V Reihen Flashcards
Definition:
Reihe
- Einen (formalen) Ausdruck der Form
∞
a0 +a1 +a2 +···= ∑a_i
i=0nennt man eine Reihe und die an heissen Glieder,
Elemente oder Summanden der Reihe. - Falls die Folge der Teilsummen (Partialsummen)
n
sn := a0 +a1 +···+an = ∑a_k
k=0gegen einen Grenzwert L < ∞ konvergiert, so sagen wir,
dass die Reihe konvergiert und schreiben:
∞
a0 + a1 + · · · = lim sn = ∑ a_k = L
n -> ∞ k=0L nennt man dann auch den Wert der Reihe. - Eine Reihe, welche nicht konvergiert, nennt man divergent.
Satz (Notwendiges Kriterium für Konvergenz)
Falls eine Reihe konvergiert, muss zwingend gelten:
lim a_n = 0,
n→∞
d.h. (a_n)n∈N0 ist eine Nullfolge.
Lemma - Konvergente Reihen a_n und b_n
Es seien ∑∞ n=0 (a_n) und ∑∞ n=0 (b_n) konvergente Reihen. Dann gilt:
∞ ∞ ∞
∑(a_n + b_n) = ∑a_n + ∑bn
n=0 n=0 n=0
und
∞ ∞
∑C · a_n = C ∑ a_n, (C ∈ R)
n=0 n=0
Lemma - Konvergenz bei a_n und N:
Es sei ∑ ∞ n=0 (a_n) eine Reihe.
Für N ∈ N0 ist ∑ ∞ n=N (a_n) genau dann konvergent, wenn ∑ ∞ n=0 (a_n) konvergiert, und in diesem Fall gilt:
∞ N−1 ∞
∑ a_n = ∑ a_n + ∑ a_n
n=0 n=0 n=N
Bedeutung: Das Konvergenzverhalten der Reihe ist vom Rest ∞ bestimmt.
∑ a_n
n=N
Satz - Monotonie und Beschränktheit
Es sein ∑ ∞ n=0 (a_n) eine Reihe nicht-negativer Elemente
a_n ≥ 0 ∀n ∈ N0.
Dann ist die Folge der Partialsummen s_n = ∑n k=0 (a_k) monoton wachsend.
Falls die Folge (s_n)n∈N0 beschränkt ist, konvergiert die Reihe ∑ ∞ n=0 (a_n), andernfalls divergiert sie.
Beweis: Folgt direkt aus den gesehen Tatsachen für Folgen.
Satz (Vergleichskriterium)
Wir betrachten Reihen
∞ ∞ ∞
∑a_n, ∑b_n und ∑c_n
n=0 n=0 n=0
mit nicht-negativen Gliedern und für eine natürliche Zahl N ∈ N gelte:
cn ≤ bn ≤ an ∀n ≥ N
Dann gilt:
- Falls ∑∞ n=0 (a_n) konvergiert, konvergiert auch ∑ ∞ n=0 (b_n) (Majorantenkriterium)
- Falls ∑∞ n=0 (c_n) divergiert, divergiert auch ∑∞ n=0 (b_n) (Minorantenkriterium)
Definition:
Absolut konvergent:
Eine Reihe ∑∞ n=0 (a_n) nennt man absolut konvergent, falls ∑∞ n=0 (|a_n|) konvergiert.
Definition:
Bedingt konvergent:
Eine Reihe ∑∞ n=0 (a_n) nennt man bedingt konvergent, falls ∑∞ n=0 (a_n) konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
Satz (Cauchy Verdichtungssatz)
Es sei (a_n)n∈N0 eine monoton fallende Folge nicht-negativer Elemente.
Dann gilt
∞ ∞
∑ a_n konvergiert. ⇔ ∑2^n * a_2^n konvergiert
n=0 n=0
Satz (Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)
Es sei ∑∞ n=0 (a_n) eine absolut konvergente Reihe reeller Summanden, und es sei φ : N0 → N0 eine Bijektion.
Dann konvergiert:
∞
∑ aφ(n)
n=0
absolut, und es gilt:
∞ ∞
∑a_n = ∑aφ(n)
n=0 n=0
Satz (Leibnitz Kriterium)
Es sei (a_n)n∈N0 eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen, welche gegen null konvergiert.
