V Reihen

Question 1

Definition:

Reihe

Answer 1

• Einen (formalen) Ausdruck der Form
  ∞
  a0 +a1 +a2 +···= ∑a_i
  i=0nennt man eine Reihe und die an heissen Glieder,
  Elemente oder Summanden der Reihe.
• Falls die Folge der Teilsummen (Partialsummen)
  n
  sn := a0 +a1 +···+an = ∑a_k
  k=0gegen einen Grenzwert L < ∞ konvergiert, so sagen wir,
  dass die Reihe konvergiert und schreiben:
  ∞
  a0 + a1 + · · · = lim sn = ∑ a_k = L
  n -> ∞ k=0L nennt man dann auch den Wert der Reihe.
• Eine Reihe, welche nicht konvergiert, nennt man divergent.

Question 2

Satz (Notwendiges Kriterium für Konvergenz)

Answer 2

Falls eine Reihe konvergiert, muss zwingend gelten:

lim a_n = 0,
n→∞

d.h. (a_n)n∈N0 ist eine Nullfolge.

Question 3

Lemma - Konvergente Reihen a_n und b_n

Answer 3

Es seien ∑∞ n=0 (a_n) und ∑∞ n=0 (b_n) konvergente Reihen. Dann gilt:

∞ ∞ ∞
∑(a_n + b_n) = ∑a_n + ∑bn
n=0 n=0 n=0

und

∞ ∞
∑C · a_n = C ∑ a_n, (C ∈ R)
n=0 n=0

Question 4

Lemma - Konvergenz bei a_n und N:

Answer 4

Es sei ∑ ∞ n=0 (a_n) eine Reihe.
Für N ∈ N0 ist ∑ ∞ n=N (a_n) genau dann konvergent, wenn ∑ ∞ n=0 (a_n) konvergiert, und in diesem Fall gilt:

∞ N−1 ∞
∑ a_n = ∑ a_n + ∑ a_n
n=0 n=0 n=N

Bedeutung: Das Konvergenzverhalten der Reihe ist vom Rest ∞ bestimmt.
∑ a_n
n=N

Question 5

Satz - Monotonie und Beschränktheit

Answer 5

Es sein ∑ ∞ n=0 (a_n) eine Reihe nicht-negativer Elemente
a_n ≥ 0 ∀n ∈ N0.

Dann ist die Folge der Partialsummen s_n = ∑n k=0 (a_k) monoton wachsend.

Falls die Folge (s_n)n∈N0 beschränkt ist, konvergiert die Reihe ∑ ∞ n=0 (a_n), andernfalls divergiert sie.

Beweis: Folgt direkt aus den gesehen Tatsachen für Folgen.

Question 6

Satz (Vergleichskriterium)

Answer 6

Wir betrachten Reihen
∞ ∞ ∞
∑a_n, ∑b_n und ∑c_n
n=0 n=0 n=0

mit nicht-negativen Gliedern und für eine natürliche Zahl N ∈ N gelte:

cn ≤ bn ≤ an ∀n ≥ N

Dann gilt:
- Falls ∑∞ n=0 (a_n) konvergiert, konvergiert auch ∑ ∞ n=0 (b_n) (Majorantenkriterium)

• Falls ∑∞ n=0 (c_n) divergiert, divergiert auch ∑∞ n=0 (b_n) (Minorantenkriterium)

Question 6

Definition:

Absolut konvergent:

Answer 6

Eine Reihe ∑∞ n=0 (a_n) nennt man absolut konvergent, falls ∑∞ n=0 (|a_n|) konvergiert.

Question 6

Definition:

Bedingt konvergent:

Answer 6

Eine Reihe ∑∞ n=0 (a_n) nennt man bedingt konvergent, falls ∑∞ n=0 (a_n) konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Question 7

Satz (Cauchy Verdichtungssatz)

Answer 7

Es sei (a_n)n∈N0 eine monoton fallende Folge nicht-negativer Elemente.

Dann gilt
∞ ∞
∑ a_n konvergiert. ⇔ ∑2^n * a_2^n konvergiert
n=0 n=0

Question 7

Satz (Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Answer 7

Es sei ∑∞ n=0 (a_n) eine absolut konvergente Reihe reeller Summanden, und es sei φ : N0 → N0 eine Bijektion.

