3. Kontrollvolym Flashcards
Kv 1.
Formulera Newtons 2:a lag med hjälp av impulsen för ett system.
m*V = impulsen
F = ma = d/dt (mV) = V(dm/dt)+m (dV/t)=
=(massan konstant över tid)= m(dV/t) = ma
Kv 2. Definiera impulsmomentet (angular momentum) för ett system.
H = sum(r*V)dm
r = hävarmen
Kv 3.
Visa hur kan volymflödet Q och massflödet m,flöde ̇genom en kontrollvolyms yta tecknas generellt, samt sambandet mellan Q och m,flöde då densiteten är konstant.
(Se bild + uträkning!)
dV = VdtdA*cos(teta)
volymflöde genom ytan per tidsenhet:
Q = int(dV/dT) = int (V.n) dA
(massflöde = volymflöde*densitet)
Varierande densitet ger följande uttryck:
m,flöde = int(rå (V.n) )dA
Vid konstant densitet fås:
m,flöde = rå*Q
Kv 4.
Till vad används Reynolds transportteorem (R.T.T) och varför?
R.T.T används inom strömningsmekanik för att analysera ett system över en kontrollvolym istället för att analysera individuella massor. Den används vid beräkningar på fluider vilket möjliggör att överföra mekanikens lagar för ett system till fluidmekanikens lagar för en kontrollvolym.
Reynolds transportteorem kan användas i fyra olika fall:
- Kontinuitetsekvationen: Conservation of mass
- Används vid konstant massa - Impulssatsen: Linear momentum
- Används vid beräkningar av krafter - Impulsmomentsatsen: Angular momentum
- Används vid beräkningar av moment - Energiekvationen: Energy equation
- Används vid beräkningar på energi
Kv 6.
Förklara vad de ingående termerna i Reynolds transportteorem representerar. På vilket sätt har man nytta av ett sådant samband just i strömningsläran?
Reynolds transportteorem ser ut som följer:
d/dt(B,syst) =
d/dt(int_cv(betarådV))+
int_cs(beta*rå(V,r.n)dA
d/dt(B,syst) (1)
(1).
Visar på hur systemet förändras per tidsenhet med avseende på den extensiva storheten B som exempelvis kan vara impuls,massa eller energi.
d/dt(int_cv(betarådV)) (2)
(2).
Visar på förändring per tidsenhet inom kontrollvolymen med avseende på beta, där beta=dB/dm.
int_cs(beta*rå(V,r.n)dA (3)
(3).
Visar på in och utflöde per tidsenhet ur kontrollytan med avseende på beta.
Fördelen med användning av Reynolds transportteorem inom strömningsläran är att den möjliggör att studera en kontrollvolym i ett system istället för att analysera individuella massor. Den har även flera olika användningsområden då den kan användas för exempelvis masskonservering, impulsmoment, energikonservering m.m.
Kv 7.
Hur kan tidstermen i R.T.T förenklas om kontrollvolymen är fix?
(Se formula!)
Om kontrollvolymen är fix förenklas R.T.T genom att tidsderivatan flyttas in i integraluttrycket då volymelementen inte varierar.
d/dt(int(betarådV) = int(d/dt(beta*rå)dV
Kv 8.
Vad blir skillnaderna i R.T.T för det helt generella fallet (ekv 3.16) och fallet med en fix kontrollvolym (ekv 3.17)?
Skillanden mellan den generella Reynolds transportteorem:
d/dt(B,syst)=
d/dt(int_cv(betarådV)+
int_cs(beta*rå((V,r.n))dA) (3.16)
och den för fallet med en fix kontrollvolym:
d/dt(B,syst)=
int_cv((d/dt)betarådV+
int_cs(betarå((V,r.n))dA) (3.17)
är till att börja med att relativhastighetsvektorn i det generella fallet ersätts med hastighetsvektorn enligt:
V,r = V - V,s → V,s = 0
ty fix kontrollvolym → V,r = V
Den andra förändringen som görs är att tidsderivatan flyttas in innanför integraltecknet i (3.17), i den första termen i vänsterledet. I (3.16) måste denna vara utanför integraltecknet, då volymelementen måste ha en möjlighet att förskjutas med tiden då kontrollvolymen inte är fix.
Kv 9.
Hur kan flödestermen i ekv (3.16) förenklas om vi kan anta att alla in – och utlopp är endimensionella?
Vad menas med att ett in-/utlopp är endimensionellt?
Vi antar att strömningen är vinkelrät mot in – och utloppsytan.
Flödestermen:
int(beta*rå((V,r.n))dA
kan ersättas med:
i_sum(beta,irå,iA,iV,i)ut-
-i_sum(beta,irå,iA,iV,i)in
Anledningen är att hastighetsvektorn är konstant över gränsarean.
Med ett endimensionellt in- och utlopp menas att flödena i ett godtyckligt tvärsnitt är likartade.
Kv 10.
Härled kontinuitetsekvationen på integralfom för en fix kontrollvolym genom att utgå från Reynolds transportteorem
d/dt(B,syst) =
d/dt(cv_int(betarådV))+
cs_int(beta*rå((V,r.n))dA
Förklara även vad kontinuitetsekvationen betyder fysikaliskt.
Sätt B=m vilket ger beta=dB/dm=dm/dm=1
d/dt(B,syst)=0 ty massförändringen är lika med 0 för systemet.
0=d/dt(cv_int(rådV))+cs_int(rå((V,r.n))dA)
Fix kontrollvolym gör att vi kan flytta in tidsderivatan i integralen samt att V,r=V vilket ger:
0=d/dt(cv_int(rådV))+cs_int(rå((V,r.n))dA) (3.21)
Kontinuitetsekvationen är ett uttryck för villkoret att massa varken skapas eller försvinner vid ett strömningsförlopp.
Kv 11. Hur kan kontinuitetekvationen (3.21) förenklas om vi har:
a) Endimensionella in – och utlopp?
b) Stationär strömning?
c) Inkompressibel och instationär strömning?
a)
Vid endimensionell strömning, då flödena kan antas likartade i snittet, kan sista termen i ekvationen förenklas till differensen mellan det totala ut- och inflödet eftersom hastigheten inte varierar. Hastigheten är då ingen funktion av arean. Ekvationen blir således:
0=cv_int(dp/dtdV)+
+i_sum(rå,iA,iV,i)ut-
-i_sum(rå,iA,i*V,i)in
b)
Vid stationär strömning förändras ingenting med tiden, tidsderivatan kan antas vara noll, 𝜕𝜕𝑡=0, Ekvationen blir således:
0=cs_int(rå((V.n))dA)
c)
Vid inkompressibel och instationär strömning kan densiteten antas vara konstant, ty inkompressibel strömmning. Ekvatinen blir då:
0=cs_int(rå((V.n))dA)
Och den kan förkortas ytterligare genom att dela med konstanten rå och man får då:
0=cs_int( ((V.n))dA)
Kv 12.
Hur definieras volymsmedelvärderade medelhastigheten genom en yta (för inkompressibel strömning?
Volymflödet genom en yta:
Q=cs_int( (V’.n’) dA)
Då V varierar vid in - och utlopp definieras en medelhastighet V,avg.
Q=V,avg/A → V,avg=Q/A=
=(1/A)*cs_int( (V’.n’) dA)
