Interpolation Flashcards
Interpolation Idee
Bei der Interpolation wollen wir durch gegebene Funktionswerte eine Funktion bauen die diese Funktionswerte durchläuft
Lineare Interpolation
Gegeben zwei Zeiten x_0 und x_1 und zwei (eindimensionale) funktionswerte f_0 und f_1. Die Funktion soll im Intervall [x_0, x_1] definiert und Linear sein.
Idee von Polynominterpolation
Statt einer linearen funktion nehmen wir nun ein Polynom mit höherem Grad
Wie sieht das lineare Gleichungssystem bei der Polynominterpolation aus?
Welchen Grad muss das Polynom haben um n Punkte zu Interpolieren
wir brauchen (mindestens) n Koeffizient da die Matrix n linear unabhängige Spalten haben muss. Das heißt das Polynom muss einen Grad n-1 haben.
Was ist die Vondermonde-Matrix
die Systemmatrix bei der Interpolation
Wie kann man die Determinante der Vandermonde-Matrix bestimmen?
Wann ist die Determinante der Verdermondematrix Null
Genau dann, wenn die x_i nicht paarweise verschieden sind.
Was ist die Idee der lagrange-Interpolation?
Statt die Vandermondematrix lösen zu müssen will man direkt f(x) explizit lösen. Dabei wir f(x) gelöst durch folgende Form
Wie berechnt man die Lagrange-Basispolynome
Welche Eigenschaft müssen Basispolyonome erfüllen?
Was gilt für die Grad von einem Lagrange-Basispolynom?
Das lagrange-Basispolynom ist n-1 lineare Faktoren, also den gewünschten Grad n-1
Welches Problem will man Stückweiser Polynominterpolation beheben
Bei der Interpolation mit Polynnomen die einen zu großen Grad haben kommt es zwischen den Interpolierten Punkten zu stakren Schwingungen. Das möchte man nicht.
Was macht man bei Stückweiser Polynominterpolation
Man berechnet die Funktion durch mehrere kleine Polynome die aneinandergesetzt werden.
Ab wie vielen Datenpunkten sollte man stückweise Polynominterpolation nutzen?
Bei mehr als 4 Datenpunkten
Was macht die Kubische Hermite-Interpolation
Wir wollen mit einem kubischen Polynom f(x) bestimmen, das zwei Datenpunkte (x_0,f_0) und (x_1,f_1) bestimmt. Dabei können die Steigungen vorgegeben werden oder man setzt sie z.B. auf Null
Wie sieht das LGS für die Kubische Hermite-Interpolation aus?
Wie kann man das LGS der kubische Hermit-Interpolation lösen?
Viele Probleme lassen sich auf die Situation x_0 = 0 und x_1 = 1reduzieren. Wenn das gilt:
Kubischer Spline
Oft wissen wir die Ableitungen zwischen den Funktionen nicht. Daher wollen wir das die Funktionen beim Übergang die gleiche Ableitung haben. Daraus können wir uns eine Matrix für alle Abschnitte bauen.
Was ist der Nachteil des Kubischen Splines?
Die einzelnen Polynome lassen sich nicht mehr einzeln bestimmen.
Welche Bedingung wird für die Übergänge der Polynome in der Kubischen Spline zusätzlich gefordert?
Das die zweite Ableitung auch übereinstimmt
Randbedingungen beim kubischen Spline
bei den n-1 Polynomen die für die n Datenpunkte gebraucht werden hat man nur 4n - 6 Zeilen. Man hat aber 4n -4 unbekannten. Daher fügt man noch zwei Zeilen mit Randbedingungen hinzu
Natürliche Randbediungen.
2 Ableitung wird für den Anfangs und Endpunkt auf 0 gesetzt um unnötige Krümmungen zu vermeiden
Randbedingung: Vorgabe der Steigungen
Die ersten Ableitungen am Anfangs- und Endpunkt werden vorgegeben
Periodische Randbedingung
Ableitung und zweite Ableitung sollen am Anfangs- und Endpunkt des Splines übereinstimmen
Approximationssatz von Weierstrass:
Für jede stetige Funktion f und einer positiven Schranke e lässt sich ein Polynom p finden, so das für alle x \in [a,b] gilt: |f(x)-p(x)|< e. Im allgeimeinen braucht man für ein kleines e einen höheren Polynomgrad
Wie sollte man die Stützstellen x_i wählen, um f zu verbesser?
so, dass das Polynom G_n(x) möglichst ‘kleine’ Extremstellen hat
Tschebyshew-Polynome
Das sind die Polynome die die kleinste Schwankung haben.
