направляющим:
Ф(g; d₁, d₂, α); [gᵢ ∩ {d₁, d₂} ≠ ∅ ∧ gᵢ || α],
где d₁, d₂ - прямые.
Свойства двух систем образующих косой плоскости
Свойства двух систем образующих косой плоскости:
1) две образующие одной системы являются скрещивающимися прямыми;
2) две образующие разных систем всегда пересекаются;
3) через каждую точку поверхности проходит по одной образующей каждой системы;
4) все образующие одной системы параллельны некоторой плоскости.
Поверхность с ребром возврата (торс)
Поверхность с ребром возврата (торс) - это поверхность, образующаяся перемещением прямолинейной образующей, в каждом своём положении касающейся некоторой пространственной кривой (являющаяся для поверхности направляющей).
Ф(g; d); [gᵢ ∩d],
где d - кривая.
Ребро возврата
Ребро возврата - это некая пространственная кривая, касающаяся которой прямолинейная образующая, образует торсовую поверхность.
Коническая и цилиндрическая поверхности (с точки зрения вырождения ребра возврата)
Коническая поверхность
Коническая и цилиндрическая поверхности (с точки зрения вырождения ребра возврата)
Коническая поверхность - это частный вид торса, при которому ребро возврата вырождается в точку.
Цилиндрическая поверхность - это частный вид торса, при котором ребро вырождается в несобственную точку.
Коническая поверхность
Коническая поверхность - это поверхность, образующаяся перемещением прямолинейной образующей g по криволинейной направляющей d.
Ф(g; d, S); [gᵢ ∩ d ∧ S ∈ gᵢ],
d - кривая.
Цилиндрическая поверхность
Цилиндрическая поверхность - это поверхность, образующаяся перемещением прямолинейной образующей g по криволинейной направляющей d.
Ф(g; d, S); [gᵢ ∩ d ≠ ∅ ∧ S ∈ gᵢ],
d - кривая, S - несобственная точка.
Поверхность вращения
Поверхность вращения - это поверхность, которая образуется при вращении образующей g вокруг неподвижной прямой i, называемой осью поверхности.
Параллели поверхности вращения
Параллели поверхности вращения - это окружности вращения, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Экватор поверхности вращения
Экватор поверхности вращения - это наибольшая из параллелей поверхности.
Горло (шейка) поверхности вращения
Горло (шейка) поверхности вращения - это наименьшая из параллелей поверхности.
Меридиональная плоскость поверхности вращения
Меридиональная плоскость поверхности вращения - это плоскость, проходящая через ось вращения.
Меридиан поверхности вращения
Меридиан поверхности вращения - это линия, по которой меридиональная плоскость пересекает поверхность вращения.
Главный меридиан поверхности вращения - это меридиан, лежащий в плоскости, параллельной какой-либо из плоскостей проекций.
Классификация поверхностей, в зависимости от положения образующей g относительно оси вращения i
Классификация поверхностей, в зависимости от положения образующей g относительно оси вращения i:
- цилиндрическая поверхность вращения (g || i);
- коническая поверхность вращения или прямой круговой конус (g пересекает i; точка пересечения это вершина конической поверхности);
- однополостный гиперболоид вращения (g скрещивается с i).
Поверхности второго и третьего порядка с точки зрения их образования
Поверхности второго и третьего порядка с точки зрения их образования:
1) Поверхность второго порядка - это поверхность, образующаяся в результате вращения кривой второго порядка вокруг своей оси.
2) Поверхность четвертого порядка - это поверхность, образующаяся в результате вращения кривой второго порядка вокруг прямой, лежащей в плоскости этой кривой, но не совпадающей с осью кривой.
Поверхности, образующиеся при вращении окружности
Поверхности, образующиеся при вращении окружности:
1) Сферическая поверхность образуется при вращении окружности, если ось вращения проходит через центр окружности.
2) Торовая поверхность - это поверхность, образующаяся в случае, когда окружность вращается вокруг оси, не проходящей через её центр.
Виды торовых поверхностей
Виды торовых поверхностей:
1) открытый тор или кольцевая поверхность - это торовая поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, не имеющей с окружностью общих точек;
2) закрытый тор - это торовая поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, касательной к окружности;
3) самопересекающийся тор - это торовая поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, пересекающей окружность. Эта поверхность имеет две полости: внутреннюю и наружнюю.
Поверхности, образующиеся при вращении эллипса
Поверхности, образующиеся при вращении эллипса
1) вытянутый эллипсоид вращения (вращение происходит вокруг большой оси эллипса);
2) сжатый эллипсоид вращения (вращение происходит вокруг малой оси эллипса).