Dann konvergiert die alternierende Reihe
∑∞ n=0 ((−1)^n a_n) und es gilt:
2m+1 ∞ 2m
∑(-1)^n a_n ≤ ∑(-1)^n a_n ≤ ∑(-1)^n a_n ∀m ∈ N0.
n=0 n=0 n=0
Satz (Cauchy Kriterium):
Die Reihe ∑∞ n=0 (a_n) konvergiert genau dann, wenn für jedes ε > 0 ein Index N∈N_0 existiert, sodass für n ≥ m ≥ N gilt:
n
|∑ a_k | ≤ ε
k=m+1
Satz - Dreiecksungleichung:
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung
∞ ∞
∑(a_n) ≤ |∑(a_n)|
n=0 n=0
Satz (Wurzel-Kriterium):
Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge reeller Zahlen, und es sei
ρ = lim sup(|a_n|)^(1/n) ∈ R ∪ {∞}.
n→∞
Dann gilt:
▶ Falls ρ < 1, konvergiert :
∞
∑ (a_n) absolut.
n=0
▶ Falls ρ > 1, konvergiert
∞
∑ (a_n) nicht.
n=0
Keine Aussage möglich für ρ = 1.
Satz (Quotienten-Kriterium):
Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge reeller Zahlen mit a_n ≠ 0 ∀n ∈ N0, und es sei
ρ= lim |a_n+1| / |a_n|
n→∞
Dann gilt:
▶ Falls ρ < 1, konvergiert
∞
∑ (a_n) absolut.
n=0
▶ Falls ρ > 1, konvergiert
∞
∑ (a_n) nicht.
n=0
Keine Aussage möglich für ρ = 1.
Satz (Produkt zweier absolut konvergenter Reihen):
Es seien
∞
∑ (a_n) und
n=0
∞
∑ (b_n)
n=0
zwei absolut konvergente Reihen, und es sei φ:
N_0 →N_0×N_0 eine Bijektion.
Dann schreiben wir
φ(n) = (φ1(n), φ2(n)) ∈ N_0 × N0 ∀n ∈ N_0
Und es gilt:
∞ ∞ ∞
(∑ (a_n)) (∑ (b_n)) = ∑ (a_φ1(n), b_φ2(n))
n=0 n=0 n=0
und die Reihe auf der rechten Seite konvergiert absolut.
Satz (Cauchy-Produkt):
Es seien ∑∞ n=0 (a_n) und ∑ ∞ n=0 (b_n) zwei absolut konvergente Reihen, dann gilt:
∞ ∞ ∞ n
(∑ (a_n)) (∑(b_n)) = ∑ (∑(a_(n-k)b_k)),
n=0 n=0 n=0 k=0
und die Reihe auf der rechten Seite konvergiert absolut.
Definition:
Potenzreihen
Eine Reihe der Form
c0 + c1(x − a) + c2(x − a)^2 + c3(x − a)^3 + · · · = ∑c_k (x − a)^k
k=0
heisst Potenzreihe um den Entwicklungspunkt a und mit Koeffizientenc0, c1, c2, . . . und Argument x.
Definition:
Konvergenz einer Potenzreihe:
Falls für ein festes x die Folge der Teilsummen (Partialsummen)
n
sn(x) = c0 + c1(x−a) + c2(x−a)^2 + ··· + cn(x−a)^n = ∑c_k (x−a)^k k=0
konvergiert, so sagen wir, dass die Potenzreihe für das betrachtete Argument x konvergiert.
Satz:
i) Konvergenzradius R
Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius R, so dass gilt:
die Reihe konvergiert für x mit |x − a| < R und die Reihe divergiert für x mit |x − a| > R.
Satz:
ii) Konvergenzintervall
Das Intervall (a − R , a + R ) heisst Konvergenzintervall.
Satz:
iii) Formel des Konvergenzradius
Der Konvergenzradius R lässt sich mit der folgenden Formel
berechnen:
Es sei
ρ = lim sup|cn|^(1/n)
n→∞
Dann ist R gegeben durch:
0, falls ρ = ∞ R = { ρ^−1, falls 0 < ρ < ∞
∞, falls ρ=0
