Tema 55 Fractales Flashcards
Tema 55
ÍNDICE
TEMA 55 FRACTALES. NOCIONES BÁSICAS
- Introducción
- Fractales clásicos o “la galería de los monstruos”
2.1 El conjunto de Cantor
2.2 La curva y la isla de Koch
2.3 La alfombra de Sierpinski.
2.4 La curva de Peano
2.5 El árbol pitagórico
2.6 La esponja de Menger - Definición y clasificación de fractales
- Hacia el concepto de dimensión
4.1 La dimensión de homotecia
4.2 La dimensión de Hausdorff-Besicovitch - ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
- El conjunto de Mendelbrot
- Fractales aleatorios
7.1 El movimiento browniano
7.2 Modelando sistemas montañosos
7.3 El juego del caos - Conclusión
- Bibliografía
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1. Introducción
Históricamente, la matemática ha utilizado la geometría de Euclides para describir las formas que nos rodean … la Tierra una esfera, una carretera una recta, etc. Pero la mayoría de estructuras presentan irregularidades que no pueden abordarse mediante la geometría clásica, por ejemplo las ramificaciones de los árboles, el sistema circulatorio o a frontera entre dos países.
El nacimiento de los fractales se sitúa a finales del s.XIX y principios del XX. Su aparición fue motivada por el análisis matemático, tratando de encontrar ejemplos de situaciones paradójicas, como la función de Weierstrass, continua pero no derivable. El polímata francés Poincaré llamó a este grupo de objetos “la galería de los monstruos”.
Se considera al matemático e ingeniero polaco nacionalizado francés y estadounidense Benoît Mandelbrot como el padre de los fractales. Fue el responsable del auge de la geometría fractal. En 1967 publicó un artículo llamado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Que llamó la atención de la comunidad científica. En 1975 acuñó el término fractal, del latín fractus, quebrado o fracturado. En 1982 escribió su obra cumbre: ”La Geometría fractal de la Naturaleza”.
Retomó los antiguos trabajos de los matemáticos franceses Julia y Fatou sobre funciones iteradas con números complejos y, con ayuda de ordenadores, fue capaz de visualizar y resolver un problema abierto durante años: la convergencia de estos procesos.
David Crespo Casteleiro escribe en un reciente artículo sobre la vida de Mandelbrot: “Fue un arquitecto que supo construir una soberbia catedral, usando viejas piedras abandonadas en una cantera, permitiendo que objetos inconexos e informes, dieran paso a bellas estructuras, donde todos los cultos están permitidos.
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2. Fractales clásicos o “la galería de los monstruos”
En este apartado se presentan una serie de objetos que escapan a la intuición.
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2.1 El conjunto de Cantor
Fue presentado por el matemático ruso George Cantor en 1889.
Consiste en un segmento, que podemos suponer de longitud 1 sin pérdida de generalidad. En la primera iteración se elimina el tercio central, un intervalo abierto (1/3 , 2/3), quedando dos segmentos de un tercio de la longitud inicial, y se va repitiendo el proceso en sucesivas iteraciones.
GRÁFICO
El conjunto es no vacío y la longitud de los segmentos en el paso i, es una progresión geométrica con a0 = 1, a2=2/3, a3=(2/3)2, …an = (2/3)n, que tiende a cero (medida nula)
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2.2 La curva y la isla de Koch
Este objeto fue presentado por el matemático sueco Niels Koch en 1904, como un ejemplo de una curva que es continua pero que no admite tangente en ninguno de sus puntos. Para su construcción, se elimina el tercio central de un segmento que suponemos de longitud 1 y se sustituye por dos segmentos iguales al eliminado y formando con él 60º. Repitiendo el proceso aparece la curva de Koch.
GRÁFICO
Si juntamos tres curvas de Koch formando un triángulo equilátero, obtenemos una isla de Koch:
GRÁFICO
Vamos a estudiar las propiedades de este objeto, que lo convierten en una idealización del concepto de isla.
Denotamos por P sub i al perímetro en la iteración i, entonces tenemos que :
P sub 0 = 3, P sub 1 = 3 x 4 x 1/3 = 3 x 4/3, P sub 2 = 12 x 4 x (1/3)^2 = 3 x (4/3)^2 … P sub n = 3 x (4/3)^n y lím de P sub n = inf
La isla tiene perímetro infinito
Calcularemos ahora su área …
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2.3 La alfombra de Sierpinski
El matemático polaco Waclaw Sierpinski influyó para que la familia de Mandelbrot emigrara a Francia en 1920, lo que les evitó las peores consecuencias de la Segunda Guerra Mundial puesto que eran de confesión judía.
