IV Folgen

Question 1

Definition:

Folge

Answer 1

Eine Folge (a_n) n ∈ N_0 (auch geschrieben als (a_n)n≥0) ist eine (unendliche) Liste von Zahlen, wobei jeder solche Eintrag ein Gleid der Folge genannt wird.

Eine Folge kann auch als Abbildung:
f: N_0 —> R (Oder f: N —> R)

Aufgefasst werden.

Die Bilder a(n) = a_n sind dann gerade die Elemente oder Folge.

Question 2

Bildungsgesetz:

Answer 2

F und g nennt

Question 3

Explizites Bildungsgesetz:

Answer 3

a_n = f(n)

—> Folgenglied kann beliebig berechnet werden.

Question 4

Rekursives Bildungsgesetz:

Answer 4

a_n = g(a_n-1, a_n-2, …)

Question 5

Definition:

Konvergenz

Answer 5

Eine Folge (a_n)n∈N_0 ⊂ R heisst konvergent, falls ein L ∈ R existiert, so dass:

∀ε > 0 ∃N > 0 so dass ∀n > N :
|a_n − L|< ε

Anschaulich formuliert: Ein Folge (an)n∈N0 konvergiert gegen L, falls für genügend grosse n die Werte an immer näher bei L liegen.

Question 6

Grenzwert L:

Answer 6

lim a_n = L
n→∞

Question 7

Definition:

Divergenz

Answer 7

Falls kein L mit vorheriger Eigenschaft existiert, nennt man die Folge divergent.

Question 8

Satz 1 - Grenzwert einer konvergenten Folge:

Answer 8

Eine konvergente Folge besitzt genau einen eindeutigen Grenzwert.

Question 9

Spezialfälle divergenter Folgen:

Answer 9

-> Falls für eine Folge (a_n)n ∈ N_0 gilt:

∀M > 0 ∃N > 0 so dass ∀n > N :
a_n > M

sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben
lim a_n = ∞
n→∞

-> Falls für eine Folge (a_n) n ∈ N_0 gilt:

∀M > 0 ∃N > 0 so dass ∀n > N : a_n < −M

sagen wir, dass die Folge gegen minus unendlich divergiert und schreiben
lim a_n = −∞
n→∞

Question 10

Definition:

Teilfolge

Answer 10

Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge in R.

Eine Teilfolge ist eine Folge der Form
(a_n_k )k∈N0 ,

wobei (nk)k∈N0 eine Folge nicht-negativer ganzer Zahlen ist mit

n_k+1 > n_k für alle k ∈ N0.

Question 11

Lemma Konvergenz einer Teilfolge:

Answer 11

Es sei (a_n)n∈N0 eine konvergente Folgt mit Grenzwert L ∈ R.
Dann konvergiert auch jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert L.

Question 12

Definition:

Häufungspunkt

Answer 12

Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge in R.
Ein Häufungspunkt A ∈ R dieser Folge, falls:

∀ε > 0 ∀N ∈ N_0 ∃n ≥ N so dass
|a_n−A| < ε

Anschaulich formuliert: Jedes Intervall der Form
(A − ε, A + ε) enthält a_n für unendlich viele Indizes n.

Question 13

Satz 2 - Häufungspunkt:

Answer 13

Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge in R.
A ∈ R ist ein Häufungspunkt der betrachteten Folge genau dann, wenn eine konvergente Teilfolge (a_n_k )k∈N0 existiert mit:

lim a_n_k = A
k→∞

Question 14

Korollar 1 - Häufungspunkt und Grenzwert:

Answer 14

Jede konvergente Folge (a_n)n∈N0 in R hat genau einen Häufungspunkte, welcher mit dem Grenzwert der betrachteten Folge übereinstimmt.

Question 15

Korollar 2 - Häufungspunkt und Intervall:

Answer 15

Sei A ein Häufungspunkt der Folge (a_n)n∈N0. Dann gibt es für jedes ε > 0 unendlich viele Folgeglieder, welche im Intervall (A − ε, A + ε) liegen.

