Integrali Indefiniti e Definiti Flashcards
Teorema della Costante
🌌 La flotta
H: La nave F e la nave G (due primitive) seguono entrambe la rotta originale della flotta umana (con le stesse curve, la stessa velocità ecc).
Th: Esiste un valore c identificativo per ogni nave, che indica quanto sono spostate dalla rotta principale. In questo caso, la nave G ha la stessa rotta della nave F spostata di c. Se esistessero infinite navi nella flotta, come l’umanità sogna, si troverebbe sempre una nave spostandosi di qualunque c. Ovvero, esisterebbero infinite navi nate da uno stesso progetto.
Teorema della Linearità
⚙️ Ingegneria marziana
H: Due progetti di due navi diverse sono entrambi attuabili (due funzioni derivabili), e hanno due dimensioni diverse, A e B (coefficienti della somma tra integrali). Vengono costruite allo stesso momento.
Th: I materiali totali per costruirle saranno equivalenti a quelli per i singoli progetti distinti, ciascuno moltiplicato per la grandezza della nave (a, b). Né più né meno.
Integrazione per Parti
🔨 Eresia
H: Due progetti di due navi diverse sono entrambi attuabili (due funzioni derivabili), l’idea del progetto che si vuole modificare (f ’(x)) potrebbe influenzare anche il secondo progetto da cui si vuole trarre la modifica (g(x)). In pratica, si può fare anche il contrario.
Th: Il progetto (f(x)) può essere modificato con l’idea dell’altro (g’(x)). Se si prova a costruire questa nave si farà un altro progetto combinato (f(x) per g(x)) eliminando le parti che dovrebbero essere sviluppate partendo dall’altra nave e modificando quella (integrale di f’(x) per g(x)). Non è un processo così intuitivo, ma funziona.
Integrazione per Sostituzione
🧱 Materiali costosi
H: Può essere fatto un progetto per una nave da costruire nel cantiere U (intervallo) con pezzi provvisori in alluminio (t). Questa nave può essere costruita, il progetto adattato al cantiere I e ai pezzi finali di acciaio (x), ricavati dagli stampi in alluminio.
Th: Il progetto della nave principale adattato ai pezzi in alluminio (f(t)t’) può essere costruito, e quando è pronto i pezzi in alluminio possono essere sostituiti con pezzi in acciaio (sostituire t con x).
Funzioni integrabili
📜 Progetti impossibili
Continue
Una nave che è un pezzo unico si può sempre costruire.
Continue a tratti
Una nave che comprende due o più pezzi distinti si può costruire.
Continue su (a,b) e limitate su [a,b]
Una nave contenuta nell’hangar si può costruire.
Monotone su [a,b]
Una nave che viaggia solo in un verso, come una sonda, si può costruire anche se ha pezzi fragili (discontinui).
Teorema della Media Integrale
⛽️ Spreco di carburante
H: La nave percorre la rotta senza fermarsi tra un pianeta e l’altro [a,b].
Th: Tra la quota minima e la quota massima (inf e sup) c’è un valore medio (valor medio integrale) che, se mantenuto, consente di risparmiare carburante. Basta dividere la rotta complessiva (integrale) per la lunghezza percorsa (b-a).
Implementazione di Weierstrass
🪐 Lo strano pastore spaziale
H: La nave percorre la rotta senza fermarsi tra un pianeta e l’altro e senza fare deviazioni (continua e limitata su [a,b]).
Th: Ci sarà per forza un punto nella rotta in cui si imbattono nel campo di asteroidi. (La funzione passa dalla sua media integrale).
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale
💡 Tempi di produzione
H: Un progetto (f(x), primitiva) è costruibile (integrabile) in un hangar o nello spazio aperto (intervallo non necessariamente limitato). Il progetto costruito da origine alla nave, partendo da un componente (x0) fino al pezzo finale (x).
Th: Partendo dalla nave ultimata (F(x)), si può creare un progetto (derivabile). Quel progetto è il progetto originale dal quale è stata costruita (f(x)).
Integrali e Sviluppi
🌇 Una colonia sicura
H: La piccola colonia è in continuo rischio di estinzione (continua in un intorno di 0) ed è trascurabile rispetto alla grande colonia esponenziale x^n (ossia è “o piccolo” di x^n, dove n>0). Inoltre, è stato condotto un censimento (F) che ha tracciato l’evoluzione della popolazione dagli inizi, includendo una generazione ormai estinta.
Th: Il censimento rivela che, confrontando la crescita attuale della popolazione della grande colonia con quella della piccola colonia, quest’ultima risulta trascurabile. Infatti, la popolazione censita negli anni passati è irrilevante rispetto a quella presente e alla crescita futura. L’effetto delle piccole comunità, se analizzato attraverso l’insieme del pianeta, è altrettanto trascurabile rispetto alla crescita esponenziale del pianeta stesso, simile a come l’integrale di una funzione infinitesima risulti anch’esso infinitesimo rispetto a x^{n+1} per x→0.
