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Wissenschaftliches Rechnen > Vorwissen Lineare Algebra > Flashcards

Vorwissen Lineare Algebra Flashcards

1
Q

Matrix Schreibweise

A
  • Matrizen werden oft mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet.
  • Elemente werden mit entschprechenden Kleinbuchstaben und zei Idizes geschreiben
  • der erste Index gibt die Zeile an (0 : n-1)
  • der zeite Index gibt die Spalte an (0 : m-1)
  • Wenn aus Kontext kalr ist, was Zeilen/Spaltenindex ist, wird auf das Komma zwischen den Indizes verzichtet.
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2
Q

Matrix A als Menge von Einträgen schreiben

A

A = {a_ij}, Zeilenindex i, Spaltenindex j

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3
Q

Was sind Diagonalelemente einer Matrix?

A

Elemente mit gleichen Zeilen- und Spaltenindex.

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4
Q

Was ist eine quadratische Matrix?

A

Eine Matrix, deren Zeilenanzahl und Spaltenanzahl identsich sind.

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5
Q

Was ist eine Diagonalmatrix

A

Eine Matrix die nur auf der Diagonalen Werte ungleich null hat.

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6
Q

Was ist eine Einheitsmatrix

A

Eine Diagonalmatrix deren Diagonalelemente alle 1 sind

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7
Q

Was ist die Transponierte von A

A

A, wobei die Zeilen und Spalten vertauscht sind. Geschrieben A^T

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8
Q

Was verändert sich beim Transponieren einer Matrix nicht?

A

Die Diagonale einer Matrix

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9
Q

Was ist eine symmetrische Matrix

A

Eine Matrix, die sich bei Transposition nicht verändert.

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10
Q

Was kann man über die Form eine symmetrsichen Matrix aussagen?

A

Symmetrische Matrizen sind immer quadratisch

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11
Q

Ist eine Diagonalmatrix immer symmetrisch?

A

Ja

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12
Q

Was sind Vektoren

A
  • Matrizen mit nur einer Spalte
  • Verktoren werden meist mit kleinbuchstaben bezeichnet
  • Elemete des Vektors werden mit einem Index geschrieben
  • Indizes von v : n-1
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13
Q

Was kann man tun, um wenn man einen Vektor in Zeilenform (Zeilenvektor) haben möchte?

A

Man Transponiert den Vektor

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14
Q

Wie beschreibt man Matrizen durch Spaltenvektoren?

A
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15
Q

Wie beschreibt man Matrizen durch Zeilenvektoren

A
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16
Q

Matrix - Addition

A
  • Matrizen können addiert werden wenn sie die gleichen Dimensionen haben.
  • Addition wird elementeweise durchgeführt
  • Addition ist kommutativ und assiziativ
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17
Q

Matrix - Multiplikation

A
  • Anzahl Spalten von A muss Anzahl Zeilen von B entsprechen
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18
Q

inneres Produkt / Skalarprodukt

A

Produkt zwischen zwei Vektoren der gleichen länge:

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19
Q

außere Produkt

A

Produkt zwischen zwei Vektoren der gleichen länge. Bildet eine Matrix die alle möglichen Produkte zwischen den Koeffizienten der beiden Vektoren enthält

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20
Q

Spur - Definition

A

Die spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.

