II Mengen und Zahlen

Question 1

Definition:

Mengen

Answer 1

Eine Menge ist eine Ansammlung/Zusammenfassung von (endlich oder unendlich vielen) Elementen, die entweder aufgelistet werden oder durch bestimmte Eigenschaften charakterisiert sind.

Question 2

Spezielle Menge:

Answer 2

Die leere Menge, ∅: die Menge ohne Element

Question 3

Definition:

Teilmenge

Answer 3

Seien X und Y zwei Mengen.

i) Teilmenge X ⊂Y oder auch X ⊆Y:

X ⊂ Y = {x |x ∈ X ⇒ x ∈ Y }
Falls X keine Teilmenge von Y ist, schreiben wir auch X ̸⊂ Y

ii) echte Teilmenge X ⊂_ Y:
(X ⊂ Y) ∧ (X ≠ Y)

iii) Komplement:
Falls gilt X ⊂ Y ist das Komplement X^c gegeben als X^c = {y | y ∈ Y ∧ y ∈/ X }

Question 4

Definition:

∪ Vereinigung:

Answer 4

X ∪ Y = {x |x ∈ X ∨ x ∈ Y }

Question 5

Definition:

∩ Durchschnitt

Answer 5

X ∩ Y = {x |x ∈ X ∧ x ∈ Y }

Question 6

Definition:

\ Differenz

Answer 6

X \ Y = { x | x ∈ X ∧ x ∈/ Y }

Question 7

Definition:

X × Y euklidisches Produkt/ kartesisches Produkt

Answer 7

X × Y = {(x , y ) |x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Question 8

Offenes Intervall

Answer 8

(a,b)={x ∈ R|a < x <b}

Question 9

Abgeschlossenes Intervall

Answer 9

[a,b]={x ∈ R|a ≤ x ≤ b}

Question 10

Halboffene Intervalle

Answer 10

[a,b)={x ∈R|a ≤ x < b}

oder

(a,b]={x ∈R|a < x ≤ b}

Question 11

Spezialfälle:

Answer 11

R=(−∞,∞)

Question 12

Definition:

Offene Teilmenge

Answer 12

Sei X ⊂ R eine Teilmenge der reellen Zahlen.
X nennt man offen, falls für jedes Element x ∈ X gilt:

∃ε>0:∀y ((|x−y| < ε) ⇒ y ∈ X)

Bemerkung:
⇒ Das ε hier, darf von x abhängen.

⇒ Eine Menge der Form { y ∈ R^n | ||x-y|| < ε} mit fixem x ∈ R^n nennt man auch n-dimensionaler Ball mit Radius ε und Mittelpunkt x oder auch ε-Umgebung von x.

⇒ Eine offene Menge M R^n nennt man analog offen, falls gilt:
∀x ∈ M ∃ε = ε(x): ∀y ||x-y|| < ε ⇒ y ∈ M

⇒ R ist sowohl offen als auch abgeschlossen, auf die leere Menge ist sowohl offen als auch abgeschlossen.

Question 13

Definition:

Obere Schranke

Answer 13

Eine obere Schranke einer Teilmenge X ⊂ R ist ein Element y ∈ R mit der folgenden Eigenschaft:

∀ x ∈ X: x ≤ y

Question 14

Definition:

Untere Schranke

Answer 14

Entsprechend ist eine untere Schranke einer Teilmenge X ⊂ R ein Element y ∈ R mit der folgenden Eigenschaft:

∀x ∈ X: x ≥ y

Question 15

Maximum

Answer 15

Das Maximum von X, geschrieben max(X), ist ein Element x_0 ∈ X mit der folgenden Eigenschaft:

∀x ∈ X: x ≤ x_0

Question 16

Minimum

Answer 16

Das Minimum von X , geschrieben min(X ), ist ein Element x_0 ∈ X mit der folgenden Eigenschaft:

∀x ∈ X: x ≥ x_0

Question 17

Supremum

Answer 17

Die kleinste obere Schranke von X nennt man Supremum von X, geschrieben sup( X ).

Question 18

Infimum

Answer 18

Die grösste untere Schranke von X nennt man Infimum von X, geschrieben inf ( X ).

Question 19

Satz für folgende Tatsachen:

i) Maximum und Minimum:

Answer 19

Maximum und Minimum sind eindeutig bestimmte Kenngrössen einer Menge - sofern sie existieren.

Question 20

Satz für folgende Tatsachen:

ii) beschränkte Teilmenge:

Answer 20

Jede nicht leere, nach unten (oben) beschränkte Teilmenge besitzt ein eindeutiges Infimum (Supremum).

Question 21

Satz für folgende Tatsachen:

iii) Supremum:

Answer 21

Das Supremum S = sup(X ) einer Menge X kann dadurch charakterisiert werden, dass gilt:

(∀x ∈ X: x ≤ S) ∧ (∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > S−ε)

Question 22

Satz für folgende Tatsachen:

iv) Infimum:

Answer 22

Das Infimum I = inf(X) einer Menge X kann dadurch
charakterisiert werden, dass gilt:

(∀x ∈ X: x ≥ I) ∧ (∀ε > 0 ∃x ∈ X: x < I+ε)