Variables aléatoires

Question 1

Qu’est ce qu’ une variable aléatoire discontinue ?

Answer 1

Une variable aléatoire (v.a) discontinue X prend différentes valeurs de x avec des probabilités définies par sa distribution de probabilité p(x) (ou distribution de X)

Question 2

Définir une distribution:

Answer 2

La distribution de X est définie par l’ensemble des valeurs possibles de x et de leurs probabilités associées:
{(x1, P(X = x1)), …, (xk, P(X = xk))}

Question 3

Donner les 3 types de variable aléatoires:

Answer 3

• La loi Normale
• La loi de Student
• La loi du Chi-deux ( χ ²)

Question 4

De quels paramètres dépendent les variable aléatoires ?

Answer 4

• La moyenne μ
• L’écart-type σ
  On note N(μ , σ)

Question 5

Donner l’expression de l’espérance mathématique d’une variable aléatoire DISCRETE:

Answer 5

E(X)=∑. xi.pi

Question 6

Donner l’expression de la variance d’une variable aléatoire DISCRETE:

Answer 6

Var (X)= σ² = E((X - μ)² )= E((X - E (X))²)

Question 7

Donner l’expression de l’espérance mathématique d’une variable aléatoire CONTINUE:

Answer 7

E(X) = ∫ ( + l’infini , - l’infini) x . f(x)dx

Question 8

Donner les propriétés du coefficient de corrélation:

Answer 8

1. ρxy est un nombre sans dimension tel que: -1 ≤ ρxy ≤ +1
2. Si X et Y sont indépendantes alors ρxy = 0 (la réciproque est en générale fausse)
3. On peut démontrer que lorsque Y= aX+b, alors ρxy = +1 avec le signe de a ≠ 0

Question 9

Donner les propriétés de la loi Normale:

Answer 9

1. f(x) est totalement déterminer par sa moyenne et son écart-type
2. La fonction de densité est:
   - continue
   - symétrique par rapport à la moyenne μ
   - passe par un maximum pou x= μ
   - a une médiane égale à μ
3. Si X1, X2, …, Xn sont Normales et indépendantes alors Y = X1+X2+…+Xn est Normale
4. Si X est N( μ, σ) alors Y = aX+b (a et b sont des constantes) et N (aμ+b), |a|.σ.
   Cette propriété permet d’établir un cas particulièrement utile car elle définie une nouvelle v.a Z tel que : Z= (X-μ) /σ. -> Loi normale centrée réduite

Question 10

A quoi sert la table de la loi normale ?

Answer 10

Elle concerne la loi N(0,1). Elle permet de déterminer la probabilité α pour que Z dépasse une certaine valeur Nα. Autrement dit, elle donne pour certaines valeurs de α la valeur Nα telle que :

α= Proba ((Z ≤ - N α ) ou (Z ≥ +N α ) = Proba (|Z| ≥ N α)

Question 11

Définir la Loi normale centré réduite

Answer 11

Z tel que Z= (X-μ) /σ, la loi de distribution de Z et N(0,1), la distribution est centrée sur 0 avec un écart-type égal à 1.