Teoremi delle Derivate Flashcards
Relazione tra Continuità e Derivabilità
🚗 Ritorno a casa
H: Sai esattamente come girare il volante su una strada (derivabile).
Th: La strada è completamente asfaltata (continua). Non sempre è vero il contrario però!
Derivata di funzioni composte
💔 Il prom
H: L’umore di Marco (g(x)) è completamente dipendente da quello di Giulia (derivata). L’umore di Marco, a sua volta, influisce sull’umore di Anna (f(x)).
Th: L’umore di Anna (f(x)) è influenzato indirettamente dall’umore di Giulia (f ’(g(x)) g’(x)).
Derivata di funzione inversa
🍝 Ratatouille
H: L’atto del cucinare (f(x)) di Fabrizio non ha subito interruzioni (continua) ed ha usato ingredienti che è possibile indovinare da Gaspare (invertibile), nel contesto (intorno) di uno specifico ingrediente (x0). Uno specifico ingrediente, se cucinato (f(x0)) produce uno specifico sapore (y0). Alcuni ingredienti sono più difficili da dosare (f ‘(x)) e quindi meno facili da indovinare (g’(x)).
Th: L’atto di assaggiare (g(x)) di Gaspare è più facile quando l’effetto degli ingredienti sul sapore è minore. g’(x) e f’(x) sono inverse.
Teorema Tappabuchi
🚧 Incompetenti…
H: La strada è completamente asfaltata (continua), e sai come girare il volante, tranne che nel buco (x0).
Th: Sapendo com’è la strada prima e dopo, il buco non costituisce una sorpresa per te (derivabile) e puoi ignorarlo.
Teorema di Fermat
🎢🔴 Pazza
H: La giostra (f(x)) si muove sulle rotaie cambiando quota (derivata = cambio di quota), compreso ogni punto di cima (massimo) o di fondo (minimo), (x0).
Th: Nei punti alti e bassi delle rotaie smetti per un momento di cambiare quota, questo vuol dire che il cambio di quota è 0 (derivata è nulla).
Teorema di Rolle
🎢🔵 Calma
H: Esiste la giostra, si muove lungo le rotaie e ha un inizio (x=a) e una fine (x=b), entrambi si trovano alla stessa altezza (f(a)=f(b)). I punti interni sono prevedibili (derivabili) avendola vista dall’esterno.
Th: Esiste un punto della giostra in cui si smette di cambiare quota (derivata nulla).
Teorema di Lagrange
🎢🟢 Cheese!
H: Esiste la giostra, si muove lungo le rotaie e ha un inizio (x=A) e una fine (x=B). I punti interni sono prevedibili (derivabili) avendola vista dall’esterno.
Th: Esiste un punto in cui la telecamera che viaggia in linea retta (f’(x) = coefficiente angolare della retta AB, o Inizio-Fine) incontra la rotaia. Attenzione: la telecamera non si trova per forza sulla retta AB, ma le è parallela.
Monotonia e derivata
🌄 La guida in campagna
H: Il freno e le marce funzionano sulla strada che stai percorrendo (derivabile su intervallo).
Th: Se la strada è in salita (f(x) crescente), dovrai usare una marcia più alta (derivata positiva), e viceversa se è in discesa (decrescente) (derivata negativa). Se la marcia rimane alta (derivata strettamente positiva) vuol dire che la salita rimane ripida fino alla casa (SMC), e viceversa se rimane bassa (SMD).
Corollario di Monotonia
🌄 H: Le marce funzionano sulla strada che stai percorrendo (derivabile su intervallo), arrivi ad un punto (x0) in cui devi cambiare marcia (derivata nulla) in bassa (derivata negativa) o alta (derivata positiva). Metti bassa-alta in un primo caso, poi alta-bassa in un secondo.
Th: Nel primo caso passi in una valle (minimo), nel secondo su una cima (massimo).
Teorema di De L’Hopital
💕 Litigio
H: Francesca e Giulia hanno principi saldi (definite su I) intorno all’argomento (limite su x0). Il tuo affetto per entrambe è infinito oppure l’antipatia è zero (forme indeterminate). Capisci le loro posizioni e sei in grado di analizzare le loro argomentazioni in maniera oggettiva (derivabili), Giulia si sta difendendo bene (g’(x) diverso da 0), le argomentazioni possono essere confrontate (limite delle derivate esiste).
Th: Per scegliere tra Francesca e Giulia puoi scegliere tra le loro argomentazioni, anche se inizialmente sembrava impossibile (limite = limite delle derivate).
Relazione tra convessità e flessi
🌳 Attento all’albero!
H: La macchina risponde bene alla strada su cui stai guidando (derivabile su un intervallo).
Th: Se la strada è convessa, come su una collina, la velocità aumenta (derivata crescente). Un passeggero, solo guardando la velocità crescente, potrebbe dedurre che la strada è convessa (se e solo se). Se la velocità continua ad aumentare anche dopo aver cambiato marcia (derivata strettamente crescente), ciò dimostra che la collina è strettamente convessa e che non c’è uno spiazzo o un punto piatto sulla cima: la salita si trasforma immediatamente in una discesa ripida.
Corollario Convessità-Flessi
H: La macchina risponde bene e i pedali sono funzionanti (derivabile due volte su I).
Th: Se (e solo se) la strada è convessa, acceleri (derivata seconda positiva) prima per salire, poi perché la strada è ripida in discesa. Se continui ad accelerare senza fermarti, la strada è strettamente convessa. Se invece parti da una cima e scendi (strada concava), starai più attento e userai il freno. Decelererai (derivata seconda negativa), continuando a decelerare salendo (senza pause: strettamente concava) perché non sarai così sprovveduto da premere l’acceleratore un’altra volta. Chi va piano va sano e va lontano!
