Vorwissen Lineare Algebra Flashcards
Matrix Schreibweise
- Matrizen werden oft mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet.
- Elemente werden mit entschprechenden Kleinbuchstaben und zei Idizes geschreiben
- der erste Index gibt die Zeile an (0 : n-1)
- der zeite Index gibt die Spalte an (0 : m-1)
- Wenn aus Kontext kalr ist, was Zeilen/Spaltenindex ist, wird auf das Komma zwischen den Indizes verzichtet.
Matrix A als Menge von Einträgen schreiben
A = {a_ij}, Zeilenindex i, Spaltenindex j
Was sind Diagonalelemente einer Matrix?
Elemente mit gleichen Zeilen- und Spaltenindex.
Was ist eine quadratische Matrix?
Eine Matrix, deren Zeilenanzahl und Spaltenanzahl identsich sind.
Was ist eine Diagonalmatrix
Eine Matrix die nur auf der Diagonalen Werte ungleich null hat.
Was ist eine Einheitsmatrix
Eine Diagonalmatrix deren Diagonalelemente alle 1 sind
Was ist die Transponierte von A
A, wobei die Zeilen und Spalten vertauscht sind. Geschrieben A^T
Was verändert sich beim Transponieren einer Matrix nicht?
Die Diagonale einer Matrix
Was ist eine symmetrische Matrix
Eine Matrix, die sich bei Transposition nicht verändert.
Was kann man über die Form eine symmetrsichen Matrix aussagen?
Symmetrische Matrizen sind immer quadratisch
Ist eine Diagonalmatrix immer symmetrisch?
Ja
Was sind Vektoren
- Matrizen mit nur einer Spalte
- Verktoren werden meist mit kleinbuchstaben bezeichnet
- Elemete des Vektors werden mit einem Index geschrieben
- Indizes von v : n-1
Was kann man tun, um wenn man einen Vektor in Zeilenform (Zeilenvektor) haben möchte?
Man Transponiert den Vektor
Wie beschreibt man Matrizen durch Spaltenvektoren?
Wie beschreibt man Matrizen durch Zeilenvektoren
Matrix - Addition
- Matrizen können addiert werden wenn sie die gleichen Dimensionen haben.
- Addition wird elementeweise durchgeführt
- Addition ist kommutativ und assiziativ
Matrix - Multiplikation
- Anzahl Spalten von A muss Anzahl Zeilen von B entsprechen
inneres Produkt / Skalarprodukt
Produkt zwischen zwei Vektoren der gleichen länge:
außere Produkt
Produkt zwischen zwei Vektoren der gleichen länge. Bildet eine Matrix die alle möglichen Produkte zwischen den Koeffizienten der beiden Vektoren enthält
Spur - Definition
Die spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.
Spur für zwei Vektoren gleicher Länge
Transposition des äußeren Produkts
Transponiert man das äußere Produkt so vertauschen sich die Vektoren
Welche Eigenschaft hat das äußeren Produkt eines Vektors mit sich selbst
Das äußere Produkt ist eine symmetrische Matrix
Transposition von A * B^T
Welche Eigenschaft hat A * A^T
Die resultirende Matrix ist symmetrisch
Neutralelment der Matrixmultiplikation
Die Einheitsmatrix (auch Identität) ist das Neutralelement der Matrixmultiplikation:
Inverse
Es gibt nicht zu jeder quadratischen Matrix A ein Inverses Element.
Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors ist die Quadratwurzel des inneren Produktes.
Was misst das Skalarprodukt von zwei norminerten Vektoren?
Den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren
Lösung des von Ax=b unter verschiedenen vorraussetzung
Wenn die Spaltenvektoren von a_i der Matrix Einheitslänge haben und je zwei unterschiedliche Spalten orthogonal zu einander sind, dann ergeben sich die Koeffizienten x als x_i = a_i^T * b. Wenn b n-Koeffizienten hat braucht man auch n Basisvektoren.
Inverse einer Orthogonalmatrix
Die Inverse eine Orthogonalmatrix ist die Transponierte
Volumen von einem Parallelogramm berechnen
Bei zwei Vektoren x und y ergibt sich das Volumen aus Grundseite x * höhe, mit höhe ||y|| * |sin(phi)|. Das können wir umschreiben:
y^falsum ist y um 90 grad gedreht
Determinantenberchnung für 2x2 Matrix
Determinantenberechnung für 3x3 Matrix
Determinante von orthogonalen Matrizen
orthogonale Matrizen erhalten alle Längen und Winkel. Daher erhählt sie auch Fläche und Volumen. Es gilt:
Determinante bei Diagonalmatrizen
Die Volumenänderung ist genau das Produkt der Diagonalelemente
Skalierung aller Achsen mit dem gleiche Faktor s
Die Wirkung kannn mann einfach durch Multiplikation aller Elemente mit dem Skalar s beschreiben:
Kommutation der Determinante
Determinante der Inverse von A
Was ist ein Eigenvektor?
Ein Vektor der sich beim Basiswechsel nur in der Länge verändert, aber nicht in der Richtung.
Wie kann man eine symmetrisch Matrix noch darstellen?
Eine symmetrische Matrix lässt sich immer aus drei Matrizen darstellen: einer orthogonalen Matrix, die die Eigenvektoren von A als Spalten enthält, einer diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der diagonale und einer orthogonalen Matrix, bei der die eigenvektoren in den Zeilen stehen. Da mit x auch -s ein Eigenvektor ist kann man die orhtogonale Eigenbasis X immer so wählen, das sie nicht spielgelt, also als Rotation
