02 Laserstrahlung, Wellen, Kohärenz, Gaußscher Strahl Flashcards
Kreisfrequenz
𝜔 = 2𝜋𝑓
Einheit: rad s-1
Frequenz
𝑓
Einheit: s-1, Hz
Kreiswellenzahl
𝑘 = 2𝜋/𝜆
Einheit: rad m-1
elektrisches Feld
𝐸 = 𝐸_0 cos (𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜙_0)
oder komplex
𝐸 = 𝐸_0 exp( 𝑖 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜙_0))
Dispersionsrelation
𝜔/𝑘 = 𝑐 = 𝑐0/𝑛= 𝜆𝑓
Poynting-Vektor
𝑆 = 𝐸 × 𝐻
Der Betrag des Poynting-Vektors ist die Intensität der Strahlung (Bestrahlungsstärke) [W/cm²].
Verhältnis von 𝐸 zu 𝐻
|𝐸| / |𝐻| = 𝑍_0
Wellenwiderstand
des Vakuums
𝑍_0 = sqrt( 𝜇_0/𝜀_0 ) = 120𝜋 Ω
Betrag des Poynting-Vektors
im zeitlichen Mittel
<|𝑆|> = 1/𝑍_0 <|𝐸|^2> = 𝐸_0^2 / (2𝑍_0) = 𝐸_𝑒𝑓𝑓^2 / 𝑍_0
durch welche fünf unabhängigen Strahlparametern wird eine ebene Welle beschrieben
1) Intensität |S|
2) Phasenwinkel 𝜙
3) Ausbreitungsrichtung 𝑘/ |k|
4) Wellenlänge / Frequenz 𝜆, 𝑓
5) Polarisation E/ |𝐸|
Addition der Feldstärken
selbe Amplitude
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = 2 cos (𝜙/2) *𝐸0 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜙/2)
Intensität (Bestrahlungsstärke)
der Einzelwelle
𝐼_0 =𝐸_0^2 / (2*𝑍_0)
Intensität der Überlagerung
von Welle 1 und Welle 2
(selbe Amplitude)
𝐼 = 4 * 𝐼_0 * cos(𝜙/2)^2
Schwebung mit der Periodendauer
𝑇_𝑏 = 1/Δ𝑓 = 𝜆^2 / (𝑐Δ𝜆)
Um die Schwebungsfrequenz bestimmen zu können, muss die Messzeit größer als die Periodendauer sein: 𝜏 > 𝑇_𝑏
Huygens-Fresnelsches Prinzip
▪ jeder Punkt in der Ebene der Blende ist Ausgangspunkt einer sphärischen Sekundärwelle gleicher Frequenz
▪ das Wellenfeld auf dem Schirm resultiert aus der Überlagerung aller Sekundärwellen
→ Interferenzmuster, Beugungsbild
Fraunhofer-Beugung
◼ Lichtquelle und Beobachtungsschirm sind unendlich weit von der beugenden Blende entfernt.
◼ Abstand Lichtquelle – Blende R, Abstand Blende – Beobachtungsschirm L, typische Dimension der Blende a
(z.B. Radius bei Lochblende): R, L»_space; a^2/𝜆
◼ praktische Realisation: Lichtquelle und Beobachtungsschirm befinden sich jeweils in der Brennebene von
Sammellinsen.
Beugungswinkel am Einzel-Spalt
sin(𝜃) = 𝜆/(2a)
a=halber Spaltdurchmesser
Fraunhofer-Beugung gilt für den normierten Intensitätsverlauf
𝐼(𝜃)/𝐼_0 = (sin(𝛼)/𝛼)^2 = sinc(𝛼)^2
mit 𝛼 = 2𝜋𝑎 sin(𝜃) /𝜆
Beugungswinkel (erster dunkler Ring) an der Lochblende
𝜃_𝑑 = 1,22 𝜆/(2𝑎)
Beugung am Doppelspalt – Lage der Maxima
sin 𝜃 =𝑛𝜆 / (2𝑏)
Beugung am Gitter
Lage der Hauptmaxima
(𝑔 = Gitterkonstante)
sin 𝜃 =𝑛𝜆/𝑔
Nenne verschiedene Gittertypen
a) Reflexionsgitter mit Blaze-Winkel, „Sägezahn“, Optimierung der Beugungseffizienz für eine
bestimmte Beugungsordnung n (Licht wird am Gitter reflektiert und gebeugt)
b) Phasengitter, periodische Änderung des Brechungsindexes (Licht tritt durch das Gitter und wird gebeugt)
c) Reflexionsgitter mit sinusförmiger Oberfläche, nur n = 0 und n = +- 1
Kohärenz
bei einem kohärenten Lichtfeld besteht zwischen den Schwingungen an zwei beliebigen Raumzeitpunkten
eine feste Beziehung
Reales Strahlungsfeld – Elementarbündel
◼ an zwei Raumpunkten P1 und P2 liegt nur dann eine feste Phasenbeziehung vor, wenn diese sich in einem
begrenzten Volumen befinden, dem Elementarbündel
◼ der maximale Abstand in Ausbreitungsrichtung zwischen zwei Punkten P1 und P2 bei dem noch zeitliche Kohärenz
vorliegt, ist die longitudinale Kohärenzlänge
Elementarbündel – zeitliche Kohärenz
◼ Elementarbündel bewegt sich mit der Welle (Geschwindigkeit 𝑐)
◼ an einem festen Punkt existiert nur für folgende Zeitdauer eine Schwingung definierter Phase: 𝑇_𝑐 = 𝐿_𝑐 / 𝑐
◼ Kohärenzzeit 𝑇𝑐 , Kohärenzlänge 𝐿𝑐
Elementarbündel – räumliche Kohärenz
◼ zwei Punkte in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.) sind zueinander räumlich kohärent
◼ Alle diese Punkte definieren die transversale Kohärenzfläche 𝐴𝑐 .
