VI Funktionen

Question 1

Definition:

Funktion

Answer 1

Eine Funktion (Abbildung) ist eine Zuordnungsvorschrift, welche jedem zulässigen Input genau einen Output aus dem Zielbereich (range) zuordnet.

Die Menge aller möglichen Inputs heisst Definitionsbereich, bezeichnet mit domain( f ) oder D.

Die Menge aller tatsächlich angenommener / realisierter Outputs heisst Wertebereich (Bildmenge), bezeichnet mit image( f ) oder W.

f : domain( f ) → range(f )
x → y = f(x)

Der Input heisst unabhängige Variable (Argument).
Der Output heisst abhängige Variable.

Question 2

Definition:

Es sei nun wiederum
f : D(f) → R mit D(f) ≠ ∅.Dann …

nach oben beschränkt

Answer 2

nennen wir f nach oben beschränkt, falls M ∈ R existiert mit f(x) ≤ M ∀x∈D(f)

Question 3

Definition:

Es sei nun wiederum
f : D(f) → R mit D(f) ≠ ∅.Dann …

nach unten beschränkt

Answer 3

nennen wir f nach unten beschränkt, falls alls M ∈ R existiert mit f(x) ≥ M ∀x∈D(f)

Question 4

Definition:

Es sei nun wiederum
f : D(f) → R mit D(f) ≠ ∅.Dann …

beschränkt

Answer 4

nennen wir f beschränkt, falls alls M ∈ R existiert mit
|f(x)|≤ M ∀x∈D(f)

Question 5

Definition:

Wir betrachten eine Funktion f : X → Y . Diese Funktion nennen wir
…
injektiv

Answer 5

injektiv, falls gilt: ∀x1, x2 ∈ X (f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2)

Question 6

Definition:

Wir betrachten eine Funktion f : X → Y . Diese Funktion nennen wir
…
surjektiv

Answer 6

surjektiv, falls gilt: ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x)=y

Question 7

Definition:

Wir betrachten eine Funktion f : X → Y . Diese Funktion nennen wir
…
bijektiv

Answer 7

bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.

Question 8

Definition:

Verknüpfung

Answer 8

Es seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Funktionen. Dann ist die Verknüpfung von f und g die Funktion

g ◦ f :X → Z mit g ◦ f(x) = g(f(x)) ∀x∈X

Question 9

Definition:

Identitätsfunktion id_x

Answer 9

Es sein X eine beliebige (nicht leere) Menge,
Dann ist die Identitätsfunktion id_X , oder kurz Identität, definiert als:

id_x(x) = x ∀x∈X

Falls eine Funktion f : X → Y bijektiv ist, gibt es eine eindeutige Funktion (Abbildung) g : Y → X mit den Eigenschaften:

g ◦ f = id_X und f ◦ g = id_y

Dies Funktion g nennt man die Inverse (auch Umkehrfunktion, Inverse Funktion oder inverse Abbildung) und wird meist mit f^−1 bezeichnet.

Question 10

Monoton wachsend, falls gilt:

Answer 10

∀x1, x2 ∈X (x1 <x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2))

Question 11

streng monoton wachsend, falls gilt:

Answer 11

∀x1, x2 ∈ X (x1 <x2 ⇒ f(x1)< f(x2))

Question 12

monoton fallend, falls gilt:

Answer 12

∀x1, x2 ∈ X (x1 <x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2))

Question 13

streng monoton fallend, falls gilt:

Answer 13

∀x1, x2 ∈ X (x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2))

Question 14

monoton, falls:

Answer 14

f monoton wachsend oder monoton fallend ist

Question 15

streng monoton, falls

Answer 15

f streng monoton wachsend oder
streng monoton fallend ist

Question 16

Satz:

monotone Funktion

Answer 16

Es gilt: Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Question 17

Definition:

Ungerade Funktion

Answer 17

ungerade, falls gilt: ∀x ∈ R
f(−x) = −f (x)

Question 18

Definition:

Gerade Funktion

Answer 18

gerade, falls gilt: ∀x ∈ R f(−x) = f(x)

Question 19

Definition:

Konvex

Answer 19

Der Graph einer Funktion (die Menge aller Punkte der Form (x,f(x))) heisst linksgekrümmt (konvex), falls der Graph beim Durchlaufen von links nach rechts eine Linkskurve vollführt.

Question 20

Definition:

Konkav

Answer 20

Der Graph einer Funktion heisst rechtsgekrümmt (konkav), falls der Graph beim Durchlaufen von links nach rechts eine Rechtskurve vollführt.

Question 21

Konzept des Grenzwerts:

Answer 21

Es sei f :D(f)→R, es sei x_0 ∈ R und es gelte:

D(f) ∩ (x0 −δ, x0 +δ) ≠ ∅.
∀δ>0

Dann ist L ∈ R der Grenzwert/Limes von f(x) an der Stelle x0, falls gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 so dass

x ∈ D(f) ∩ (x0 −δ, x0 +δ) ⇒|f(x)− L|< ε

Der Grenzwert L ist eindeutig bestimmt.
Anschaulich gesprochen:
Falls für Argumente x, welche genügend nahe bei c liegen, der Wert f (x) der Zahl L beliebig nahe kommt, ist L Limes/Grenzwert von f (x) an der Stelle x0.

