Suites Flashcards
Etape 1 de la récurrence expliquée
Démontrer Pn
1. Initialisation
Pn pour n=0
Etape 2 de la récurrence expliquée
- Hérédité
Soit n ∈ N
On suppose Pn vraie (H.R)
Montrons que Pn+1 vraie
Inégalité = Hypothèse
Egalité = Enoncé
Etape 3 de la récurrence expliquée
- Conclusion
D’après le principe de récurrence, ∀n ∈ N, Pn est vraie.
Lim n→+∞(n^k)
+∞
Lim n→+∞(e^n)
+∞
Lim n→+∞(1/n^k)
0
Lim n→+∞(1/√n)
0
Lim n→+∞(1/e^n)
0
Lim n→+∞(√n)
+∞
Les F.I
+∞-∞ ; ∞/∞ ; 0/0 ; 0 × ∞
Lim n→+∞(-1× +∞)
-∞
Lim n→+∞(1× +∞)
+ ∞
Lim n→+∞(-∞ × +∞)
-∞
Lim n→+∞(-∞ × -∞)
+∞
Lim n→+∞(6/-e^n)
0
Lim n→+∞(n^2/0+)
+∞
Comment déterminer la limite d’un quotient entre 0 et un infini
0/∞ = 0
∞/0 = ∞
On suit la règle des signes.
Forme par récurrence suite arithmétique
Un+1 = Un+r
Forme par récurrence suite géometrique
Un+1 = q×Un
Terme géneral / Forme explicite suite arithmétique
Un= Up + (n-p)r
Terme géneral / Forme explicite suite géometrique
Un = Up × q^(n-p)
Monotonie d’une suite arithmétique
r >0, croissante
r< 0, décroissante
r =0, constante
Somme des termes d’une suite arithmétique
n(n+1)/2
Somme des termes d’une suite géometrique
1− q^n+1/1− q
Lim n→+∞(q^n)
q ≤ −1= pas de limite
−1 < q < 1= 0
q = 1 = 1
q > 1=+∞
Théorèmes de comparaison
- Si, à partir d’un certain rang, Un ≤ Vn
et Lim n→+∞(Un)= +∞
Alors Lim n→+∞ (Vn) = +∞ . - Si, à partir d’un certain rang, Un ≥ Vn
et Lim n→+∞(Un) = −∞
Alors Lim n→+∞(Vn) = −∞ .
Encadrement de sin (n)
-1≤ sin(n)≤1
Théorème d’encadrement (théorème des gendarmes) :
Si, à partir d’un certain rang, Un ≤ Vn ≤ Wn et Lim n→+∞ (Un) = Lim n→+∞ (Wn) = L
Alors Lim n→+∞ (Vn) = L .
Un majorée
∃ M ∈ R; ∀ n, Un ≤ M .
Un minorée
∃ m ∈ R; ∀ n, Un ≥ m .
Un bornée
Si elle est à la fois majorée et minorée.
Théorème de convergence monotone
- Si Un croissante et majorée, elle converge. Si non majorée elle diverge vers +∞.
- Si Un décroissante et minorée, elle converge.
Si non minorée elle diverge vers −∞.
Déterminer les variations.
Un ≤ ≥Un+1
Suite arithmético-géometrique
Un+1 = aUn+b
