1 - Nombres complexes Flashcards
Nombre j
(définition et deux propriétés)
j = e^(2i*pi/3)
j_barre = j^2
1 + j + j^2 = 0
Module de z
(définition et propriété)
Somme de q^k avec k allant de … à…
(1-q^(n+1))/(1-q)
0 à n
q non nul
Montrer qu’un complexe est réel
(3 méthodes)
Montrer qu’un complexe est un imaginaire pur
Simplifier un complexe écrit sous la forme d’une puissance d’un autre complexe
(1 méthode)
Forme exponentielle
Simplifier z + z_barre ou z-z_barre
2 fois la partie réelle ou 2i fois la partie imaginaire
Simplifier une expression complexe sous forme d’un quotient
(2 méthodes)
- Forme exponentielle
- Multiplier le num et le denom par la quantité conjuguée du dénominateur
- Deux méthodes combinées
Arranger une expression avec le module de z ou le module de z-z’ (égalité ou inégalité)
(2 méthodes)
- Elever au carré et remplacer le module de z par z*z_barre
- Forme exponentielle si z non nul
- Deux méthodes combinées
Linéariser cos^p (x) * sin^q (x)
1) Formule d’Euler
2) Développer (triangle de Pascal, binôme de Newton)
3) Formule d’Euler dans l’autre sens
Formules d’Euler
Développer cos(px) ou sin(px)
1) Observer que l’on cherche la partie réelle ou la partie imaginaire de e^ipx, soit de (cos(x) + isin(x))^p.
2) Développer (binôme de Newton).
3) Utiliser les formules trigo pour simplifier (cos carré + sin carré = 1).
Simplifier une somme de réels
1) Constater que c’est une somme de partie réelle ou partie imaginaire d’un complexe.
2) Calculer la somme de ce complexe. (somme de termes d’une suite géométrique, binôme de Newton).
3) Extraire la partie réelle ou la partie imaginaire.
Résolution de z^2 = w
(2 méthodes)
- Forme exponentielle si w est non nul (il y a alors deux solutions rapides à trouver)
- Forme algébrique (système à 3 équations dont une découle de |z|^2=|w| et une donne a*b de même signe ou de signe contraire)
–> La combinaison des deux méthodes permettent de determiner les valeurs d’un cos et d’un sin d’une valeur particulière.
Résoudre une équation du 2nd degré dans C à coefficients dans C
1) Calcul du discriminant.
2) Recherche des racines du discriminant avec “delta_min au carré = delta_maj” et forme algébrique.
Résoudre une équation polynomiale dans C à coefficients dans C de degré supérieur à 2
(1 méthode pour l’instant)
Trouver une racine triviale et factoriser. Puis résoudre l’équation de degré inférieur obtenue.
Résoudre une equation polynomiale avec z et z_barre
(2 méthodes)
- Forme exponentielle
- Utiliser l’équation et le conjugué de l’équation pour éliminer z_barre. Puis l’équation obtenue avec que du z.
Résoudre une équation du type acos(x) + bsin(x) = c
1) Utiliser les formules d’Euler.
2) Poser z à la place de e^iteta.
3) Résoudre l’équation en z.
“Inégalité triangulaire” du module et son équivalent avec des soustractions.
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Cas d’égalité de l’inégalité triangulaire
(équivalence)
Z et z’ sont liés.
Autrement dit, il existe un réel lambda tel que z’ = lambda*z.
Formule de Moivre
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Que veut dire “forme exponentielle” d’un complexe dans mes flashs cards?
On l’appelle officiellement la “forme trigonométrique”. Mais comme c’est l’écriture avec l’exponentielle, je comprends mieux.
Factorisation d’une somme d’exponentielle
(2 formules)
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Fonction exponentielle complexe
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Racines n-ieme de l’unité
(définition et théorème)
Solutions de l’équation z^n = 1
Ces solutions sont de la forme e^(2ik*pi/n) avce k allant de 0 à n-1.
Qu’est-ce que l’ensemble U ?
L’ensemble des nombres complexes de module 1.
Qu’est-ce que l’ensemble U_n ?
L’ensemble des racines n-iemes de l’unité (1).
Racines n-iemes d’un complexe quelconque w.
(expression)
Ce sont les complexes z solutions de l’équation z^n = w.
Ce sont les nombres de la forme rho^(1/n)e^(i(teta/n + 2kpi/n)) avec w = rho*e^(iteta).
Formules trigo : Formules d’addition et de duplication
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Formules trigo : Formules de linéarisation (produit en somme)
(et cas particulier)
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Formules trigo : somme en produit
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Formules trigo : Formule utilisant la tangente de l’angle moitié.
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