TD 4 - Régression simple : propriétés des MCO, intervalles de confiance dans le modèle gaussien

Question 1

3 Hypothèses de base des résidus

Answer 1

▫️E(Ƹn) = 0 ∀n
▫️V(Ƹn) = σ² ∀n
▫️Cov(Ƹn,Ƹm) = 0 si n≠m

Question 2

V emp ^b

Answer 2

σ² / NVemp (x)

Question 3

V emp â

Answer 3

(σ² / NVemp (x)) x 1/N x ∑xn²

Question 4

Si “V emp (xn)” est très grande

Answer 4

“V emp ^b” et “V emp â” vont être très petites➾les estimateurs de MCO sont très précis.

On préfère des “V emp ^b” et “V emp â” petits !

Question 5

Si “V emp ^b” et “V emp â” sont très grandes

Answer 5

“V emp (xn)” est très petite

Question 6

Pourquoi dit-on qu’il faut “suffisamment de variabilité dans les données” ?

Answer 6

Suffisamment de variabilité : V emp (xn) grande et donc des estimateurs des MCO précis.

Question 7

Que se passe-t-il si tous les xn ont la même valeur ?

Answer 7

Si tous les xn ont la même valeur→cas extrême où V emp (x) = 0→MCO de variance ∞→absence de précision
→Les 2 colonnes de la matrice seraient colinéaires➾on dit que les paramètres ne sont pas identifiables.

Question 8

Paramètres ne sont pas identifiables ?

Answer 8

Signifie que les 2 colonnes sont colinéaires. Les xn ont tous la même valeur (Vemp(xn) = 0) et la variance des MCO est ∞.

Question 9

SCT

Answer 9

Somme des carrés totale ou variabilité totale de yt

SCT = ∑ (yn - Ÿ)²

Question 10

SCE

Answer 10

Somme des carrés expliquée ou variabilité expliquée par ŷt

SCE = ∑ (^yn - ^Ÿ)²

Question 11

SCR

Answer 11

Somme des carrés des résidus ou variabilité des résidus.

SCR = ∑^Ƹn²

Question 12

Calculer ^σ²

à partir de la formule de σ² et R²

Answer 12

▫️^σ² = SCR/(N-2) = 1/(N-2) x ∑^Ƹn² 
▫️R² = 1 - (SCR/SST)

On isole SCR dans R²→SCR = SCT(1-R²) = N x Var emp (y) x (1-R²)
On injecte le SCR dans l’équation de ^σ²
On remplace par les valeurs.

Question 13

IC à 95% pour le paramètre b

Answer 13

3 Choses à expliciter :
▫️^b↝N(b,σ²/NxVemp(x))
▫️(N-2)^σ²/σ²↝