VI Funktionen Flashcards
Definition:
Funktion
Eine Funktion (Abbildung) ist eine Zuordnungsvorschrift, welche jedem zulässigen Input genau einen Output aus dem Zielbereich (range) zuordnet.
Die Menge aller möglichen Inputs heisst Definitionsbereich, bezeichnet mit domain( f ) oder D.
Die Menge aller tatsächlich angenommener / realisierter Outputs heisst Wertebereich (Bildmenge), bezeichnet mit image( f ) oder W.
f : domain( f ) → range(f )
x → y = f(x)
Der Input heisst unabhängige Variable (Argument).
Der Output heisst abhängige Variable.
Definition:
Es sei nun wiederum
f : D(f) → R mit D(f) ≠ ∅.Dann …
nach oben beschränkt
nennen wir f nach oben beschränkt, falls M ∈ R existiert mit f(x) ≤ M ∀x∈D(f)
Definition:
Es sei nun wiederum
f : D(f) → R mit D(f) ≠ ∅.Dann …
nach unten beschränkt
nennen wir f nach unten beschränkt, falls alls M ∈ R existiert mit f(x) ≥ M ∀x∈D(f)
Definition:
Es sei nun wiederum
f : D(f) → R mit D(f) ≠ ∅.Dann …
beschränkt
nennen wir f beschränkt, falls alls M ∈ R existiert mit
|f(x)|≤ M ∀x∈D(f)
Definition:
Wir betrachten eine Funktion f : X → Y . Diese Funktion nennen wir
…
injektiv
injektiv, falls gilt: ∀x1, x2 ∈ X (f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2)
Definition:
Wir betrachten eine Funktion f : X → Y . Diese Funktion nennen wir
…
surjektiv
surjektiv, falls gilt: ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f(x)=y
Definition:
Wir betrachten eine Funktion f : X → Y . Diese Funktion nennen wir
…
bijektiv
bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.
Definition:
Verknüpfung
Es seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Funktionen. Dann ist die Verknüpfung von f und g die Funktion
g ◦ f :X → Z mit g ◦ f(x) = g(f(x)) ∀x∈X
Definition:
Identitätsfunktion id_x
Es sein X eine beliebige (nicht leere) Menge,
Dann ist die Identitätsfunktion id_X , oder kurz Identität, definiert als:
id_x(x) = x ∀x∈X
Falls eine Funktion f : X → Y bijektiv ist, gibt es eine eindeutige Funktion (Abbildung) g : Y → X mit den Eigenschaften:
g ◦ f = id_X und f ◦ g = id_y
Dies Funktion g nennt man die Inverse (auch Umkehrfunktion, Inverse Funktion oder inverse Abbildung) und wird meist mit f^−1 bezeichnet.
Monoton wachsend, falls gilt:
∀x1, x2 ∈X (x1 <x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2))
streng monoton wachsend, falls gilt:
∀x1, x2 ∈ X (x1 <x2 ⇒ f(x1)< f(x2))
monoton fallend, falls gilt:
∀x1, x2 ∈ X (x1 <x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2))
streng monoton fallend, falls gilt:
∀x1, x2 ∈ X (x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2))
monoton, falls:
f monoton wachsend oder monoton fallend ist
streng monoton, falls
f streng monoton wachsend oder
streng monoton fallend ist
Satz:
monotone Funktion
Es gilt: Jede streng monotone Funktion ist injektiv.
Definition:
Ungerade Funktion
ungerade, falls gilt: ∀x ∈ R
f(−x) = −f (x)
Definition:
Gerade Funktion
gerade, falls gilt: ∀x ∈ R f(−x) = f(x)
Definition:
Konvex
Der Graph einer Funktion (die Menge aller Punkte der Form (x,f(x))) heisst linksgekrümmt (konvex), falls der Graph beim Durchlaufen von links nach rechts eine Linkskurve vollführt.
Definition:
Konkav
Der Graph einer Funktion heisst rechtsgekrümmt (konkav), falls der Graph beim Durchlaufen von links nach rechts eine Rechtskurve vollführt.
Konzept des Grenzwerts:
Es sei f :D(f)→R, es sei x_0 ∈ R und es gelte:
D(f) ∩ (x0 −δ, x0 +δ) ≠ ∅.
∀δ>0
Dann ist L ∈ R der Grenzwert/Limes von f(x) an der Stelle x0, falls gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 so dass
x ∈ D(f) ∩ (x0 −δ, x0 +δ) ⇒|f(x)− L|< ε
Der Grenzwert L ist eindeutig bestimmt.
