tiefere Gruppentheorie

Question 1

Gruppenoperation

Answer 1

Sei G eine Gruppe und M eine Menge. Eine ～ von G auf M (G-Operation auf M) ist eine Abb. Φ : G x M → M, Φ(g, x) =: g ・ x, für die gilt:

1) e ・ x = x für alle x Element M
2) (g₁* g₂) ・ x = g₁ ・ (g₂ ・ x) für alle g_i Element G und x Element M

Question 2

Bahn

Answer 2

Ist eine G - Operation auf M gegeben, dann nennen wir für jedes x Element M die Teilmenge G ・ x = {g ・ x : g Element G} die Bahn durch x

Question 3

Ring

Answer 3

Es sei R eine komm. Gruppe bzgl. + mit neutralem Element 0. Wenn auf R zusätzlich eine Verknüpfung ・: R x R → R definiert ist, sodass gilt:

1) r₁ ・ (r₂ ・ r₃) = (r₁ ・ r₂) ・ r₃für alle r₁, r₂, r₃ Element R (Assoziativgesetz)
2) r₁ ・ r₂ = r₂ ・ r₁ für alle r₁, r₂ Element R (Komm.-Gesetz)
3) r₁ ・ (r₂ + r₃) = (r₁・ r₂) + (r₁ ・ r₃) so ist R ein komm. Ring. Falls außerdem: 1 ・ r = r für alle r Element R für alle r Element R, nennen wir R einen Ring mit 1.

Question 4

Nullteilerfrei

Answer 4

Sei R komm. Ring mit 1. Wir nennen R ～, falls
x₁ ・ x₂ = 0 ⇒ x₁ = 0 oder x₂ = 0

Question 5

Primzahl

Answer 5

Es sei p Element IN. Wir nennen p eine Primzahl, falls gilt:

i) p >= 2 und
ii) aus p = n₁ ・ n₂, wobei n_jElement IN, => n₁ = 1 oder n₂ = 1

Question 6

teilbar durch p (Element IN)

Answer 6

n Element N ist ～, falls n = k ・ p für ein k Element IN^>=2

Question 7

Produktgruppe

Answer 7

G₁, G₂ seien Gruppen. Die ～ G₁ x G₂ ist die Menge G₁ x G₂ mit der Verknüpfung m((g₁, g₂), (h₁, h₂)) = (g₁ ・ h₁, g₂ ・ h₂)

Question 8

Gruppenhomomorphismus

Answer 8

Es seien G, H Gruppen. Eine Abbildung φ: G → H, die die Gruppenstrukturen respektiert, nennen wir einen ～. D.h. für alle g₁, g₂Element G gilt: φ(g₁ ・ g₂) = φ(g₁) * φ(g₂)

Question 9

Ringhomomorphismus

Answer 9

Es seien R₁ und R₂ Ringe. Ein ～ ist ein Gruppenhom. φ: R₁ → R₂ (bzgl.+), für den gilt: φ(a ・ b) = φ(a) ・ φ(b) a,b Element R (“・” ist übliche Multiplikation)

Question 10

Unterring

Answer 10

Es sei R ein komm. Ring mit 1. Ein Unterring I von R ist eine Untergruppe I von R (bezüglich +), für die gilt: Aus a, b Element I => a ・ b Element I

Question 11

Ideal

Answer 11

Ein Unterring I von R ist ein Ideal, falls für alle a Element R und b Element I gilt: a ・ b Element I

Question 12

Körper

Answer 12

Ein Körper IK ist ein komm. Ring mit 1, sodass jedes x Element IK^* := IK \ {0} ein multiplikatives Inverses hat und nicht leer ist (…).

Question 13

(G-)invariant

Answer 13

Gruppe G operiere auf M. Eine Teilmenge U von M heißt ～, wenn sie eine Vereinigung von G-Bahnen ist. D.h. g Element G, x Element U => g * x Element U