Tema 37 Semejanza Y RT Flashcards
Tema 37
ÍNDICE
TEMA 37 RELACIÓN DE SEMEJANZA EN EL PLANO. TEOREMA DE TALES. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
- Introducción
- Relaciones de semejanza en el plano
2.1 Proporcionalidad de segmentos. DEF.1 + DEF.2 + LEMA 3 + TEO.4 + COROL.5
2.2 Semejanza de triángulos. DEF.6 + Criterios y consec.+Consecuencias de la semejanza de triángulos: TªAltura + TªCateto+TªPitágoras
2.3 Semejanza de Polígonos. DEF.7
2.4 Homotecia en el plano. DEF.8 + TEO.9
2.5 Semejanza en el plano. DEF. 10
- Teorema de Tales. Aplicaciones. TEO.11 + TEO.12 + TEO.13
- Razones trigonométricas. DEF.14
4.1 Relaciones entre razones trigonométricas de un ángulo agudo
4.2 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
4.3 Relación entre un ángulo y otro del primer cuadrante
- Conclusiones
- Bibliografía
Tema 37
2. Relación de semejanza en el plano
Introducimos en este apartado conceptos y resultados necesarios para el desarrollo de la semejanza y del Teorema de Tales
Tema 37
2.1 Proporcionalidad de segmentos
DEF.1 Razón de dos segmentos -› Razón de sus valores numéricos
DEF.2 Dos segmentos de longitudes a y b son proporcionales a otros dos segmentos de longitudes c y d si a/b =c/d (proporción directa) o si a/b = d/c (proporción inversa). a y d-› extremos y b y c -› medios.
LEMA 3 a1/b1=a2/b2= …, entonces:
Demostración: procederemos por inducción sobre el natural n, e introduciremos la notación a1/b1=a2/b2=… = r
TEOREMA 4. -› FIGURA. Si dos rectas r y s son cortadas por un sistema de rectas paralelas …
Demostración: si r = s, si r // s y si r y s secantes
COROLARIO 5. Para dividir un segmento AB en n partes iguales trazamos otro segmento AB’ de valor numérico n y trazamos las n-1 divisiones iguales de AB’ paralelas a BB’
Tema 37
2.2 Semejanza de triángulos
DEF.6. Dos triángulos son semejantes si … ángulos iguales y lados proporcionales. r es la razón de semejanza. Si r=1 triángulos iguales, si r › 1, el segundo triángulo es reducción del primero y viceversa
Criterios de semejanza de triángulos: 1,2,3 y consecuencias: 1,2,3,4,5
Consecuencias de la semejanza de triángulos RECTÁNGULOS: TªAltura, TªCateto y TªPitágoras
Razón de perímetros y áreas:
Dados dos triángulos semejantes ABC y A’B’C’, por el lema 3, … P/P’ = r
A/A’ = …= AB/A’B’ x h/h’ = rxr
Tema 37
2.3 Polígonos semejantes
En los triángulos, el tener los ángulos iguales implica que sus lados son proporcionales. Esto no ocurre a así en el resto de polígonos, por ej. cuadrado y rectángulo.
DEF.7 Dos polígonos con el mismo número de vértices, diremos que son semejantes, si tienen los mismos ángulos (ángulos homólogos) y los lados que unen ángulos homólogos son proporcionales. Razón entre lados homólogos -› razón de semejanza de los polígonos.
Consecuencias:
La razón de los perímetros es la razón de semejanza
La razón de las áreas es la razón de semejanza al cuadrado
Dos polígonos son semejante sii pueden descomponerse en triángulos semejantes semejantemente dispuestos
Tema 37
2.4 La Homotecia en el plano
DEF.8 Sea un punto O y k un número real distinto de cero, llamaremos homotecia de centro en O y razón k, y la notaremos por Ho,k, a la aplicación del plano en sí mismo, tal que a un punto A le hace corresponder un punto A’, de tal forma que OA’ = kOA. El punto A’ es homotético a A y se escribe Ho,k(A)= A’
Dependiendo de k tendremos distintos tipos de homotecias:
K›0 H.Directa
K‹0 H.Inversa
K=1 H.Identidad
K= -1 La homotecia es una simetría central de centro en O
Teorema 9 (FIGURA). En dos figuras homotéticas, los lados homólogos son paralelos y su razón es igual a la razón de homotecia en valor absoluto.
Demostración. Sea una homotecia Ho,k con Ho,k(A) = A’ y Ho,k(B) = B’
Por semejanza se demuestra que AB y A’B’ son paralelos y que su razón es k
Consecuencias: LA FIGURA HOMOTÉTICA DE …
… un vector, …
… un ángulo, …
… un triángulo, …
… un polígono, …
… una circunferencia, …
Tema 37
2.5 Semejanza en el plano
DEF.10. La semejanza en el plano es cualquier aplicación del plano en sí mismo, que se puede descomponer en el producto de una homotecia y un movimiento o viceversa. Mov. Directo -› homotecia directa. Mov. Inverso -› homotecia inversa.
Las homotecias conservan ángulos y lados proporcionales, la semejanza atiende solo a la forma, sin tener en cuenta la posición.
