Vorwissen - Komplexe Zahlen

Question 1

i² = ?

Answer 1

i² = -1

Question 2

komplexe Zahlen - Addition: (a+bi) + (c+di)

Answer 2

(a+bi) + (c+di) = a + bi + c +di = (a+c) + (b+d)i

Question 3

komplexe Zahlen - Subtraktion (a+bi) - (c+di

Answer 3

(a+bi) - (c+di) = a + bi - c - di = (a-c) + (b-d)i

Question 4

komplexe Zahlen - Multiplikation (a+bi)(c+di)

Answer 4

(a+bi)(c+di) = ac +adi + bci +bdi² = (ac-bd) + (ad+bc)i

Question 5

komplexe Zahlen - Division (a+bi)/(c+di)

Answer 5

Question 6

Absolutbetrag einer komplexen Zahl z: |z| - Definition

Answer 6

Question 7

Wertbereich des Absolutbetrags einer komplexen Zahl

Answer 7

|z| >= 0 und es gilt |z| = 0 genau dann wenn z = 0

Question 8

Absolutbetrag einer komplexen Zahl - Rechenregeln

Answer 8

• |z * w|= |z|*|w|
• |z / w| = |z|/|w| (für w != 0)
• |z + w| <= |z| + |w|

Question 9

komplex konjugierte Zahl - Definition

Answer 9

Die zu einer komplexen Zahl z = a+bi konjugierte komplexe Zahl ist definiert als:

Question 10

komplex Konjugierte Zahl - Rechenregeln

Answer 10

Question 11

Inverse von z mit komplex kinjugierter Zahl darstellen

Answer 11

Question 12

Realteil von z mit komplex konjugierter berechen

Answer 12

R(z) = (z + z*) / 2

Question 13

Welche Schreibweise wir auf oft für die komplex Konjugierte Zahl von z verwendet?

Answer 13

z*

Question 14

Imaginärteil von z mit komplex Konjugierter berechnen

Answer 14

I(z) = (z - z*) / 2

Question 15

Wann gilt z = z*

Answer 15

z = z* gilt genau dann wenn die komplexe Zahl z rell ist, d.h., wenn I(z) = 0 ist.

Question 16

A* - Definition

Answer 16

konjugierte-transponierte Matrix von A

Alle Einträge einzeln konjugieren und die Matrix dann transponieren

Question 17

exp(z) * exp(w) = ?

Answer 17

exp(z + w) für alle z, w in C

Question 18

Wie schreibt man exp(z) auch oft?

Answer 18

e^z

Question 19

exp(iz) als cos und sin Funktionen

Answer 19

exp(iz) = cos(z) + i sin(z)

Question 20

Sinus durch exp darstellen

Answer 20

Question 21

Cosinus durch exp darstellen

Answer 21

Question 22

exp(-iz) als cos und sin Funktionen

Answer 22

exp(-iz) = cos(z) - i sin(z)

Question 23

periode von exp

Answer 23

exp(z+2pii*k) = exp(z) für alle k in Z

Question 24

Polardarstellung von komplexen Zahlen

Answer 24

Question 25

Winkel phi in der Polardarstellung in normale Darstellung umwandeln

Answer 25

Question 26

Winkel phi der Polardarstellung berechnen

Answer 26

Question 27

Addition von komplexen Zahlen in Polardarstellung

Answer 27

Entspricht der geometrischen Addition von Vektoren.

Question 28

Subtraktion von komplexen Zahlen in Polardarstellung

Answer 28

Entspricht der geometrischen Subtraktion von Vektoren.

Question 29

Multiplikation von komplexen Zahlen in Polardarstellung

Answer 29

Question 30

Division von komplexen Zahlen in Polardarstellung

Answer 30

Question 31

Konjugation von komplexen Zahlen in Polardarstellung

Answer 31

Die Konjugation entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse.

Question 32

Kanonisches Skalarprodukt im C^n

Answer 32

Question 33

Rechenregeln für das Kanonische Skalarprodukt

Answer 33

Question 34

Norm des kanonischen Skalarprodukt

Answer 34