Dann konvergiert:

∞
∑ aφ(n)
n=0

absolut, und es gilt:

∞ ∞
∑a_n = ∑aφ(n)
n=0 n=0

Question 8

Satz (Leibnitz Kriterium)

Answer 8

Es sei (a_n)n∈N0 eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen, welche gegen null konvergiert.
Dann konvergiert die alternierende Reihe
∑∞ n=0 ((−1)^n a_n) und es gilt:

2m+1 ∞ 2m
∑(-1)^n a_n ≤ ∑(-1)^n a_n ≤ ∑(-1)^n a_n ∀m ∈ N0.
n=0 n=0 n=0

Question 9

Satz (Cauchy Kriterium):

Answer 9

Die Reihe ∑∞ n=0 (a_n) konvergiert genau dann, wenn für jedes ε > 0 ein Index N∈N_0 existiert, sodass für n ≥ m ≥ N gilt:

n
|∑ a_k | ≤ ε
k=m+1

Question 10

Satz - Dreiecksungleichung:

Answer 10

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

∞ ∞
∑(a_n) ≤ |∑(a_n)|
n=0 n=0

Question 11

Satz (Wurzel-Kriterium):

Answer 11

Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge reeller Zahlen, und es sei

ρ = lim sup(|a_n|)^(1/n) ∈ R ∪ {∞}.
n→∞

Dann gilt:
▶ Falls ρ < 1, konvergiert :
∞
∑ (a_n) absolut.
n=0

▶ Falls ρ > 1, konvergiert
∞
∑ (a_n) nicht.
n=0

Keine Aussage möglich für ρ = 1.

Question 12

Satz (Quotienten-Kriterium):

Answer 12

Es sei (a_n)n∈N0 eine Folge reeller Zahlen mit a_n ≠ 0 ∀n ∈ N0, und es sei

ρ= lim |a_n+1| / |a_n|
n→∞

Dann gilt:
▶ Falls ρ < 1, konvergiert
∞
∑ (a_n) absolut.
n=0

▶ Falls ρ > 1, konvergiert
∞
∑ (a_n) nicht.
n=0

Keine Aussage möglich für ρ = 1.

Question 13

Satz (Produkt zweier absolut konvergenter Reihen):

Answer 13

Es seien
∞
∑ (a_n) und
n=0
∞
∑ (b_n)
n=0

zwei absolut konvergente Reihen, und es sei φ:
N_0 →N_0×N_0 eine Bijektion.

Dann schreiben wir
φ(n) = (φ1(n), φ2(n)) ∈ N_0 × N0 ∀n ∈ N_0

Und es gilt:
∞ ∞ ∞
(∑ (a_n)) (∑ (b_n)) = ∑ (a_φ1(n), b_φ2(n))
n=0 n=0 n=0

und die Reihe auf der rechten Seite konvergiert absolut.

Question 14

Satz (Cauchy-Produkt):

Answer 14

Es seien ∑∞ n=0 (a_n) und ∑ ∞ n=0 (b_n) zwei absolut konvergente Reihen, dann gilt:

∞ ∞ ∞ n
(∑ (a_n)) (∑(b_n)) = ∑ (∑(a_(n-k)b_k)),
n=0 n=0 n=0 k=0

und die Reihe auf der rechten Seite konvergiert absolut.

Question 15

Definition:

Potenzreihen

Answer 15

Eine Reihe der Form
c0 + c1(x − a) + c2(x − a)^2 + c3(x − a)^3 + · · · = ∑c_k (x − a)^k
k=0
heisst Potenzreihe um den Entwicklungspunkt a und mit Koeffizientenc0, c1, c2, . . . und Argument x.

Question 16

Definition:

Konvergenz einer Potenzreihe:

Answer 16

Falls für ein festes x die Folge der Teilsummen (Partialsummen)
n
sn(x) = c0 + c1(x−a) + c2(x−a)^2 + ··· + cn(x−a)^n = ∑c_k (x−a)^k k=0

konvergiert, so sagen wir, dass die Potenzreihe für das betrachtete Argument x konvergiert.

Question 17

Satz:

i) Konvergenzradius R

Answer 17

Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius R, so dass gilt:

die Reihe konvergiert für x mit |x − a| < R und die Reihe divergiert für x mit |x − a| > R.

Question 18

Satz:

ii) Konvergenzintervall

Answer 18

Das Intervall (a − R , a + R ) heisst Konvergenzintervall.

Question 19

Satz:

iii) Formel des Konvergenzradius

Answer 19

Der Konvergenzradius R lässt sich mit der folgenden Formel
berechnen:
Es sei

ρ = lim sup|cn|^(1/n)
n→∞

Dann ist R gegeben durch:

          0,         falls   ρ = ∞ R = {      ρ^−1,   falls   0 < ρ < ∞
          ∞,         falls   ρ=0