Consecuencias:
-Segmentos homólogos son proporcionales
- … transforma puntos alineados en puntos alineados sin alterar el orden, es decir, transforma rectas en rectas
- … transforma ángulos otros iguales y mismo sentido (semejanza directa) o contrario (semejanza inversa)
- La razón de semejanza es la razón de homotecia.
- Las semejanzas tienen estructura de grupo.
Tema 37
3.Teorema de Tales. Aplicaciones
TEOREMA 11 (de Tales). Si dos rectas r,s se cortan por un sistemas de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre r, son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes sobre s.
Demostración (FIGURA) comparando áreas de los triángulos …
TEOREMA 12 (segmentos proporcionales producidos por un haz de rectas). Las recatas de un haz cortan a dos rectas en segmentos proporcionales.
Demostración (FIGURA). Se demuestra por semejanza de triángulos
TEOREMA 13 (recíproco del anterior)
Demostración. (FIGURA).
APLICACIONES
Construcción del cuarto proporcional. Dados tres segmentos de longitudes a,b y c, buscamos un cuarto segmento de longitud x, tal que a/b = c/x. En virtud del teorema de Tales y según se muestra en la figura adjunta …
División de un segmento en partes proporcionales a otros segmentos dados.
Dado el segmento AB, trazamos sobre la semirrecta AC los segmentos dados. Uniendo CB y trazando paralelas a CB por los puntos marcados (ver figura) obtenemos la división de AB en partes proporcionales.
Cálculo de la altura de un objeto que proyecta sombra
Herodoto real cómo tales calculó la altura de la Gran pirámide de Keops.
Tema 37
4. Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas son invariantes que no dependen de las longitudes de los lados, sino del valor del ángulo ALFA. (ver figura). Usando la terminología de los triángulos rectángulos, OA,OB y AB son, respectivamente, cateto contiguo, hipotenusa y cateto opuesto.
Definición 14. Consideremos el triángulo de la figura, se llaman razones trigonométricas a las siguientes 6 cantidades:
Tema 37
4.1 Relación entre razones trigonométricas de un ángulo agudo
Podemos establecer las siguientes relaciones:
Tangente de alfa = …
Razones inversas …
Fórmula fundamental de la Trigonometría
FFT dividiendo todo por cos2alfa
FFT dividiendo todo por sen2alfa
Tema 37
4.2 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Figura: circunferencia goniométrica
Sen alfa = y etc
Tabla de variación del signo de las RT en función del cuadrante
Tema 37
4.3 Relación entre un ángulo y otro del primer cuadrante
RECUERDA PONER AL FINAL -› Consideradas las razones trigonométricas como funciones reales de variable real, el coseno es par y el seno y la tangente son impares.
SIGUE ESTA ESTRUCTURA PARA LOS DISTINTOS CASOS.
“Consideremos dos ángulos α y β tales que α + β = π/2. Entonces:
…
Haciendo β = π/2 - α, tenemos que:
…”
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que difieren en 180º
Ángulos que suman una vuelta
Ángulos de más de una vuelta
Ángulos opuestos
Tema 37
5. Conclusión
- El concepto de semejanza es uno de los más intuitivos de las Matemáticas y está presente en multitud de situaciones cotidianas y de forma repetitiva en la Naturaleza y el comportamiento fractal del crecimiento de algunas plantas.
- Teorema de Tales … herramienta fundamental para resolver triángulos sin uso de coordenadas
- Trigonometría … clave en ciencias como la Topografía, la Cinemática y otras disciplinas técnicas
- En cuanto a la relación del tema con el currículo y en virtud de lo establecido en la Orden …
1º - 4º ESO:
Bloque A. Sentido numérico: Razonamiento proporcional
Bloque C. Sentido espacial: Figuras geométricas de dos y tres dimensiones
Bachillerato:
Bloque B. Sentido de la medida: Medición. Cambio
Bloque C. Sentido espacial: Formas geométricas de dos dimensiones (MAT.I) dos y tres dimensiones (MAT.II)
Bloque D. Sentido algebraico: Relaciones y funciones
Mediante el uso de actividades, podrán incorporarse los contenidos del tema relacionados con saberes básicos a situaciones de aprendizaje.
Tema 37
6. Bibliografía
Burgos, J.: Álgebra y Geometría
Burgos, J.: Álgebra y Trigonometría
Puig Adam, P.: Curso de Geometría Métrica
Stewart, I: Historia de las Matemáticas
Tema 37
1. Introducción
- El filósofo medieval Santo Tomás de Aquino …. El lenguaje matemático de la belleza está escrito en términos de proporciones y semejanzas, conceptos muy ligados a este tema.
- Antigua Grecia y Mesopotamia … proporciones y semejanza aplicadas no solo a Geometría sino también a las Artes.
- Tales de Mileto s.VI a.C. … Escuela de Mileto … Anaxímedes y Anaximandres. Teorema epónimo -› uno de los siete sabios
- Euclides
- Por último, hablaremos de las razones trigonométricas de un ángulo, esos invariantes que nos permiten resolver triángulos y que tan buena acogida tienen en todos los campos de la ciencia.
