I Grundlagen und Logik

Question 1

Definition:

mathematischen Aussage

Answer 1

Eine mathematische Aussage ist eine wohlformulierte mathematische Behauptung, welche entweder wahr oder falsch ist.

Question 2

Definition:

Prädikat

Answer 2

Eine Aussage, welche von einer oder mehreren Variablen (Argumenten, Inputs) abhängt, nennen wir Prädikat und wir schreiben dafür A(x), respektive A(x,y,…).

Question 3

Definition:

Verneinung

Answer 3

Die Verneinung (Negation) einer mathematischen Aussage A ist die Aussage “A gilt nicht” und wir schreiben ¬A.

Question 4

Definition:

A ∧ B

Answer 4

(A und B, logisches Und)

Sowohl A als auch B gelten, respektive A ∧ B ist genau dann wahr, wenn A und B beide wahr sind.

Question 5

Definition:

A ∨ B

Answer 5

(einschliessendes Oder)

Mindestens eine der Aussagen A und B gilt, respektive A ∨ B ist genau dann wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind.

Question 6

Definition:

A ⇒ B

Answer 6

(Implikation)

A ⇒ B bedeutet: Falls A wahr ist, so ist auch B wahr, respektive: ¬A∨B

Question 7

Definition:

A ⇔ B

Answer 7

(Äquivalenz)

Die beiden Aussagen A und B sind äquivalent, falls gilt: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

Question 8

Lemma 1:

Direkter Beweis

Answer 8

A ⇔ B ist gleichbedeutend zu:
(¬A∧¬B) ∨ (A∧B)

⇒ Beweis: Wahrheitstabelle

Question 9

Lemma 2:

Direkter Beweis und
Indirekter Beweis

Answer 9

A ⇒ B ist gleichbedeutend zu:
(¬ B ⇒ ¬A)

⇒ Beweis: Wahrheitstabelle

Direkter Beweis: A ⇒ B :
Wir nehmen an, dass A gilt und zeigen, dass dann auch B gilt (z.B. durch Umformungen, Benutzung von Theoremen etc.)

Indirekter Beweis: (¬ B ⇒ ¬A):
Wir nehmen an, dass ¬ B gilt und zeigen dann, dass ¬A gilt.
Erinnerung ¬( A ⇒ B) ist gleichbedeutend mit A ∧ ¬ B ⇒ Widerspruchsbeweis

Question 10

Satz:

Es gelten die folgenden Regeln:

Answer 10

¬(∀x A(x)) ⇔ ∃x ¬A(x)

¬(∃x A(x)) ⇔ ∀x ¬A(x)

sowie

∀x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∀x A(x)) ∧ (∀x B(x))

∃x (A(x) ∨ B(x)) ⇔ (∃x A(x)) ∨ (∃x B(x))