Géometrie dans l'espace

Question 1

4 définitions d’un plan

Answer 1

1. 3 points non alignés
2. Une droite et un point
3. Deux droites sécantes
4. Deux droites strictement parallèles

Question 2

Position relative de deux droites

Answer 2

1. Coplanaires
   - Sécantes
   Intersection = un point.
   Parallèles :
   - Strictement parallèles
   Pas d’intersection
   - Confondues
   Intersection = R
2. Non coplanaires
   Pas d’intersection

Question 3

Position relative de plan et droite D

Answer 3

1. Parallèles
   - Strictement parallèles
   Pas d’intersection.
   - Droite incluse dans le plan
   Intersection = toute la droite 𝐷
2. Sécants
   Intersection = un point.

Question 4

Position relative de deux plans

Answer 4

1. Parallèles
   - Strictement parallèles
   Pas d’intersection
   - Confondus
   Intersection = R
2. Sécants
   Intersection = Une droite

Question 5

Quand est ce qu’une droite parallèle à un plan

Answer 5

Si une droite est parallèle à une droite d’un plan elle est parallèle à ce plan

Question 6

Théorème du “toit”

Answer 6

Si deux droites d et d’ sont parallèles, avec :
- un plan P contienne la droite d,
- un plan P’ contienne la droite d’,
- les plans P et P’ sont sécants suivant une droite ∆,
alors ∆ est parallèle aux droites d et d’.

Question 7

Théorème des plans parallèles 1 :

Answer 7

Si un plan contient deux droites sécantes qui sont parallèles à un autre plan, alors les deux
plans sont parallèles

Question 8

Théorème des plans parallèles 2 :

Answer 8

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et leurs intersections sont deux droites parallèles.

Question 9

Calcul produit scalaire

Answer 9

1. u.v= x1x2+y1y2+z1z2
2. u.v = ∥ u∥ *∥v∥ * cos(x)
3. u.v = 1/2 (∥u+v∥^2-∥u∥^2-∥v∥^2)

Question 10

Qu’est-ce que la coplanarité de trois vecteurs ?

Answer 10

Trois vecteurs
𝑢, 𝑣 et 𝑤 sont coplanaires s’il existe deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que :
𝑤 = 𝛼𝑢+𝛽𝑣

Question 11

Qu’est-ce qu’un repère de l’espace ?

Answer 11

Un point 𝑂 et trois vecteurs non coplanaires 𝑖,𝑗,𝑘.
On a 𝑀(𝑥;𝑦;𝑧);
tel que : 𝑂𝑀=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘

Question 12

Comment caractériser une droite dans l’espace ?

Answer 12

1. Caractérisation vectorielle :
   Une droite 𝐷 passant par 𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴,𝑧𝐴) avec un vecteur directeur 𝑢=(𝑎,𝑏,𝑐)
   est définie par :
   𝑀∈𝐷 ⟺𝐴𝑀=𝜆𝑢, 𝜆 ∈ 𝑅
2. Équations paramétriques :
   {𝑥=𝑥𝐴+𝜆𝑎
   {𝑦=𝑦𝐴+𝜆𝑏
   {𝑧=𝑧𝐴+𝜆𝑐

Question 13

Comment caractériser un plan dans l’espace ?

Answer 13

1. Caractérisation vectorielle :
   Un plan P contenant un point 𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴,𝑧𝐴) et deux vecteurs non colinéaires 𝑢 et v définis par :
   𝑀∈ P⟺𝐴𝑀=𝜆𝑢+ μv, 𝜆,μ ∈ 𝑅
2. Equation cartésienne :
   Vecteur normal( a; b;c)
   ax+by+cz+d=0