Cinematica del punto e del corpo rigido

Question 1

Sistema di riferimento cartesiano

Answer 1

• Assi coordinati ortogonali x-y

- Direzione e verso definiti, rispettivamente, dai versori i-j

Question 2

Def posizione di un punto P (coordinate cartesiane)

Answer 2

Vettore posizione:

(P-O) = xi+yj

Question 3

Def traiettoria di un punto

Answer 3

Luogo dei punti del piano toccati dal punto nel suo moto, in funzione del parametro tempo

• Forma parametrica:
  x=x(t)
  y=y(t)
• Forma esplicita:
  y=f(x)
  Si ottiene eliminando la dipendenza dal parametro tempo

Question 4

Def ascissa curvilinea

Answer 4

Grandezza scalare s che indica la distanza, misurata lungo la traiettoria, di un punto della traiettoria da un’origine assegnata arbitrariamente.

Question 5

Def legge oraria

Answer 5

Evoluzione nel tempo della posizione del punto:

s=s(t)

Question 6

Def velocità di un punto P

Answer 6

Vettore velocità: derivata rispetto al tempo del vettore posizione.

Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria del punto, e il suo modulo e verso è fornito dalla derivata rispetto al tempo dell’ascissa curvilinea

Question 7

Velocità: coordinate cartesiane

Answer 7

v = ix’(t)+jy’(t)

tg(Alpha)=y’/x’=dy/dt*dt/dx=dy/dx

Question 8

Coordinate polari

Answer 8

rho: modulo
teta: anomalia

Question 9

Posizione: coordinate polari

Answer 9

(P-O)=rho*e^iteta

Question 10

Velocità: coordinate polari

Answer 10

v=rho’e^teta+thoteta’e^i(teta+pi/2)=v*e^ialpha

Question 11

Def accelerazione

Answer 11

Derivata rispetto al tempo del vettore velocità

Sempre formata da due componenti:

• una tangente alla traiettoria, di modulo pari alla derivata seconda rispetto al tempo dell’ascissa curvilinea
• una ortogonale alla traiettoria, diretta verso l’interno della curvatura, di modulo pari al quadrato della velocità diviso per il raggio del cerchio osculatore

Question 12

Def cerchio osculatore

Answer 12

Dato un generico punto P su una traiettoria, si definisce cerchio osculatore un cerchio che ha un punto triplo di contatto, cioè ha un punto di contatto in P con la traiettoria, è tangente in P alla traiettoria, ha derivata seconda in P uguale alla traiettoria.

Question 13

Accelerazione in coordinate cartesiane

Answer 13

a=x’‘(t)i+y’‘(t)j

Question 14

Accelerazione in coordinate polari

Answer 14

a=v’e^ialpha+valpha’e^i(Alpha+pi/2)

Si può dimostrare che
alpha’=v/rho, rho raggio del cerchio osculatore

Quindi:
-Accelerazione tangenziale:
at=dv/dt
- Accelerazione normale:
an=v^2/rho

Question 15

Def corpo

Answer 15

Ente materiale di dimensioni finite

Question 16

Def posizione del corpo

Answer 16

Insieme dei vettori che definiscono la posizione di ciascun punto appartenente al corpo

Question 17

def moto del corpo

Answer 17

Descrizione di come la posizione del corpo varia nel tempo, cioè la dipendenza dal tempo dei vettori posizione di tutti i punti del corpo

Question 18

def atto di moto

Answer 18

Insieme delle velocità di tutti i punti del corpo

Question 19

def spostamento infinitesimo di un corpo

Answer 19

spostamento in cui ciascun punto del corpo varia la propria posizione di una quantità infinitesima

Question 20

def spostamento rigido

Answer 20

Lo spostamento di un corpo si dice rigido se, dopo lo spostamento, le distanze tra tutte le possibili coppie di punti appartenenti al corpo si mantengono immutate

Question 21

def corpo rigido

Answer 21

Un corpo si definisce rigido se, qualunque spostamento subisca, tale spostamento sia sempre rigido.
In altre parole, a valle di ogni spostamento, le distanze tra tutte le coppie di punti del corpo si mantengono immutate

Question 22

corpo rigido: gradi di libertà

Answer 22

3 gradi di libertà

• Traslazioni in due direzioni, identificate dalle coordinate di un punto qualsiasi
• Rotazione

Question 23

Vincoli

Answer 23

Dispositivi che limitano i gradi di libertà di un corpo
Possono essere
- interni, cioè tra corpi interconnessi
- esterni, tra corpo e terra

• elementari
• di superficie

Question 24

Vincoli elementari

Answer 24

1) Incastro: limita tutti i gradi di libertà (vincolo triplo)
2) Cerniera: limita le due traslazioni, permette rotazione (vincolo doppio)
3) Pattino: limita rotazione e spostamento orizzontale, permette spostamento verticale (vincolo doppio)
4) Manicotto: limita rotazione e spostamento verticale, permette spostamento orizzontale (vincolo doppio)
5) Carrello: limita uno spostamento, permette altro spostamento e rotazione (vincolo semplice)

Question 25

Vincoli di superficie

Answer 25

• Caso generale: vP1 != vP2, si possono avere urti e distacchi
• Contatto di non compenetrazione: vP1 != vP2, ma vP1n = vP2n
  componenti normali al contatto sono uguali, si può avere strisciamento
• Rotolamento senza strisciamento: vP1=vP2

Question 26

Moto in grande

Answer 26

Successione delle posizioni occupate dal corpo rigido nel tempo

1) moto traslatorio: traiettorie di tutti i punti sono parallele (non necessariamente rettilinee). Punti hanno tutti stessa velocità e accelerazione in ogni istante.
2) moto rotatorio: traiettorie circolari, attorno a un punto fisso con velocità nulla. Velocità proporzionale alla distanza da tale punto.
3) Moto rototraslatorio: composizione di traslazione e rotazione

Question 27

Teorema di Rivals per le velocità

Answer 27

formula

Question 28

Teorema di Rivals per le accelerazioni

Answer 28

Formula

Question 29

Teorema moti relativi per le velocità

Answer 29

vass = vrel + vtr

Question 30

Teorema moti relativi per le accelerazioni

Answer 30

aass = arel + atr + aco,

dove aco è l’accelerazione di Coriolis (teorema di Coriolis)