III Komplexe Zahlen

Question 1

Definition:

Komplexe Zahlen

Answer 1

Die komplexen Zahlen sind diejenigen Zahlen, die wir schreiben können als:

z = a + ib = a+bi, wobei a, b ∈ R

und i eine neue Zahl ist mit der Eigenschaft:

i^2 = −1.

Die Menge aller komplexen Zahlen bezeichnen wir mit C. Also

C := {a + ib | a, b ∈ R}

Question 2

Normalform

Answer 2

z = a + ib

a = Realteil, geschrieben a = Re(z)

b = Imaginärteil, geschrieben b = Im(z)

i ist die imaginäre/komplexe Einheit mit der Eigenschaft i^2 = -1.

Ist a = 0, so nennt man z = ib rein imaginär.

Question 3

Rechenregeln für komplexe Zahlen:

Answer 3

Addition und Subtraktion:

Für zwei komplexe Zahlen z_1 = x_1 + iy_1 und z_2 = x_2 + iy_2 gilt:

z_1 +z_2 = (x_1 +x_2) + i(y_1 +y_2)

sowie

z_1 − z_2 = (x_1 −x_2) + i(y_1 − y_2)

Multiplikation:

Für zwei komplexe Zahlen z_1 = x_1 + iy_1 und z_2 = x_2 + iy_2 gilt:

z_1 · z_2 = x_1x_2 − y_1y_2 + i(x_1y_2 + y_1x_2)

Question 4

Division:

Answer 4

Um die Division zweier komplexer Zahlen in Normalform anzugeben, brauchen wir eine Hilfsgrösse.

Für eine komplexe Zahl z = x + iy ist die zu z komplex konjugierte Zahl gegeben durch:

z = x + iy = x − iy

Damit haben wir:

z/w = (zw ̄)/ (ww ̄)

Question 5

Betrag einer komplexen Zahl:

Answer 5

Der Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a + ib ist die Länge des dazugehörigen Vektors:

|z| = √(a^2 + b2

respektive der Abstand vom Ursprung.

Question 6

Dreiecksungleichung:

Answer 6

|z + w| ≤ |z| + |w|

Question 7

Eulersche Formel:

Answer 7

Es gilt für alle t ∈ R:

e^it = cos(t) + i sin(t), t ∈ R

Question 8

Polardarstellung:

Answer 8

Darstellung durch einem Winkel:

z = r * e^iφ

Dabei gilt:

|z| = r ≥ 0
φ ∈ (-π, π] Polarwinkel (Argument) Und wir schreiben:
φ = arg(z) = arc(z)

Question 9

Fundamentalsatz der Algebra:

Answer 9

Jedes Polynom:

p(z) = a_n * z^n + a_n−1 * z^n−1+ … + a_1 *z + a_0 =
n
∑ (a_k z^k) a_k∈C
k=0

kann in n Linearfaktoren faktorisiert werden, d.h. geschrieben werden als
p(z) = a_n(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn−1)(z − zn).
Die Zahlen zk sind also gerade die Nullstellen von p(z) (mit Vielfachheit).