Vibrazioni Flashcards
Necessità modelli a corpi deformabili vibranti
Sforzo presente solo se è presente deformazione del materiale:
σ = E*ε, E modulo di Young
Quindi materiale sviluppa una forza se e solo se si deforma; un corpo rigido non può sviluppare una forza.
Modello: corpo rigido + molla, di costante elastica
k = EA/l0 (normale)
k = GA/l0 (tangenziale)
Stabilità
Sistema stabile (asintoticamente) se perturbato ritorna nella posizione di equilibrio lim(t - > inf) x(t) = x0
Poiché spesso i sistemi sono non lineari, ricavare x(t) è difficile: se il sistema ammette una posizione di equilibrio, si linearizza quindi il sistema in un intorno della posizione di equilibrio trovata, ricavando quindi un sistema linearizzato.
Dallo studio della stabilità del sistema linearizzato si può risalire alla stabilità del sistema non lineare di partenza:
Se il sistema linearizzato è instabile, anche il sistema non lineare è instabile
Se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile, il sistema non lineare è asintoticamente stabile per piccole perturbazioni della posizione di equilibrio.
Riassunto vibrazioni libere
- Equazione x’’ + kx = 0 descrive un gran numero di fenomeni
- Spesso la relazione è non lineare
- Si cerca quindi punto di equilibrio
- Si linearizza in un intorno dell’equilibrio
- Si studia il movimento perturbato in un intorno dell’equilibrio
- Stabilità del sistema non lineare è in relazione con la stabilità del sistema linearizzato
- La risposta è in generale armonica
- Sono presenti in realtà dissipazioni dipendenti dalla velocità
- Risposta esponenziale complesso
Possibili forzanti
- Costanti
- Armoniche
- Periodiche
- Random
Si studia risposta a forzanti armoniche perché tutti i segnali sono riconducibili tramite serie o trasformata di Fourier a queste.
Amplificazione dinamica
Data una risposta a regime
x(t)=xp(t)=Xp*e^iΩt
Si definisce
a = Ω/ωo pulsazione adimensionale
xst = Fo/k spostamento statico
Il rapporto |Xp|/xst si dice coefficiente di amplificazione dinamica
Si può rappresentare il coefficiente di amplificazione dinamica e la fase di Xp in funzione della pulsazione adimensionale a, al variare del fattore di smorzamento h: nei grafici si individuano tre zone:
1) Zona quasi statica: a < < 1
Amplificazione prossima a 1, debolmente influenzata dallo smorzamento
Ritardo di fase prossimo a 0, aumenta all’aumentare di h
2) Zona di risonanza: a circa 1
Amplificazione alta e aumenta al diminuire di h
Ritardo di fase circa 90°, indipendentemente dallo smorzamento
Per h=0 (no smorzamento) amplificazione infinita, fase che salta da -90° a -180°
3) Zona sismografica: a > > 1
Amplificazione dinamica tende a 0, debolmente influenzata dallo smorzamento;
Ritardo di fase di circa 180°, vibrazione in controfase rispetto alla forzante
Interpretazione fisica zone della risposta
Fin/Fel = a^2 Fvis/Fel = 2*a*h
1) Zona quasi statica: a < < 1
Forza elastica prevale sulle altre: forzante equilibrata dalla forza elastica, quindi vibrazione quasi in fase con la forzante e ampiezza prossima a xst
2) Zona di risonanza: a = 1
Forza inerziale e Forza elastica si elidono: forzante equilibrata dalla forza viscosa, quindi vibrazione in ritardo di 90° rispetto alla forzante, ampiezza grande
3) Zona sismografica: a > > 1
Forza inerziale dominante: forzante equilibrata da forza di inerzia, quindi vibrazione si dispone in opposizione di fase rispetto alla forzante, modulo piccolo
Isolamento delle vibrazioni: trasmissibilità
- Sistema vibrante a un grado di libertà, soggetto a forzante armonica
- Forza trasmessa al vincolo è somma di un termine elastico e un termine viscoso dovuti alla molla e allo smorzatore che sospendono la macchina al vincolo:
FT = kx + rx’ - Considero moto a regime, sostituisco xp già calcolato, ricavo FT
- Derivo la trasmissibilità T come rapporto tra modulo della forza trasmessa al vincolo e ampiezza della forzante
- T è esprimibile in funzione della pulsazione adimensionale a e del fattore di smorzamento
- Nel diagramma della trasmissibilità in funzione di a si distinguono tre zone:
1) per a < < 1 : T circa 1, la massima forza trasmessa è circa pari alla massima forzante applicata sul sistema
2) per a circa 1, si ha condizione di risonanza: la forza trasmessa può diventare molto maggiore di quella applicata, soprattutto per h piccoli
3) per a > rad(2), la forza trasmessa diventa minore di quella applicata, si ottiene cioè isolamento delle vibrazioni; la trasmissibilità risulta minore all’aumentare di a e al diminuire di h.
Isolamento delle vibrazioni: possibilità
- Posto che si deve evitare di finire in zona di risonanza, ci sono due modi di effettuare l’isolamento:
1) isolamento con fondazioni rigide: fondazioni con pulsazione propria almeno doppia di quella della forzante; in questo modo, la forza trasmessa al vincolo risulta poco maggiore di quella applicata
2) isolamento con fondazioni sospese: fondazioni che hanno pulsazione propria più piccola di quella della forzante almeno del rapporto rad(2); in questo modo si ottiene una riduzione della forza trasmessa rispetto a quella applicata
Fondazioni sospese: considerazioni su m,k,r
- La condizione di fondazione sospesa si può ottenere per valori sufficientemente piccoli della pulsazione propria, quindi per valori piccoli delle rigidezze dei supporti k e grandi della massa m della fondazione.
- Per quanto riguarda l’effetto dello smorzamento, sarebbe utile avere uno smorzamento più piccolo possibile, per avere il massimo dell’attenuazione.
Tuttavia, durante la fase di avviamento e di spegnimento, la pulsazione della forzante che dipende dal movimento della macchina cresce o decresce, e fa inevitabilmente passare la struttura nella zona di risonanza: per evitare forze troppo elevate in questa fase, è opportuno un coefficiente di smorzamento elevato. L’intensità delle forze nella fase di avviamento e spegnimento può essere controllata anche rendendo i transitori più veloci possibile.
