Tema 36 Proporciones Notables Flashcards
Tema 36
1. Introducción
El Filósofo medieval Santo Tomás de Aquino afirmaba que los sentidos se deleitan con las cosas que tienen las proporciones correctas. En este tema se mostrarán las principales proporciones, prestando especial atención a la proporción áurea.
La teoría de las proporciones es una de las mas antiguas de la Matemática y una de las que más han contribuido al desarrollo de las misma. Basten dos ejemplos para mostrarlo:
- Euclides de Alejandría recopiló hacia el año 300 a. C. todo el saber matemático de su época en una obra en 13 volúmenes llamada Los Elementos. El quinto volumen está dedicado a las proporciones, siendo uno de los más celebrados. Sin embargo quiso dar un lugar destacado a la proporción áurea reservándole el sexto volumen.
- En la Antigua Grecia, se utilizaba en escultura y arquitectura frecuentemente una proporción que siglos más tarde, en el Renacimiento, paso a llamarse la proporción áurea o la “Divina Proporción”. (Luca Pacioli). El Partenón de Atenas es un marco incomparable en el que observar esta proporción. Su autor fue un escultor y arquitecto llamado Fidias (s. V a. C.) En su honor se denomina al número de oro con la letra griega (phi).
Íntimamente ligada al número de oro está la Sucesión de Fibonacci, que por sus propiedades y su presencia en la Naturaleza tiene en este tema un lugar destacado.
Finalmente, se mostrarán abundantes ejemplos de la presencia del número de oro en el Arte y la Ciencia.
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2. Proporcionalidad
Es uno de los conceptos más intuitivos y nos encontramos con él muy a menudo en nuestra vida cotidiana, por ejemplo en la relación sueldo-gasto o velocidad-espacio recorrido.
Definición 1: Llamamos proporción a la igualdad entre dos razones. Dados los números A, B, C y D. Estos formarán una proporción si A/B = C/D, y se lee “A es a B, como C es a D”. A los cocientes A/B = C/D = k se le llama razón de proporcionalidad
Definición 2: Dada la proporción A/B = C/D, llamamos extremos a los valores A y D y medios a los valores B y C.
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2.1 Proporcionalidad directa
Definición 3. Se dice que dos magnitudes están en proporción directa si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda igualmente multiplicada por ese número.
Ejemplo:
El radio (r) de una circunferencia y su longitud (L). 2·PI·(r·k) = 2·PI·r ·k = L·k
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2.2 Proporcionalidad inversa
Definición 4. Dos magnitudes están en proporción inversa si al dividir una de ellas por un número (no nulo), la otra que multiplicada por dicho número.
Ejemplo: La realización de un trabajo y la cantidad de personas adjudicados a la realización de esa tarea o el número de páginas de un libro que leo al día y los días que tardaré en acabar de leerlo.
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3. Proporciones notables
En este apartado nos restringiremos a proporciones geométricas.
Se utilizará sistemáticamente el Teorema de Tales, que dice que “ si un sistema de rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmento que se producen en una de las rectas secantes son proporcionales a sus homólogos en la otra recta secante”
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3.1 Cociente de segmentos
Dados dos segmentos de longitudes a y b, buscamos un tercer segmento X tal que a/b = x
Como podemos ver en la figura, las rectas r y s son paralelas, por lo que en virtud del Teorema de Tales, se cumple que a/b = x
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3.2 Segmento cuarto proporcional a otros tres dados
Dados tres segmentos de longitudes a, b y c, hallar un cuarto segmento de longitud x tal que
a/b = c/x.
Como puede apreciarse en la figura, las rectas r y s son paralelas, y por tanto, en virtud del Teorema de Tales podemos afirmar que a/b = c/x.
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3.3 Segmento tercero proporcional a otros dos dados
Dados dos segmentos de longitud a y b, buscamos otro segmento de longitud x tal que a/b = b/x.
Basta con sustituir en el apartado anterior b=c, para obtener el resultado buscado.
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3.4 Segmento medio proporcional a otros dos dados
Dados dos segmentos de longitud a y b, buscamos otro segmento de longitud x tal que
a/x = x/b => x^2=a·b
En este caso, para la construcción geométrica utilizaremos el Teorema de la altura, que dice que “el cuadrado de la altura construida sobre un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma”
(Se describe la construcciones de la figura y luego: “En virtud del Teorema de la altura …”
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3.5 Razón simple de tres puntos alineados
Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B, y C, y se denota (ABC), a la igualdad
(ABC) = AB/AC
Ejemplo: Hallar la razón simple de tres puntos tal que (ABC) = 3
(Se describe la gráfica y la igualdad AX/AY = AB/AC = 3/1 = 3
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3.6 Razón doble de cuatro puntos alineados. Cuaterna armónica
Se llama razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D, a la igualdad:
(ABCD) = (ACD) / (BCD) = …
Un caso particular es la cuaterna armónica, que es una razón doble de cuatro puntos cuyo valor es -1, es decir, (ABCD) = -1
Dados tres puntos alineados A, B y C, hallar un cuarto punto tal que (ABCD) = -1
(Describir construcción y demostrar por semejanza de triángulos)
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4. La proporción áurea
Intro
En este apartado vamos a dedicarle especial atención a esta proporción notable, cuyo cociente es un número irracional que denotaremos por (phi).