Question 16

Satz (Sandwich-Theorem):

Answer 16

Es seien (a_n)n∈N0 und (c_n)n∈N0 zwei konvergente Folgen mit gleichem Grenzwert gegeben

lim a_n = L und lim c_n =L
n→∞ n→∞

sowie eine dritte Folge (b_n)n∈N0 mit der Eigenschaft, dass ein N0 ∈ N existiert, so dass gilt:

a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀n ≥ N0

Dann ist auch die Folge (b_n)n∈N0 konvergent und es gilt:
lim b_n = L
n→∞

Question 17

Beschränkte Folge:

Answer 17

Eine Folge (a_n)_n∈N0 nennen wir nach unten/oben beschränkt, falls die Menge M = {a_n|n ∈ N0} eine untere/obere Schranke besitzt.

Eine Folge, welche nach oben und nach unten beschränkte ist, nennen wir kurz beschränkte Folge.

Eine Folge (a_n)_n∈N0 nennen wir monoton fallend/monoton wachsend, falls gilt:

∀n,m ∈ N0 : m > n ⇒ a_m ≤ a_n

Eine Folge (an)n∈N0 nennen wir streng monoton
fallend/streng monoton wachsend, falls gilt:

∀n,m ∈ N0 : m > n ⇒ a_m < a_n

respektive

∀n,m ∈ N0 : m > n ⇒ a_m > a_n

Question 18

Satz 3 - Konvergierende Folge:

Answer 18

Jede beschränkte und monotone Folge konvergiert.

Question 19

Satz 4 - Monotone und beschränkte Folgen:

Answer 19

i) Eine monotone Folge reeller Zahlen (an)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

ii) Falls die Folge (a_n)n∈N0 monoton wachsend ist, gilt:

lim a_n = sup{a_n|n ∈ N0}
n→∞

iii) Falls die Folge (an)n∈N0 monoton fallend ist, gilt:

lim a_n = inf{a_n|n ∈ N0}
n→∞

Question 20

Definition:

Limes Superior

Answer 20

Die Grösse:

lim sup a_n = lim a_n = lim sup{a_k|k ≥ n}
n→∞ n→∞ n→∞

heisst Limes superior der Folge a_n.

Question 21

Definition:

Limes Inferior:

Answer 21

Die Grösse:

lim inf a_n = lim a_n = lim inf{a_k|k ≥ n}
n→∞ n→∞ n→∞

heisst Limes inferior der Folge a_n.

Question 22

Lemma Limes Superior und Inferior:

Answer 22

Es gelten die folgenden Tatsachen:
i)
lim sup a_n = inf ( sup {a_k|k ≥ n})
n→∞ n∈N

ii)
lim inf a_n = sup ( inf {a_k|k ≥ n})
n→∞ n∈N

iii)
Ist (a_n)n∈N0 eine konvergente Folge, so gilt:

lim a_n = lim sup a_n = lim inf a_n
n→∞ n→∞ n→∞

iv) Eine beschränkte Folge (a_n)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn gilt:

lim a_n = lim sup a_n = lim inf a_n
n→∞ n→∞ n→∞

Question 23

Theorem - Beschränkte Folge:

Answer 23

Es sei (a_n)n∈N0 eine beschränkte Folge mit
A = lim sup a_n.
n→∞

Dann ist A eine Häufungspunkt und für alle ε > 0 gilt:

i) dass es nur endlich viele Elemente a_n gibt, für welche gilt:
a_n ≥ A + ε.

ii) dass für unendlich viele Elemente gilt:
A − ε < a_n < A + ε.

Eine analoge Aussage gilt selbstverständlich für den limes inferior.

Question 24

Korollar - Folge reeller Zahlen:

Answer 24

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.

Question 25

Definition:

Cauchy-Folge

Answer 25

Eine Folge (a_n)n∈N0 ⊂ R heisst Cauchy-Folge, falls für jedes ε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass gilt:

∀m, n ≥ N |a_n − a_m| < ε

Question 26

Lemma - Cauchy-Folge

Answer 26

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

Question 27

Theorem - Cauchy-Folge reeler Zahlen:

Answer 27

Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.