Sierpinski presentó este objeto fractal en el año 1916. Es una generalización del conjunto de Cantor a dos dimensiones. Se construye partiendo de un cuadrado que se divide en 9 cuadrados iguales de lado un tercio del inicial y se suprime el central. Se va repitiendo el proceso indefinidamente en cada uno de los restantes cuadrados.
GRÁFICO
Denotamos por P su i, …
CÁLCULO = › El perímetro es infinito
Denotamos por A sub i, …
CÁLCULO =› El área es nula
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2.4 La curva de Peano
Este objeto fractal fue descrito en 1890 por el matemático italiano Giuseppe Peano.
Es un objeto capaz de rellenar un plano (dimensión 2) con una línea poligonal (dimensión 1).
Parte de un cuadrado de lado 1 que se divide en otros nueve cuadrados iguales. Se unen los centros de los cuadrados comenzando por el situado en la esquina inferior izquierda. Se repite el proceso de forma indefinida.
GRÁFICO
Una de las actuales utilidades de las curvas de relleno es el tratamiento de imágenes y su compresión como el JPG.
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2.5 El árbol pitagórico
Presentado por el matemático de Países Bajos Albert Bosman en 1942.
Se construye partiendo de un cuadrado, sobre el que se disponen otros dos de lado “raíz de 2 / 2” formando un triángulo rectángulo isósceles en la configuración tradicional utilizada para presentar el teorema de Pitágoras.
GRÁFICO
Actualmente, non está resuelto el cálculo del área porque a partir de una determinada iteración, los cuadrados se solapan.
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2.6 La esponja de Menger
Este objeto fractal fue presentado por el matemático austriaco Karl Menger en 1926. Supone una generalización a dimensión 3 del conjunto de Cantor. Se construye partiendo de un cubo de lado 1 que se divide, en la primera iteración en 27 cubos iguales de lado un tercio del anterior y se eliminan los cubos centrales de cada cara y el central.
GRÁFICO
Denotando por V sub i al Volumen de la primera iteración …
CÁLCULO
El volumen de la alfombra es nulo
Se puede calcular también su área, que es infinita
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3. Definición de fractal y clasificación
1ªDefinición de Mandelbrot: objetos cuya dimensión topológica es menor que su dimensión fractal. No todos los objetos descritos en el apartado dos encajan en esta definición. Actualmente no hay consenso en cómo definirlos -›
Def.1 Mandelbrot: un fractal es un objeto que presenta la misma forma a diferentes escalas. Definición no del gusto de los matemáticos -›
ha de ser acotada
Def.2 Autosimilitud. Un objeto presenta autosimilitud si su forma esta hecha de copias más pequeñas.
Clasificación. Las formas más habituales de definir los fractales son:
Según autosimilitud:
A. AUTOSIMILITUD EXACTA: El fractal es idéntico a distintas escalas. Conjunto de Cantor y triángulo de Sierpinski.
B. CUASIAUTOSIMILITUD: El fractal es aproximadamente igual a distintas escalas. Conjunto de Mandelbrot, Curva de Peano.
C. AUTOSIMILITUD ESTADÍSTICA: Es el tipo más débil de autosimilitud y exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se presenten con el cambio de escala. Fractales aleatorios.
Según linealidad:
A. FRACTALES LINEALES
Son fractales que se construyen con un cambio de escala. Conjunto de Cantor o isla de Koch
B. FRACTALES NO LINEALES
Presentan una estructura similar pero no idéntica. Conjunto de Mandelbrot
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4. Hacia una definición de dimensión
Al igual que ocurre con la definición de fractal, no hay una única definición de dimensión.
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4.1 La dimensión de homotecia
Consideramos un segmento (dimensión 1) y lo dividimos en dos partes iguales. La razón de semejanza será 1/2. Entonces se tiene que:
2=(1/ 1/2)ˆ1
Procedemos de manera similar con un cuadrado (dimensión 2), que lo dividimos en nueve trozos iguales:
9=(1/ 1/3)ˆ2
Repitiendo el proceso con un cubo (dimensión 3), lo dividimos en 64 cubos de lado una cuarta parte del primitivo :
63=(1/ 1/4)ˆ3
INDUCIENDO EL RESULTADO: descomponemos un objeto de dimensión D en otras N figuras iguales con razón de semejanza r:
N=(1/ 1/r)ˆD
Tomando logaritmos, podemos despejar D=LogN/Log(1/r)
D se conoce como la dimensión de Homotecia.
