TRỊ RIÊNG - VECTO RIÊNG

Question 1

Định nghĩa TR - VTR

Answer 1

Số λ gọi là trị riêng (TR) của ma trận A nếu tồn tại véc tơ x ∈ Rn khác không thỏa
Ax = λx
Khi đó, x gọi là véc tơ riêng(VTR) ứng với trị riêng λ của ma trận A

Question 2

Tìm TR-VTR của ma trận vuông

Answer 2

B1. Tính đa thức đặc trưng
P(λ) = det(A − λI).
Nghiệm của P(λ) là TR của A
B2. Với mỗi TR λ(i), giải hệ
(A − λ(i).I)x = 0
ta được VTR ứng với TR λ(i)

Question 3

BĐS, KGCR, BHH

Answer 3

i) Bội đại số(BĐS) của trị riêng λi
là bội nghiệm của λi trong phương trình đặc trưng λi là nghiệm đơn thì BĐS=1, λi là nghiệm kép thì BĐS=2…
ii) Không gian con riêng của trị riêng λi
là tập nghiệm của hệ (A − λi)x = 0,
kí hiệu là Eλi
iii) Bội hình học(BHH) của λi
là số chiều của Eλi: BHH = dim(Eλi).

Question 4

Đa thức đặc trưng ma trận cấp 3

Answer 4

PA(λ) = −λ^3 + tr(A).λ^2 − (A11 + A22 + A33)λ + det(A).

Question 5

Tính chất của trị riêng và VTR

Answer 5

i) Mọi ma trận cấp n có đúng n trị riêng tính cả bội.
ii) Tổng các TR bằng tr(A): tổng các phần tử trên đường chéo chính.
iii) Tích các TR bằng det(A).
iv) Nếu λ là TR của A thì λ^m là TR của A^m, ∀m ∈ Z+
VTR của A cũng là VTR của A^m, nhưng điều ngược lại không đúng.
v) Nếu λ0 thì 1/λ0 là TR của A^−1
VTR của A cũng là VTR của A^−1 và ngược lại.

Question 6

Hai ma trận đồng dạng

Answer 6

2 ma trận vuông A, B ∈ Mn gọi là đồng
dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P ∈ Mn thỏa
A = P.B.P^ −1
2 ma trận đồng dạng thì cùng đa thức đặc trưng
Nhìn chung, 2 ma trận đồng dạng cùng tập trị riêng nhưng không cùng véc tơ riêng.

Question 7

định nghĩa ma trận đx thực, mtr trực giao

Answer 7

i) Ma trận vuông thực A gọi là đối xứng thực nếu AT = A.
ii) Ma trận vuông P gọi là trực giao nếu P^−1 = P^T
iii) Ma trận A gọi là chéo hóa trực giao được nếu tồn tại ma
trận trực giao P và ma trận chéo D thỏa
A = P.D.P^−1 = P.D.P^T

Question 8

Tính chất ma trận đx thực

Answer 8

i) Trị riêng A là những số thực.
ii) Các VTR ứng với các TR khác nhau thì vuông góc.
iii) A luôn chéo hóa trực giao được.

Question 9

TR _ VTR của ánh xạ tuyến tính trong CS chính tắc

Answer 9

như TR - VTR của ma trận

Question 10

TR _ VTR của ánh xạ tuyến tính trong CS E

Answer 10

TR như ma trận, VTR x của f khác VTR x0 của mtr A và

x = E.x0