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21
Q

Spur für zwei Vektoren gleicher Länge

A
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22
Q

Transposition des äußeren Produkts

A

Transponiert man das äußere Produkt so vertauschen sich die Vektoren

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23
Q

Welche Eigenschaft hat das äußeren Produkt eines Vektors mit sich selbst

A

Das äußere Produkt ist eine symmetrische Matrix

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24
Q

Transposition von A * B^T

A
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25
Welche Eigenschaft hat A * A^T
Die resultirende Matrix ist symmetrisch
26
Rechenregeln für das Matrixprodukt
* assiziativ: A(BC) = (AB)C * distruktiv: A(B+C) = AB + BC * nicht kommutativ: AB != BA
27
Neutralelment der Matrixmultiplikation
Die Einheitsmatrix (auch Identität) ist das Neutralelement der Matrixmultiplikation:
28
Wann ist z.B das Matrixprodukt kommutativ?
Wenn (mindestens) eine der beiden Matrizen die Indentität ist.
29
Ist die Spur von zwei Matizen Kommutativ?
Ja. tr(AB) = tr(BA)
30
Ist das Produkt von zwei symmetrischen Matrizen auch symmetrisch?
Nein
31
Inverse
Es gibt nicht zu jeder quadratischen Matrix A ein Inverses Element.
32
Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors ist die Quadratwurzel des inneren Produktes.
33
Wann hat ein Vektor Einheitslänge?
falls gilt: (x^T)x = 1
34
Wann sagt man, ein Vektor ist norminer?
Wenn er Einheitslänge hat.
35
Was misst das Skalarprodukt von zwei norminerten Vektoren?
Den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren
36
Wie kann man Vektoren normieren?
Indem man sie durch ihre Länge teilt.
37
Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander?
Wenn sie im rechnten Winkel zu einander stehen, also cos(phi) = 0. Daher gilt, dass sie im rechnten Winkel stehen, wenn das Skalarprodukt Null ist.
38
Wann ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren = 0
Wenn die Vektoren orthogonal sind oder wenn mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
39
Lösung des von Ax=b unter verschiedenen vorraussetzung
Wenn die Spaltenvektoren von a_i der Matrix Einheitslänge haben und je zwei unterschiedliche Spalten orthogonal zu einander sind, dann ergeben sich die Koeffizienten x als x_i = a_i^T * b. Wenn b n-Koeffizienten hat braucht man auch n Basisvektoren.
40
Orthogonalmatrix
Eine Matrix mit orthogonalen und normierten Spaltenvektoren. Sie haben die Eigenschaft A(A^T) = I. Daher sind nicht nur die Spalten sonder auch die Zeilenvektoren orhtogonal und normiernt.
41
Inverse einer Orthogonalmatrix
Die Inverse eine Orthogonalmatrix ist die Transponierte
42
Basiswechsel mit Orthogonalmatrizen
Der Basiswechsel mit einer Orthogonalmatrix erhält Winkel und Länge zwischen Vektoren. Sie verändern also das Skalarprodukt nicht
43
Basiswechsel in eine orthogonale Basis
Der Basiswechsel in eine orthogonale Basis erhält Winkel der Vektoren, aber nicht die Länge.
44
Volumen von einem Parallelogramm berechnen
Bei zwei Vektoren x und y ergibt sich das Volumen aus Grundseite x * höhe, mit höhe ||y|| * |sin(phi)|. Das können wir umschreiben: ## Footnote y^falsum ist y um 90 grad gedreht
45
Determinante von A
Die Determinante von A beschreibt das Volumen von dem durch die Spaltenvekoren aufgespannten körper. Für eine 2x2 Matrix also das Volumen des Parallelogramms. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert
46
Determinantenberchnung für 2x2 Matrix
47
Determinantenberechnung für 3x3 Matrix
48
Interpretation der Determinante wenn A einen Basiswechsel beschreibt:
|A| misst die Veränderung des Flächeninhalts jeder ebenen geometrischen Figur beim wechsel in die durch A definierte Basis. Das Vorzeichen beschreibt die Orientierung.
49
Was bedeutes es, wenn die Determinante null ist?
jede Figur hat nach der Transformation in die Basis die durch die Spalten von A aufgespannt wird, keinen Flächeninhalt mehr, spricht die Figuren degenerieren zu Linien oder Punkten.
50
Determinante von orthogonalen Matrizen
orthogonale Matrizen erhalten alle Längen und Winkel. Daher erhählt sie auch Fläche und Volumen. Es gilt:
51
Determinante der Identität
|I| = 1
52
Was passiert mit der Determinante, wenn orthogonale Matrizen spiegeln
Das vorzeichen der Determinante dreht sich, aber der Betrag bleibt gleich.
53
Wann spricht man von einer Rotationsmatrix
Wenn eine orthogonale Matrix eine positive Determinante hat, also |A| = +1.
54
Determinante bei Diagonalmatrizen
Die Volumenänderung ist genau das Produkt der Diagonalelemente
55
Skalierung aller Achsen mit dem gleiche Faktor s
Die Wirkung kannn mann einfach durch Multiplikation aller Elemente mit dem Skalar s beschreiben:
56
Kommutation der Determinante
57
Determinante der Inverse von A
58
Wass muss für die Determinante gelten, damit eine multplikative Inverse von A existiert
|A| != 0
59
Was ist ein Eigenvektor?
Ein Vektor der sich beim Basiswechsel nur in der Länge verändert, aber nicht in der Richtung.
60
Was ist der Eigenwert von einem Eigenvektor?
Der Eigenvektor x muss folgende Gleichung erfüllen: Ax = bx, wobei b ein Skalar ist. b ist dann der Eigenwert zum Eigenvektor x von A
61
Bestimmung eines repräsentaten des Eigenvektors
Da mit x auch sx ein Eigenvektor von A ist (mit gleichem Eigenwert) wählen wir den Eigenvektor immer normiert, also: (x^T)x = 1
62
Welche Eigenschaft haben Eigenvektoren von einer symmetrischen Matrix?
Die Eignevektoren sind orthogonal zueinander
63
Wie viele Eigenvektoren hat eine symmetrische nxn Matrix immer?
n orthogonale Eigenvektoren
64
Wie kann man eine symmetrisch Matrix noch darstellen?
Eine symmetrische Matrix lässt sich immer aus drei Matrizen darstellen: einer orthogonalen Matrix, die die Eigenvektoren von A als Spalten enthält, einer diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der diagonale und einer orthogonalen Matrix, bei der die eigenvektoren in den Zeilen stehen. Da mit x auch -s ein Eigenvektor ist kann man die orhtogonale Eigenbasis X immer so wählen, das sie nicht spielgelt, also als Rotation

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