Diskrete Fouriertransformation Flashcards

1
Q

Motivation der Diskreten Fouriertransformation

A

Wir haben ein Signal der, das wir als eine Funktion s’ : R -> R sehen. Dieses Signal disrektisieren wir indem wir es nur über ein Intervall i = [0, n) mit Sidkretisierungsschrittweite 1 abbilden. So kann das Signal als Vektor s \in R^n dargestellt werden. Aus komplexitätsgründen nehmen wir an das s zyklisch verläuft, also s’(t) = s_(t mod n). s wollen wir jetzt mit einem Operator A verarbeiten. Dabei bildet A dann auf neues Signal ab.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Wie nennt man die Veränderung des Signals

A

filtern

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Wie heißt die Anwendung des Operators zum filtern

A

falten

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Wie kann man die Matrix A auch nennen

A

Filter

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Wie heißt die Matrixmultiplikation As

A

Faltung

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Was bedeutet zeitinvariant

A

Es spielt keine Rolle, ob wir das Signal zunächst verschieben oder denn Operator anwenden und dann das Signal verschieben.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Ist der Filter zeitinvariant

A

Ja

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

zyklische Verschiebungsmatrix

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Welche Eigenschaft hat die Matrix A dadurch, das sie zeitinvariant ist in Verbindung mit der zyklischen Verschiebungsmatrix

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Wie sieht die Faltungsmatix A aus?

A

Wir können alle Spalten aus A durch Verschiebung von a’ beschreiben

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

A als Linearkombination der Potenzen von Z

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Was gilt für den Vektor a’ der Faltungsmatrix A

A

a’ bestimmt die Matrix A vollständig

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Was ist der Kern des Faltungsoperators *

A

der Vektor a’

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Faltungsoperator als Funktion, die nur von a’ abhängt

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Wie kann man a’ berechnen, wenn der Filter unbekannt ist?

A

In dem man sich das Ergebnis für das Signal (1,0,…,0)^T, den sog. Einheitsimpuls betrachtet. Das Ergebnis nennt man Impulsanwort.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Was ist die normale Komplexität der Faltungsoperation

A

0(n^2)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Wie schnell kann man die Faltung ausrechnen

A

O(n log n)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Was gilt für die Eigenvektoren von Z bezüglich den Eigenvektoren von A

A

Die Eigenvektoren von Z sind auch die Eigenvektoren von A

18
Q

Was sind die n Eigenwerte von Z

A

Das sind die n-ten Einheitswurzeln

19
Q

wie berechnet man die Lösung der Einheitswurzeln

A

Für die k-te Lösung wird w_n hoch k gerechnet

20
Q

Wie sehen die Eigenvektoren von Z aus?

A
21
Q

Wie stehen die Eigenvekoren von Z v_j und v_k zueinander?

A

v_j und v_k sind orthogonal

22
Q

Interpretation der Eigenvektoren als Frequenzen für gerades n

A
23
Q

Interpretation der Eigenvektoren als Frequenzen für ungerades n

A
24
Q

Was ist die DFT -Matrix

A

Die normierten Eigenvektoren bilden die DFT Matrix

25
Q

Was ist die Fourientransformation

A
26
Q

In welchen Raum überträgt die Fourientransformation die Sinale vom Frequenzraum

A

In den Ortsraum

27
Q

In welchen Raum überträgt die inverse Fourientransformation die Signale vom Ortsraum

A

In den Frequenzraum

28
Q

Was ist die Inverse der DFT-Matrix

A
29
Q

Wie kann man J verstehen

A

J erhält bei einem Vektor das erste Element und spielet die Reihnfolge der berbleibenden Elemente. Im Kontext der Zeit bedeutet das, das Zeitsignal rückwärts zu betrachten. Im Kontext destes bedeutes das, das Ortssignal ind die andere Richtung zu verstehen

30
Q

Wie kann man den Kern a’ der Filtermatrix a durch J beschreiben

A
31
Q

Austauschung von Vorwärtstransformation und Rückwärtstransformation

A

Vorwärts- und Rückwärtstranformation sind austauschbar. Wir brauchen auch nur eine Transforamtion auszurechnen. Die inverse Transformation erhalten wir einfach dadurch, das wir entweder im Signal die Reihnfolge vertauschen oder im Ergebnis.

32
Q

wie hätten wir w_n wählen müssen um die Inverse der DFX-Matrix zu erhalten

A
33
Q

Faltungsopertaion mit der Fouriertransformation darstellen

A

Die Faltung von a’ und s können wir berechnen, indem wir zunächst sowohl von a wie auch von s die inverse Fouriertransformation bestimmen. die resultierenden Vektoren multiplizieren wir dann elementweise und wenden die Fouriertransformation an. Bei diesem Vorgehen können wir die Rollen der Fouriertransformation und ihrer Inverse ohne Einschränkung vertauschen.

34
Q

Was entspricht der Faltung im Ortsraum?

A

Die Produktbildung im Frequenzraum

35
Q

Was entspricht der Produktbildung im Ortsraum?

A

Die Faltung im Frequenzraum

36
Q

Idee der Rekursive diskrete Fouriertranformation

A

Wir teilen den Signalverktor in Elemente mit geradem und mit ungeradem Index. Von beiden Vektoren der Länge n bilden wir die Fouriertranformation. Das Ergebnis des ungeraden Teil multiplizieren wir elementeweise mit einem Vektor F.

37
Q
A
38
Q

Vektor F der rekursiven diskreten Furiertransformation

A
39
Q

Matrix P der rekursiven diskreten Fouriertransformation

A
40
Q

Wie kann man sie Diskrete Fourierentransformation mit der rekursiven Fouriertransformation ausrechnen?

A
41
Q

Schritt 1 der schnellen disrekten Fouriertransformation

A

Sortieren des Signals: Entspricht der Umkehrung der Bits in Binärdarstellung

42
Q

Schritt 2 der schnellen Fouriertransformation

A