6 - Coniques Flashcards
Conique
(définition)
Conique de foyer F (n’appartenant pas à D), de directrice D et d’exenctricité e (strictement positif) est l’ensemble des points M tels que FM = e x d(M, D).
Paramètre p
Soit K le projeté orthogonal de F sur D.
p = e x d(F, D) = e × KF.
Repère focal
ROND
(F, i, j)
i vecteur unitaire tel que i = vecteur(KF) / KF
Axe focal
C’est la droite perpendiculaire à D passant par F.
C’est un axe de symetrie.
Equation cartésienne d’une conique dans le repère focal R_F
x^2 + y^2 = (ex + p) ^2
Les 3 familles de coniques
Coniques dégénérées
De type parabole : vide, deux droites parallèles
De type ellipse : vide, point et cercle
De type hyperbole : deux droites sécantes
Centre de la conique
Pour ellipse et hyperbole.
C’est le milieu des deux sommets.
C’est un centre de symétrie.
Il y a donc un autre couple foyer-directrice.
Équations cartésiennes des 3 coniques
Caractéristiques d’une parabole (d’après l’équation cartésienne)
Sommet O
Foyer F(p/2,0)
Directrice x=-p/2
Paramètre p
Caractéristiques d’une ellipse et d’une hyperbole
Avec a>b>0
C^2 = a^2 - b^2 (+ pour hyperbole)
Sommets
Foyers
Directrices : x = +- a^2/c
Exentricité : e=c/a Paramètre : p=b^2/a (en pratique : b=sqrt(ap))
Asymptotes pour hyperbole :
y = +- (b/a)x
Équations des tangentes en M_0
Remplacer les carrés de x et de y par xx0 et yy0, et le x (parabole) par x+x0.
Systèmes d’équations paramétriques
Parabole : x = 2pt^2, y = 2pt
Ellipse : x = acost, y = bsint
Hyperbole : x = acht, y = bsht (uniquement pour x>0)
Avec t dans R.
Caractérisation bifocale
Uniquement pour ellipse et hyperbole.
Ellipse : MF + MF’ = 2a.
Hyperbole : |MF - MF’|=2a (si 2a <FF’).
a est le demi axe focal.
Equation cartésienne d’une courbe du second degré
xy en deuxième position
A, b, et c non tous nuls.
Discriminant d’une courbe du second degré et déductions
Négatif : ellipse.
Equation polaire d’une conique
Attention aux coniques dégénérées.
L’équation donne le paramètre p, l’excentricité e et l’axe focal d’équation polaire teta = alpha. Son foyer est l’origine O.
On peut en déduire une équation polaire pour la directrice D.
Étude d’une conique à partir de son équation polaire
…
Puis, calculer rho(alpha) et rho(alpha+pi) pour pouvoir placer A et A’.
Placer le milieu Omega de [AA’].
Calculer b (racine carrée de ap).
Distance d’un point à une droite.
Equation cartésienne d’une tangente à partir de l’équation d’une courbe du second degré
Remplacer x^2 par xx0.
Remplacer le xy par 1/2(xy0+yx0).
Remplacer x par 1/2(x+x0).
Étudier une courbe du second degré
1) Discriminant, observer si conique dégénérée.
2) Equation réduite
3) Elements caractéristiques
4) Tracé
Réduire une équation d’une courbe du second degré
1) Premier changement de repère pour R_teta = (O, u_teta, v_teta).
Teta = pi/4 si a=c.
Sinon, teta = 1/2 * arctan[b/(a-c)].
Ensuite, exprimer x et y en fonction de X et Y et remplacer dans l’équation.
2) Deuxième changement de repère pour avoir une forme canonique pour R’=(Omega, I, J).
Variante dans l’equation cartésienne d’une parabole, d’une ellipse d’une hyperbole
Hyperbole equilatere
Asymptotes orthogonales