En su VI volumen de Los Elementos, Euclides definió la proporción áurea como el segmento dividido en media y extrema razón.
Definición 5 Un segmento se encuentra dividido en media y extrema razón cuando la longitud total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.
Algebraicamente, … (se dibuja el segmento, se plantea la igualdad y se resuelve, hasta llegar a las soluciones de la ecuación a^2 - a -1 = 0 )
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4.1 El número de oro
Definición 6: Se llama número de oro al número irracional que denotamos por
FI = uno más raíz de cinco partido por dos
3 PROPIEDADES
- Soluciones de la ecuación FI y la otra la obtenemos de resolver a^2 - a = 1 => -1/FI
- a^2 = a + 1 podemos obtener el valor del inverso 1/FI, que tiene las mismas cifras decimales.
- Potencias. Se puede observar que FI^2 tiene también las mismas infinitas cifras decimales.
Calculamos la serie de potencias hasta FI^5 y se observa que cada potencia es igual a la suma de las dos anteriores.
También vemos que los coeficientes de FI y los términos independientes del miembro de la derecha son los términos de la sucesión de Fibonacci que veremos en el apartado 4.3.
{Fn}={1,1,2,3,5,8,…} y esto nos sirve para expresar la potencia n-ésima de FI en función de los términos de la sucesión: FI^n = Fn·FI + Fn para cada n mayor o igual que 2.
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4.2 El pentágono y el pentágono estrellado
No todos los polígonos regulares se pueden construir con regla y compás. Esto motivó los tres problemas irresolubles de la Antigüedad:
- La cuadratura del círculo.
- La duplicación del cuadrado.
- La trisección del ángulo
Habría que esperar hasta el s. XIX para demostrar su irresolubilidad, que además, no vendría de la geometría sino de la resolución de ecuaciones algebraicas. El pentágono regular no se puede construir con regla y compás, pero el número de oro, aunque de manera indirecta nos permite esta construcción.
Teorema 7. La razón entre la diagonal del pentágono regular y su lado es FI.
Demostración: Véase la figura, se pretende demostrar que y/x = FI.
alfa + 2·beta = 180º
Al quedar el pentágono inscrito en una circunferencia, el ángulo alfa es inscrito y por tanto su amplitud es la mitad de su ángulo central correspondiente => 2·alfa = beta
De estas dos ecuaciones se obtiene que alfa = 36º y beta = 72º
Aplicamos el Teorema del seno y el Teorema del coseno, obtenemos un sistema de dos ecuaciones. Habrá que demostrar que
y/x = 2Cos36º = FI
Etc … continúa demostración
El Pentágono estrellado o pentalfa era el signo de los miembros de la Escuela Pitagórica. Vamos que el número de oro se manifiesta de forma rotulada en él.
Por semejanza de triángulos, tendremos que … etc
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4.3 La Sucesión de Fibonacci
Intro. biográfica:
Leonardo de Pisa, (Fibonacci) vivió entre los siglos XII y XIII. La posibilidad de viajar con su padre, comerciante por el norte de África le hizo entrar en contacto con la numeración indo-arábiga. E su libro publicado en 1202 Liber Abaci, defendía las ventajas de utilizar un sistema numérico posicional, en lugar de uno aditivo como era el romano, imperante en Europa en esa época. Tuvo gran influencia pues en que en Europa empezara a utilizarse el sistema actual de numeración. El problema más famoso de Liber abaci es el de los conejos, que calcula la cantidad de conejos que habría a final de año partiendo de una pareja y determinadas condiciones: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89, 144. Está sucesión se conoce con el nombre de
Sucesión de Fibonacci (en lo sucesivo {Fn}):
F1=1
F2=1
Fn+2 = Fn+1 + Fn, para cada n >= 0
Propiedad 1: Potencia n-ésima de FI
FI^n = Fn·FI + Fn para cada n>=2
Propiedad 2: Término general de la sucesión de Fibonacci
Para obtener la expresión del término general de la sucesión, basta con resolver la ecuación en diferencias lineal y homogénea Fn-2 = Fn-1 + Fn.
La ecuación característica asociada nos proporciona el sistema fundamental de soluciones. (Resolver la ecuación de marras para la obtener la expresión)
Fn = A·FI^n + B·(-1/FI)^n
Imponiendo las condiciones iniciales, obtenemos el sistema de 2 ecuaciones lineales: etc
Propiedad 3: Expresión de la sucesión {Fn+1/Fn}
Vemos que la sucesión {Fn} tiende a FI, entonces Lim Fn+1/Fn etc