◼ Ein Laserstrahl kann räumlich vollständig kohärent sein, d.h. die Kohärenzfläche ist gleich dem Strahlquerschnitt;
für inkohärente Quellen ist die Kohärenzfläche begrenzt.
Zusammenhang Kohärenzzeit 𝑇𝑐 einer Strahlungsquelle und ihrer
Bandbreite Δ𝜔
Δ𝜔 ⋅ 𝑇_𝑐 ≈ 𝜋
durch Verringerung der Bandbreite kann die Kohärenzzeit erhöht werden, Bsp. Spektralfilter
Räumliche Kohärenz
Definition
R = Abstand Lichtquelle Lochblende b = abstand der Lochblenden-Löcher
◼ räumliche Kohärenz liegt nur dann vor, wenn gilt (kreisrunde Lichtquelle, Durchmesser 2𝑎):
1,22 𝜆/(2𝑎) ≥ 2𝑏/𝑅
◼ Licht ist nur dann räumlich kohärent, wenn es innerhalb des Beugungswinkels der Lichtquelle θ = 1,22 𝜆 / (2𝑎) beobachtet wird (vgl. Folie 18).
◼ der maximale Abstand der Lochblenden bei dem noch Interferenz beobachtet werden kann – die transversale
Kohärenzlänge: 2𝑏𝑚𝑎𝑥 ≈ 𝜆/(2𝑎) *𝑅
Kohärenzfläche
𝐴_𝑐 = 𝜋*𝑏_𝑚𝑎𝑥^2 = 𝜆^2/(𝜋𝑎^2) *𝑅^2
b_max = der maximale Abstand der Lochblenden bei dem noch Interferenz beobachtet werden kann
Vergleich Laserstrahlung und thermisches Licht
Laserstrahlung:
▪ geringer Divergenzwinkel, räumliche Kohärenz
▪ schmalbandig, spektrale/zeitliche Kohärenz
(Tageslicht kann gut ausgefiltert werden)
thermische Lichtquelle:
▪ isotrope Abstrahlung
▪ breitbandig (Planck)
wesentliche Elementarprozesse:
Laser – induzierte Emission,
thermische Lichtquelle – spontane Emission
Laseroszillator
was macht der Resonator ?
Der Resonator bestimmt wesentlich die Eigenschaften des Lasers.
◼ Rückkopplung für stimulierte Emission
◼ Richtungsselektion, Selektion transversaler Moden
◼ Frequenzselektion (longitudinale Moden), Linienbreite
Modenselektion des Resonators
Nur transversale Grundmode: »Grundmode-Laser« (Single/Fundamental-Mode-Laser)
Nur eine longitudinale Mode: »Single-Frequency-Laser«
Laseroszillator
Bedingung anschwingen
Der Laser schwingt nur an, wenn die im Resonator hin- und herlaufende Welle sich bei einem Durchgang
phasenrichtig mit sich selbst überlagert:
𝜆_𝑞 = 2*𝐿/𝑞
(Modenzahl 𝑞 = longitudinale Moden)
Gaußscher Strahl
Intensitätsverteilung
𝐼(𝑧,𝑟) = 𝐼_0 * 𝑤_0^2/𝑤(𝑧)^2 * exp( −2*𝑟^2/𝑤(𝑧)^2 )
Rayleighlänge
𝑧_𝑅 = 𝜋𝑤_0^2/𝜆 = 𝑘𝑤_0^2/2
Krümmungsradius Phasenfronten
𝑅 𝑧 = 𝑧 + 𝑧_𝑅^2/𝑧
Strahlradius
𝑤_𝑧 = 𝑤_0 * sqrt( 1 + 𝑧^2/𝑧_R^2 )
Strahlparameterprodukt
𝑆𝑃𝑃 = 𝑤_0 * 𝜃 = 𝜆/𝜋 ⋅ 𝑀^2
Für eine gegebene Wellenlänge ist
das Produkt aus Taillenradius und
Beugungswinkel konstant.
= Erhaltungsgröße
Für höhere transversale Moden
oder ein Modengemisch ist das
SPP größer als für den Gaußschen
Strahl (𝑀^2=1).
Strahlqualitätszahl
𝐾 = 1/𝑀^2
Beugungsmaßzahl
𝑀^2 = 𝑤_0 ⋅ 𝜃 ⋅ 𝜋/𝜆
Für höhere transversale Moden
oder ein Modengemisch ist das
SPP größer als für den Gaußschen
Strahl (𝑀^2=1)
