6 - Coniques

Question 1

Conique
(définition)

Answer 1

Conique de foyer F (n’appartenant pas à D), de directrice D et d’exenctricité e (strictement positif) est l’ensemble des points M tels que FM = e x d(M, D).

Question 2

Paramètre p

Answer 2

Soit K le projeté orthogonal de F sur D.
p = e x d(F, D) = e × KF.

Question 3

Repère focal

Answer 3

ROND
(F, i, j)
i vecteur unitaire tel que i = vecteur(KF) / KF

Question 4

Axe focal

Answer 4

C’est la droite perpendiculaire à D passant par F.
C’est un axe de symetrie.

Question 5

Equation cartésienne d’une conique dans le repère focal R_F

Answer 5

x^2 + y^2 = (ex + p) ^2

Question 6

Les 3 familles de coniques

Question 7

Coniques dégénérées

Answer 7

De type parabole : vide, deux droites parallèles
De type ellipse : vide, point et cercle
De type hyperbole : deux droites sécantes

Question 8

Centre de la conique

Answer 8

Pour ellipse et hyperbole.
C’est le milieu des deux sommets.
C’est un centre de symétrie.
Il y a donc un autre couple foyer-directrice.

Question 9

Équations cartésiennes des 3 coniques

Question 10

Caractéristiques d’une parabole (d’après l’équation cartésienne)

Answer 10

Sommet O
Foyer F(p/2,0)
Directrice x=-p/2
Paramètre p

Question 11

Caractéristiques d’une ellipse et d’une hyperbole

Answer 11

Avec a>b>0

C^2 = a^2 - b^2 (+ pour hyperbole)

Sommets
Foyers
Directrices : x = +- a^2/c
Exentricité : e=c/a Paramètre : p=b^2/a (en pratique : b=sqrt(ap))
Asymptotes pour hyperbole :
y = +- (b/a)x

Question 12

Équations des tangentes en M_0

Answer 12

Remplacer les carrés de x et de y par xx0 et yy0, et le x (parabole) par x+x0.

Question 13

Systèmes d’équations paramétriques

Answer 13

Parabole : x = 2pt^2, y = 2pt
Ellipse : x = acost, y = bsint
Hyperbole : x = acht, y = bsht (uniquement pour x>0)
Avec t dans R.

Question 14

Caractérisation bifocale

Answer 14

Uniquement pour ellipse et hyperbole.
Ellipse : MF + MF’ = 2a.
Hyperbole : |MF - MF’|=2a (si 2a <FF’).
a est le demi axe focal.

Question 15

Equation cartésienne d’une courbe du second degré

Answer 15

xy en deuxième position
A, b, et c non tous nuls.

Question 16

Discriminant d’une courbe du second degré et déductions

Answer 16

Négatif : ellipse.

Question 17

Equation polaire d’une conique

Answer 17

Attention aux coniques dégénérées.
L’équation donne le paramètre p, l’excentricité e et l’axe focal d’équation polaire teta = alpha. Son foyer est l’origine O.
On peut en déduire une équation polaire pour la directrice D.

Question 18

Étude d’une conique à partir de son équation polaire

Answer 18

…
Puis, calculer rho(alpha) et rho(alpha+pi) pour pouvoir placer A et A’.
Placer le milieu Omega de [AA’].
Calculer b (racine carrée de ap).

Question 19

Distance d’un point à une droite.

Question 20

Equation cartésienne d’une tangente à partir de l’équation d’une courbe du second degré

Answer 20

Remplacer x^2 par xx0.
Remplacer le xy par 1/2(xy0+yx0).
Remplacer x par 1/2(x+x0).

Question 21

Étudier une courbe du second degré

Answer 21

1) Discriminant, observer si conique dégénérée.
2) Equation réduite
3) Elements caractéristiques
4) Tracé

Question 22

Réduire une équation d’une courbe du second degré

Answer 22

1) Premier changement de repère pour R_teta = (O, u_teta, v_teta).
Teta = pi/4 si a=c.
Sinon, teta = 1/2 * arctan[b/(a-c)].
Ensuite, exprimer x et y en fonction de X et Y et remplacer dans l’équation.
2) Deuxième changement de repère pour avoir une forme canonique pour R’=(Omega, I, J).

Question 23

Variante dans l’equation cartésienne d’une parabole, d’une ellipse d’une hyperbole

Question 24

Hyperbole equilatere

Answer 24

Asymptotes orthogonales