Question 22

Satz (Rechenregeln)

Answer 22

Wir nehmen an, es gelte:

lim x→c f(x) = K(≠ ±∞),

lim x→c g(x) = L(≠ ±∞) und A sei eine beliebige feste Zahl.

Dann gilt:

i) lim x→c (f(x) + g(x)) = K+L

ii) lim x→c (f(x) − g(x)) = K−L

iii) lim x→c (f(x) · g(x)) = K·L

iv) lim x→c (A · f(x)) = A·K

v) Falls L ≠ 0, haben wir
lim x→c (f(x) / g(x)) = K/L

Question 23

Das Konzept der Stetigkeit:

Answer 23

Eine Funktion f∶D(f) → R heisst an der Stelle x0 stetig, falls gilt:

ε>0 ε∀δ>0 s.d.∀x ∈ D(|x-x_0 |< δ ⟹|f(x)-f(x)|< ε)

Die Funktion nennen wir stetig, falls sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.

Bem. Falls f an der Stelle x0 nicht definiert ist, macht es keinen Sinn, nach der Stetigkeit zu fragen.

Question 24

Definition:

Rechtsstetigkeit und Linksstetigkeit:

Answer 24

Es sei f∶D(f)→ R, und es sei x_0 ∈ D.

Falls gilt:
lim f(x) = f(x0)
x ≥x0
x →x0

Nennen wir den Punkt x0 rechtsstetig.

Linksstetigkeit ist analog definiert.

Question 25

Satz:

Stetige an x0

Answer 25

Es sei f∶D ⊂ D(f) ⊂ R eine Funktion und x_0 ∈ D.
Dann ist f an der Stelle x0 genau dann stetig, wenn für jede Folge (x_n )(n∈N_0 ) mit x_n → x_0 die Folge (f(x_n))(n∈N_0 ) gegen f(x0) konvergiert.

Question 26

Satz (Rechenregel 2):

Answer 26

→ f + g ist stetig
→ f – g ist stetig
→ c * f, respektive c * g, ist für jede beliebige Konstante c ∈ R stetig.

→ f * g ist stetig
→ f/g ist stetig, sofern g ≠ 0

Question 27

Satz (Stetigkeit der Umkehrfunktion:

Answer 27

Es sei I ein Intervall und es sei f : I → J eine stetige und bijektive Funktion. Dann ist auch J ein Intervall und die Umkehrfunktion f^-1 : J → I ist stetig.

Question 28

Zwischenwertsatz:

Answer 28

Es sei f∶[a,b] → R eine stetige Funktion und es sei c eine Zahl zwischen f(a) und f(b). Dann gibt es ein x ∈ [a, b] mit f(x) = c.

Question 29

Spezialfall:

Answer 29

Es sei f∶I ⊂ R → R eine stetige Funktion, und es seien a, b ∈ I mit f(a) < 0 und f(b) > 0. Dann hat f mindestens eine Nullstelle zwischen a und b.

Question 30

Definition:

Kompaktes Intervall

Answer 30

Ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall nennt man kompakt.
Und es gilt das folgendes Lemma:

Lemma:
Es sei [a, b] ein kompaktes Intervall, und es sei (x_n )(n∈N_0 ) in [a, b]. Dann existiert eine Teilfolge (x(n_k ) )_(k∈N_0 ) mit:

lim⁡ (x_(n_k ) ) → x_0 mit x_0 ∈ [a,b]

Question 31

Definition:

Lokales Maximum / Lokales Minimum

Answer 31

Es sei f∶D ⊂ R → R eine Funktion.

→ Falls x_0 ∈ D gilt f(x_0 ) ≥ f(x) für alle x ∈ D, liegt an der Stelle x_0 ein lokales Maximum vor.

→ Falls x_0 ∈ D gilt f(x_0 ) ≤ f(x) für alle x ∈ D, liegt an der Stelle x_0 ein lokales Minimum vor.

→ Lokale Minima und lokale Maxima nennt man auch lokale Extrema.

Question 32

Satz (Stetige Funktion auf kompaktem Intervall):

Answer 32

Es sei f∶I ⊂ R → R eine stetige Funktion und I kompakt. Dann ist f beschränkt und f nimmt sein Maximum und Minimum auf I an,

d.h. es gibt ein x_min ∈ I und ein x_max ∈ I mit der Eigenschaft:

∀x ∈ I∶ f(x_min ) ≤ f(x) ≤ f(x_max)

~> Aussage über lokales Maximum/Minimum

~> Keine Aussage über globales Maximum/Minimum

Question 33

Definition:

Gleichmässige Stetigkeit

Answer 33

ε∀→∈