Поверхность, образующаяся при вращении параболы
Поверхность, образующаяся при вращении параболы
Параболоид вращения - это поверхность, образующаяся при вращении параболы, относительно её оси.
Поверхности, образующиеся при вращении гиперболы
Поверхности, образующиеся при вращении гиперболы
1) двуполостный гиперболоид (вращение происходит вокруг действительной оси гиперболы);
2) однополостный гиперболоид (вращение происходит вокруг мнимой оси гиперболы).
Геликоид
Геликоид - это линейчатая винтовая поверхность, у которой образующая - прямая линия.
Прямая винтовая поверхность (прямой геликоид). Косая винтовая поверхность (косой геликоид)
Прямая винтовая поверхность (прямой геликоид) - это геликоид, образующая прямая которого перпендикулярна оси винтовой поверхности.
Косая винтовая поверхность (косой геликоид) - это геликоид, образующая прямая которого не перпендикулярна оси винтовой поверхности.
Закрытая винтовая поверхность (закрытый геликоид). Открытая винтовая поверхность (открытый геликоид)
Закрытая винтовая поверхность (закрытый геликоид) - это винтовая поверхность, образующая которой пересекает ось винтовой поверхности.
Открытая винтовая поверхность (открытый геликоид) - это винтовая поверхность, образующая которой скрещивается с осью винтовой поверхности.
Прямой винтовой коноид
Прямой винтовой коноид - это другое название цилиндрической винтовой поверхности.
Направляющий конус
Направляющий конус - это вспомогательный конус вращения с образующими, наклоненными к горизонтальной плоскости проекций под тем же углом, что и образующие винтовой поверхности, используемый для построения фронтальный проекций образующих.
Многогранник (с точки зрения его составных частей)
Многогранник (с точки зрения его составных частей) - это геометрическое тело с плоскими гранями, прямыми ребрами, являющимися границей граней многогранника, и вершинами - точками, в которых сходятся ребра.
Многоугольник
Многоугольник - это геометрическая фигура на плоскости, заданная последовательностью вершин и сторон.
Грань многогранника. Ребро многогранника. Вершина многогранника. Сетка многогранника
Грань многогранника - это многоугольник, один из конечного числа, из которых состоит многогранник.
Ребро многогранника - это отрезок, по которому пересекаются смежные грани.
Вершина многогранника - это точка, в которой пересекается 3 или более ребер многогранника.
Сетка многогранника - это совокупность всех вершин и ребер многогранной поверхности.
Простой выпуклый многоугольник
Простой выпуклый многоугольник - это многоугольник, находящийся по одну сторону от всякой прямой, проходящей через две его соседний вершины.
Правильный многоугольник
Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны.
Названия правильных многоугольников с указанием числа сторон до 10
Названия правильных многоугольников с указанием числа сторон до 10:
3 - треугольник;
4 - четырехугольник (квадрат);
5 - пятиугольник (пентагон);
6 - шестиугольник (гексагон);
7 - семиугольник (гептагон);
8 - восьмиугольник (октагон);
9 - девятиугольник (эннеагон);
10 - десятиугольник (декагон).
Правильный многогранник
Правильный многогранник - это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине которого сходится одинаковое число ребер.
Все 5 правильных многогранников
Все 5 правильных многогранников:
1) тетраэдр (грани - равносторонние треугольники);
2) куб (грани - квадраты);
3) октаэдр (грани - равносторонние треугольники; отличие от тетраэдра в том, что октаэдр - это два “слепленных” тетраэдра);
4) додекаэдр (грани - правильные пятиугольники);
5) икосаэдр (20 граней - правильные треугольники).
3 свойства всякого многогранника
3 свойства всякого многогранника.
Всякий многранник
- имеет конечное число многоугольных граней, общие точки которых определяют ребра и вершины многогранника;
- имеет ребра, которые принадлежат только двум граням;
- имеет вершины, в которых сходятся различные ребра и грани (не менее трех).
Призма. Основания призмы. Боковые грани
Призма - это многогранник, две грани которого являются конгруэнтными n-угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.
Основания призмы - это конгруэнтными n-угольники призмы, лежащие в параллельных плоскостях.
Боковые грани - это грани призмы, являющиеся параллелограммы и перпендикулярные плоскостям оснований.
Пирамида. Основание пирамиды. Боковые грани пирамиды. Вершина пирамиды
Пирамида - это многогранник, одна из граней которого произвольный многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.
Основание пирамиды - это та грань пирамиды, которая не содержит вершину пирамиды, в которой пересекаются грани-треугольники.
Боковые грани пирамиды - это те грани пирамиды, которые являются треугольниками и пересекаются в общей точке.
Вершина пирамиды - это точка, в которой пересекаются все грани пирамиды, кроме одной (основания).