EJEMPLOS
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4.2 La dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Mandelbrot recuperó los trabajos de Hausdorff y Besicovitch que habían quedado olvidados por falta de interés de la comunidad científica dada su falta de aplicabilidad y los usó para cuantificar la irregularidad de los objetos fractales. Actualmente es la dimensión más utilizada y coincide con la dimensión de homotecia cuando ésta tiene sentido. Su cálculo es más tedioso y hay objetos para los que no se ha podido encontrar tal dimensión.
Se llama dimensión de Hausdorff-Besicovitch, y se denota Dhb, de un conjunto AcRn, al número real D (si existe) tal que: Lím etc … es finito y no nulo, siendo épsilon el recubrimiento de A y D el tamaño de nivel de A.
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5. ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
El polímata inglés Richardson trató de cuantificar la probabilidad de que dos países vecinos entraran en guerra en función de la cantidad de frontera que compartían. Descubrió grandes discrepancias entre los datos que aportaban los diferentes países sobra la longitud de la frontera, por ejemplo, Portugal cuantifica la frontera con España en 1200 Km, mientras que España la cuantifica en 1000. La explicación estaba en tamaño de los planos utilizados. …
A menor unidad de medidas, mayor será la longitud obtenida. R. Demostró que este efecto crece indefinidamente y llamó a este efecto, el efecto Richardson.
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6. El conjunto de Mandelbrot
Julia y Fatou trataron de dar respuesta a una cuestión formulada por Carley para resolver la ecuación z^3 - 1 = 0 en el conjunto de los números complejos. Aunque se puede resolver de forma analítica, Carley proponía resolverla por el método numérico de Newton, para el que las raíces son solución de la ecuación Zn+1=Zn^2 + C.
Esta ecuación es recurrente. Para calcular un valor, necesitamos el anterior. De forma independiente, Julia y Fatou realizaron grandes avances, pero fue Mandelbrot el que en la década de los 80 y con la ayuda de ordenadores para visualizar la soluciones alcanzó mayor trascendencia.
Concepto de función recurrente:
tomamos un número z sub 0, lo elevamos al cuadrado y le sumamos un valor constante C.
Para z sub 0 = 0 y C = 1, -› z1= … z4= …
Al conjunto de números obtenido se le llama ÓRBITA DE ITERACIÓN y el valor al que se aproxima se llama ATRACTOR. En el ejemplo anterior, el atractor es infinito.
Para z sub 0 = 0,1 y C = 0,1 -› z1= … z4= …
En este caso el atractor es 0,1127
Sin embargo, los trabajos de Julia y Fatou estaban referidos a números complejos, que no están como los reales, ordenados y para observar su comportamiento hay que hacerlo mediante su representación gráfica en el plano.
Dada la función Zn+1 = Zn + C, con z sub 0 y C € Complejos, se llama:
CONJUNTO DE PUNTOS DE ESCAPE -› Ec = {…}
CONJUNTO DE PUNTOS PRISIONEROS -› Pc = {…}
CONJUNTO DE JULIA ASOCIADO:-› Jc. Es el conjunto de puntos frontera del conjunto de puntos prisioneros
Ahora, si en algún momento el módulo del valor obtenido supera 2, pertenecerá a los puntos de escape y no será necesario seguir calculando. GRÁFICO circunferencia de radio dos y los ejes real e imaginario.
Ahora, Julia y Fatou habían estudiado que para que un conjunto de Julia fuese conexo, bastaba con estudiar la órbita de la función:
Z0=(0,0)
Zn+1 = Zn^2 + C
Y determinar si es no acotada (atractor finito) o acotada (atractor infinito), en cuyo caso, Jc será conexo para cualquier valor inicial
Podemos definir el conjunto de Mandelbrot M como la colección de puntos del plano complejo para los que su correspondiente Jc es conexo: M={…}
Es decir, los valores del conjunto de Mandelbrot son aquellos que no divergen (o escapan) de la circunferencia de radio 2 en el plano complejo.
GRÁFICO
Si nos fijamos en su morfología, vemos que tiene un subconjunto de mayor tamaño en forma de cardioide y turón en forma de circunferencia, ambos rodeados de circunferencias más pequeñas y zonas filamentosas.
