IV Folgen Flashcards
Definition:
Folge
Eine Folge (a_n) n ∈ N_0 (auch geschrieben als (a_n)n≥0) ist eine (unendliche) Liste von Zahlen, wobei jeder solche Eintrag ein Gleid der Folge genannt wird.
Eine Folge kann auch als Abbildung:
f: N_0 —> R (Oder f: N —> R)
Aufgefasst werden.
Die Bilder a(n) = a_n sind dann gerade die Elemente oder Folge.
Bildungsgesetz:
F und g nennt
Explizites Bildungsgesetz:
a_n = f(n)
—> Folgenglied kann beliebig berechnet werden.
Rekursives Bildungsgesetz:
a_n = g(a_n-1, a_n-2, …)
Definition:
Konvergenz
Eine Folge (a_n)n∈N_0 ⊂ R heisst konvergent, falls ein L ∈ R existiert, so dass:
∀ε > 0 ∃N > 0 so dass ∀n > N :
|a_n − L|< ε
Anschaulich formuliert: Ein Folge (an)n∈N0 konvergiert gegen L, falls für genügend grosse n die Werte an immer näher bei L liegen.
Grenzwert L:
lim a_n = L
n→∞
Definition:
Divergenz
Falls kein L mit vorheriger Eigenschaft existiert, nennt man die Folge divergent.
Satz 1 - Grenzwert einer konvergenten Folge:
Eine konvergente Folge besitzt genau einen eindeutigen Grenzwert.
Spezialfälle divergenter Folgen:
-> Falls für eine Folge (a_n)n ∈ N_0 gilt:
∀M > 0 ∃N > 0 so dass ∀n > N :
a_n > M
sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben
lim a_n = ∞
n→∞
-> Falls für eine Folge (a_n) n ∈ N_0 gilt:
∀M > 0 ∃N > 0 so dass ∀n > N : a_n < −M
sagen wir, dass die Folge gegen minus unendlich divergiert und schreiben
lim a_n = −∞
n→∞
Definition:
Teilfolge
Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge in R.
Eine Teilfolge ist eine Folge der Form
(a_n_k )k∈N0 ,
wobei (nk)k∈N0 eine Folge nicht-negativer ganzer Zahlen ist mit
n_k+1 > n_k für alle k ∈ N0.
Lemma Konvergenz einer Teilfolge:
Es sei (a_n)n∈N0 eine konvergente Folgt mit Grenzwert L ∈ R.
Dann konvergiert auch jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert L.
Definition:
Häufungspunkt
Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge in R.
Ein Häufungspunkt A ∈ R dieser Folge, falls:
∀ε > 0 ∀N ∈ N_0 ∃n ≥ N so dass
|a_n−A| < ε
Anschaulich formuliert: Jedes Intervall der Form
(A − ε, A + ε) enthält a_n für unendlich viele Indizes n.
Satz 2 - Häufungspunkt:
Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge in R.
A ∈ R ist ein Häufungspunkt der betrachteten Folge genau dann, wenn eine konvergente Teilfolge (a_n_k )k∈N0 existiert mit:
lim a_n_k = A
k→∞
Korollar 1 - Häufungspunkt und Grenzwert:
Jede konvergente Folge (a_n)n∈N0 in R hat genau einen Häufungspunkte, welcher mit dem Grenzwert der betrachteten Folge übereinstimmt.
Korollar 2 - Häufungspunkt und Intervall:
Sei A ein Häufungspunkt der Folge (a_n)n∈N0. Dann gibt es für jedes ε > 0 unendlich viele Folgeglieder, welche im Intervall (A − ε, A + ε) liegen.
Satz (Sandwich-Theorem):
Es seien (a_n)n∈N0 und (c_n)n∈N0 zwei konvergente Folgen mit gleichem Grenzwert gegeben
lim a_n = L und lim c_n =L
n→∞ n→∞
sowie eine dritte Folge (b_n)n∈N0 mit der Eigenschaft, dass ein N0 ∈ N existiert, so dass gilt:
a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀n ≥ N0
Dann ist auch die Folge (b_n)n∈N0 konvergent und es gilt:
lim b_n = L
n→∞
Beschränkte Folge:
Eine Folge (a_n)_n∈N0 nennen wir nach unten/oben beschränkt, falls die Menge M = {a_n|n ∈ N0} eine untere/obere Schranke besitzt.
Eine Folge, welche nach oben und nach unten beschränkte ist, nennen wir kurz beschränkte Folge.
Eine Folge (a_n)_n∈N0 nennen wir monoton fallend/monoton wachsend, falls gilt:
∀n,m ∈ N0 : m > n ⇒ a_m ≤ a_n
Eine Folge (an)n∈N0 nennen wir streng monoton
fallend/streng monoton wachsend, falls gilt:
∀n,m ∈ N0 : m > n ⇒ a_m < a_n
respektive
∀n,m ∈ N0 : m > n ⇒ a_m > a_n
Satz 3 - Konvergierende Folge:
Jede beschränkte und monotone Folge konvergiert.
Satz 4 - Monotone und beschränkte Folgen:
i) Eine monotone Folge reeller Zahlen (an)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
ii) Falls die Folge (a_n)n∈N0 monoton wachsend ist, gilt:
lim a_n = sup{a_n|n ∈ N0}
n→∞
iii) Falls die Folge (an)n∈N0 monoton fallend ist, gilt:
lim a_n = inf{a_n|n ∈ N0}
n→∞
Definition:
Limes Superior
Die Grösse:
lim sup a_n = lim a_n = lim sup{a_k|k ≥ n}
n→∞ n→∞ n→∞
heisst Limes superior der Folge a_n.
Definition:
Limes Inferior:
Die Grösse:
lim inf a_n = lim a_n = lim inf{a_k|k ≥ n}
n→∞ n→∞ n→∞
heisst Limes inferior der Folge a_n.
Lemma Limes Superior und Inferior:
Es gelten die folgenden Tatsachen:
i)
lim sup a_n = inf ( sup {a_k|k ≥ n})
n→∞ n∈N
ii)
lim inf a_n = sup ( inf {a_k|k ≥ n})
n→∞ n∈N
iii)
Ist (a_n)n∈N0 eine konvergente Folge, so gilt:
lim a_n = lim sup a_n = lim inf a_n
n→∞ n→∞ n→∞
iv) Eine beschränkte Folge (a_n)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn gilt:
lim a_n = lim sup a_n = lim inf a_n
n→∞ n→∞ n→∞
Theorem - Beschränkte Folge:
Es sei (a_n)n∈N0 eine beschränkte Folge mit
A = lim sup a_n.
n→∞
Dann ist A eine Häufungspunkt und für alle ε > 0 gilt:
i) dass es nur endlich viele Elemente a_n gibt, für welche gilt:
a_n ≥ A + ε.
ii) dass für unendlich viele Elemente gilt:
A − ε < a_n < A + ε.
Eine analoge Aussage gilt selbstverständlich für den limes inferior.
Korollar - Folge reeller Zahlen:
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.
Definition:
Cauchy-Folge
Eine Folge (a_n)n∈N0 ⊂ R heisst Cauchy-Folge, falls für jedes ε > 0 ein N ∈ N existiert, so dass gilt:
∀m, n ≥ N |a_n − a_m| < ε
Lemma - Cauchy-Folge
Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
Theorem - Cauchy-Folge reeler Zahlen:
Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
