Vektorräume I

Question 1

Polynom

Answer 1

Ein ～ auf IR (oder IC) ist eine Abb. der Form p: IR -> IR (oder p: IC -> IC), p(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ, wobei a_jElement von IR (oder a_j Element von IC)

Question 2

IK - Vektorraum

Answer 2

Sei IK ein Körper und V eine komm. Gruppe. Wir nennen V einen IK - Vektorraum, falls eine Abb. IK x V → V,
(λ, v) |→ λ ・ v existiert, mit: i) 1 ・ v = v
ii) (λμ) ・ v = λ ・ (μ ・ v)
iii) (λ + μ) ・ v = λ ・ v + μ ・ v
iv) (v₁ + v₂) = λ ・ v₁ + λ ・ v₂

Question 3

IK-linear

Answer 3

Es seien V₁, V₂ IK-Vektorräume. Eine Abb. l : V₁ → V₂heißt Vektorraum - Homom. oder kurz IK - linear, falls gilt:

i) f ist ein Gruppenhom. bzgl. +
ii) f(λ ・ v) = λ・ f(v) gilt für alle λ Element IK

Question 4

Untervektorraum

Answer 4

Eine Teilmenge W eine IK - Vektorraumes V heißt Untervektorraum von V, falls gilt:

i) W ist Untergruppe von V bzgl. +
ii) aus λ Element IK und w Element W folgt λ + w Element W

Question 5

Linearer Spann

Answer 5

～ von E Teilmenge V ist der kleinste Untervektorraum Lin(E) von V, der E enthält, d. h. Lin(E) = Durchschnitt über alle W (Untervektorraum von V), für die gilt, E ist Teilmenge von W

Question 6

endlichdimensional

Answer 6

Wir nennen V ～, wenn es endlich viele v₁,__,v_n Element V gibt, für die V = IKv₁ + … + IKv_n

Question 7

Erzeugendensystem

Answer 7

Wir nennen E Teilmenge V ein Erzeugendensystem von V, wenn V = Lin(E) gilt.

Question 8

linear abhängig

Answer 8

v Element V hängt linear von v₁,__,v_n ab, falls λ₁,_,λ_nElement IK mit v = Σⁿ_k=1 λ_kv_k existieren

Question 9

linear unabhängig

Answer 9

• v₁,_,v_n Element V heißen ～, falls kein v_jvon den restlichen linear abhängt Aus λ₁v₁ + … + λ_nv_n = 0 => λ₁ = – = λ_n = 0 für alle λ_jElement IK

Question 10

Basis

Answer 10

Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem v₁,__,v_nvon V heißt ～ von V.

Question 11

geordnete Basis

Answer 11

Es se v₁,__,v_neine geordnete Basis von V. Die Koordinate von x Element V ist der eindeutig bestimmte Vektor (α₁,…,α_n) Element IKⁿ mit x = α₁v₁ + … α_nv_n

Question 12

Dimension

Answer 12

Ist V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, dann ist die ～ dim V die Anzahl der Elemente einer Basis. Ein Vektorraum, der nicht endlich-dimensional ist, wird unendlich-dimensional genannt.