DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Question 1

Định nghĩa DTP

Answer 1

Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : Rn → R,
∀x = (x1, x2, . . . , xn)^T ∈ Rn : f(x) = x^T.A.x,
trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)
- : Rn là các véc tơ viết dưới dạng cột. x
^T là để chuyển lại dưới dạng hàng để phép toán x^T.A.x thực hiện được

Question 2

Định nghĩa dạng chính tắc of TP

Answer 2

Cho dạng toàn phương
f = x^T.A.x, x ∈ Rn.
Giả sử P là ma trận khả nghịch cấp n, ta đặt
x = P y =⇒ f = y^T.P^T.A.P.y = y^T.D.y
Nếu D là ma trận chéo thì
f = y^T.D.y = sigma( λn.yn^2)

Question 3

Biến đổi trực giao đưa về dạng toàn phương chính tắc

Answer 3

Mọi dạng toàn phương f = x^T.A.x luôn
đưa được về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao
B1: Viết ma trận A của dạng toàn phương.
B2: Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D.
B3: Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là f=y^T.D.y.
Phép biến đổi cần tìm x = P.y

Question 4

các loại toàn phương theo chính tắc

Answer 4

Tính chất Cho dạng toàn phương ở dạng chính tắc
• Nếu λk > 0, ∀k thì f xác định dương.
• Nếu λk < 0, ∀k thì f xác định âm.
• Nếu λk > =0, ∃k0 : λk0 = 0 thì f nửa xác định dương.
• Nếu λk <= 0, ∃k0: λk0 = 0thì f nửa xác định âm.
• Nếu ∃k1, k2 : λk1.λk2 < 0 thì f không xác định dấu

Question 5

Định thức con chính

Answer 5

Cho ma trận vuông A cấp n.

Định thức con chính cấp k của A là định thức của ma trận con Ak được lấy từ k hàng và k cột đầu tiên của A.

Question 6

Tiêu chuẩn Sylvester

Answer 6

Cho dạng toàn phương f(x) = x^T.A.x
i) f(x) xác định dương khi và chỉ khi
∆i > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
ii) f(x) xác định âm khi và chỉ khi
(−1)i∆i > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n