Anschaulich gesprochen:
Falls für Argumente x, welche genügend nahe bei c liegen, der Wert f (x) der Zahl L beliebig nahe kommt, ist L Limes/Grenzwert von f (x) an der Stelle x0.
Satz (Rechenregeln)
Wir nehmen an, es gelte:
lim x→c f(x) = K(≠ ±∞),
lim x→c g(x) = L(≠ ±∞) und A sei eine beliebige feste Zahl.
Dann gilt:
i) lim x→c (f(x) + g(x)) = K+L
ii) lim x→c (f(x) − g(x)) = K−L
iii) lim x→c (f(x) · g(x)) = K·L
iv) lim x→c (A · f(x)) = A·K
v) Falls L ≠ 0, haben wir
lim x→c (f(x) / g(x)) = K/L
Das Konzept der Stetigkeit:
Eine Funktion f∶D(f) → R heisst an der Stelle x0 stetig, falls gilt:
ε>0 ε∀δ>0 s.d.∀x ∈ D(|x-x_0 |< δ ⟹|f(x)-f(x)|< ε)
Die Funktion nennen wir stetig, falls sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.
Bem. Falls f an der Stelle x0 nicht definiert ist, macht es keinen Sinn, nach der Stetigkeit zu fragen.
Definition:
Rechtsstetigkeit und Linksstetigkeit:
Es sei f∶D(f)→ R, und es sei x_0 ∈ D.
Falls gilt:
lim f(x) = f(x0)
x ≥x0
x →x0
Nennen wir den Punkt x0 rechtsstetig.
Linksstetigkeit ist analog definiert.
Satz:
Stetige an x0
Es sei f∶D ⊂ D(f) ⊂ R eine Funktion und x_0 ∈ D.
Dann ist f an der Stelle x0 genau dann stetig, wenn für jede Folge (x_n )(n∈N_0 ) mit x_n → x_0 die Folge (f(x_n))(n∈N_0 ) gegen f(x0) konvergiert.
Satz (Rechenregel 2):
→ f + g ist stetig
→ f – g ist stetig
→ c * f, respektive c * g, ist für jede beliebige Konstante c ∈ R stetig.
→ f * g ist stetig
→ f/g ist stetig, sofern g ≠ 0
Satz (Stetigkeit der Umkehrfunktion:
Es sei I ein Intervall und es sei f : I → J eine stetige und bijektive Funktion. Dann ist auch J ein Intervall und die Umkehrfunktion f^-1 : J → I ist stetig.
Zwischenwertsatz:
Es sei f∶[a,b] → R eine stetige Funktion und es sei c eine Zahl zwischen f(a) und f(b). Dann gibt es ein x ∈ [a, b] mit f(x) = c.
Spezialfall:
Es sei f∶I ⊂ R → R eine stetige Funktion, und es seien a, b ∈ I mit f(a) < 0 und f(b) > 0. Dann hat f mindestens eine Nullstelle zwischen a und b.
Definition:
Kompaktes Intervall
Ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall nennt man kompakt.
Und es gilt das folgendes Lemma:
Lemma:
Es sei [a, b] ein kompaktes Intervall, und es sei (x_n )(n∈N_0 ) in [a, b]. Dann existiert eine Teilfolge (x(n_k ) )_(k∈N_0 ) mit:
lim (x_(n_k ) ) → x_0 mit x_0 ∈ [a,b]
Definition:
Lokales Maximum / Lokales Minimum
Es sei f∶D ⊂ R → R eine Funktion.
→ Falls x_0 ∈ D gilt f(x_0 ) ≥ f(x) für alle x ∈ D, liegt an der Stelle x_0 ein lokales Maximum vor.
→ Falls x_0 ∈ D gilt f(x_0 ) ≤ f(x) für alle x ∈ D, liegt an der Stelle x_0 ein lokales Minimum vor.
→ Lokale Minima und lokale Maxima nennt man auch lokale Extrema.
Satz (Stetige Funktion auf kompaktem Intervall):
Es sei f∶I ⊂ R → R eine stetige Funktion und I kompakt. Dann ist f beschränkt und f nimmt sein Maximum und Minimum auf I an,
d.h. es gibt ein x_min ∈ I und ein x_max ∈ I mit der Eigenschaft:
∀x ∈ I∶ f(x_min ) ≤ f(x) ≤ f(x_max)
~> Aussage über lokales Maximum/Minimum
~> Keine Aussage über globales Maximum/Minimum
Definition:
Gleichmässige Stetigkeit
ε∀→∈
