TD 1 - Révisions de statistiques

Question 1

Estimateur (Ô) sans biais

Answer 1

E(Ô) = O

O≠0

Question 2

Estimateur convergent

Answer 2

Sans biais

lim n+∞ V(Ô) = 0

Question 3

Estimateur efficace

Answer 3

La variance de l’estimateur le plus efficace est plus faible

Question 4

Loi que suit l’estimateur (Ô) s’il est la suite de lois normales

Answer 4

Loi normale

Question 5

Estimateur (^σ²) de σ² (variance)

Answer 5

^σ² = ∑ (Xn-Ⓧ) / N-1

Avec Ⓧ : x barre

Question 6

Loi de l’estimateur ^σ²

Answer 6

Loi Khi-deux

(N-1)^σ²/σ²↝X²(N-1)

X ici≠X (c’est le X de la loi Khi-deux)

Question 7

Construire le test de l’hypothèse H0 : m=5 contre H1 : m≠5 au niveau de 5%.

Answer 7

1️⃣ Déterminer une zone de rejet.
On la note W = {⎜ Ô-O⎟> K }
→On rejette Ho si Ô est trop loin de la moyenne

2️⃣ Pour effectuer le test, il faut le modifier de façon à obtenir une statistique de test dont la loi sous H0 est connue.
Or Ô↝N(m,σ²/N)

3️⃣ On centre et réduit Ô↝N(m,σ²/N)

4️⃣ De plus,
▫️(N-1)^σ²/σ²↝X²(N-1) L’estimateur de la variance suit une loi Khi-deux
▫️^σ² et Ô sont indépendants
On peut donc écrire la loi de Student x/(y/N)
(Avec x qui suit une loi normale, y qui suit une loi khi deux et N)

5️⃣ On calcule la loi de Student x/(y/N)
⚠️ Mais avec N-1

6️⃣ Le résultat trouvé est utilisé dans la zone de rejet (zone critique)
On avait : W = {⎜ Ô-O⎟> K }
On a : W = {⎜ Ô-5⎟x (√N/ ^σ) > k }
⚠️ Le résultat trouvé avec la loi de student n’avait pas de valeurs absolues mais on les a ici.

7️⃣ On détermine k pour que le test soit de niveau α