Successioni

Question 1

Definizione successione reale

Answer 1

Si definisce successione reale una funzione reale definita sull’insieme N dei numeri naturali.

Question 2

Definizione definitivamente

Answer 2

Si dice che la successione {an} verifica definitivamente la proprietà P se tutti i suoi termini, fatta eccezione al più per un numero finito di essi, verificano la proprietà.

Question 3

Definizione successione definita per ricorrenza

Answer 3

Si definisce successione definita per ricorrenza le successioni definite nel seguente modo:

1. si assegna il valore iniziale a0
2. si assegna una legge di ricorrenza che permette di conoscere an+1 una volta definito an

Question 4

Successione in progressione aritmetica

Answer 4

La differenza tra ogni termine e il precedente è costante e si chiama ragione della progressione e si indica con d

an = a + nd

Question 5

Successione in progressione geometrica

Answer 5

Il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante

an = a * q^n

Question 6

Proprietà successioni (positiva, negativa costante)

Answer 6

• positiva se an > 0
• negativa se an < 0
• costante se an = c

Question 7

Proprietà successioni (limitata superiormente o inferiormente)

Answer 7

• limitata superiormente se esiste un K t.c. an <= K
• limitata inferiormente se esiste un H t.c. an >= H
• limitata se esiste un K t.c. | an | <= K

Question 8

Proprietà successioni (monotonia)

Answer 8

• monotona strettamente crescente se an < an+1
• monotona non decrescente se an <= an+1
• monotona strettamente decrescente se an > an+1
• monotona non crescente se an >= an+1

Question 9

Proprietà successioni (maggiorante e minorante)

Answer 9

• maggiorante di {bn} se an >= bn

- minorante di {bn} se an <= bn

Question 10

Definizione di convergenza e divergenza

Answer 10

Successioni regolari:
- Se lim an = l, la successione si dice convergente al limite l

• Se lim an = +∞, la successione si dice positivamente divergente
• Se lim an = -∞, la successione si dice negativamente divergente

Successione irregolare:
- Se una successione è tale che, pur non essendo ne’ divergente positivamente, ne’ negativamente, lim | an | = +∞, allora si scriverà brevemente lim an = ∞

Question 11

Definizione di limite

Answer 11

Si dice che la successione {an} ha limite finito l o ha limite infinito per n che tende a zero, se e solo se, comunque fissato un intorno del limite, la successione cade definitamente in tale intorno.

Question 12

Definizione limite per eccesso

Answer 12

Si dice che la successione {an} converge per eccesso al limite finito l appartenente a R se e solo se per ogni ε > 0, esiste n0 = n0(ε), appartenente ad N, t.c. l <= an < l + ε

Si scrive lim an = l+

Question 13

Definizione limite per difetto

Answer 13

Si dice che la successione {an} converge per difetto al limite finito l appartenente a R se e solo se per ogni ε > 0, esiste n0 = n0(ε), appartenente ad N, t.c. l - ε < an <= l

Si scrive lim an = l-

Question 14

Limite della successione armonica

Answer 14

lim 1/n = 0+

Question 15

Limite successione artimetica

Answer 15

lim a0 + nd =

1. +∞ se d > 0
2. -∞ se d < 0

Question 16

Limite successione geometrica

Answer 16

lim a0q^n =
1. q = 0 –> lim an = 0

2. 0 < q < 1 –> lim an = 0+
3. q = 1 –> lim an = 0+
4. q > 1 –> lim an = +∞
5. -1 < q < 1 –> lim an = 0
6. q = -1 –> lim an NON esiste
7. q < -1 –> lim an = ∞

Question 17

Teorema limitatezza successioni convergenti

Answer 17

• Se una successione è convergente, è limitata
• Una successione divergente a +∞, è limitata inferiormente
• Una successione divergente a -∞, è limitata superiormente

Question 18

Teorema permanenza del segno

Answer 18

Se una successione ha limite positivo finito o ∞, allora è definitivamente positiva

Question 19

Teorema del confronto

Answer 19

Si considerino tre successioni, {an}, {bn}, {cn}, t.c. an <= bn <= cn, allora:

1. se lim an = lim cn = l –> lim bn = l
2. se lim an = +∞ –> lim bn = +∞
3. se lim cn = -∞ –> lim bn = -∞

Question 20

Teorema esistenza del limite per successioni monotone

Answer 20

• Se {an} è monotona non decrescente allora lim an = sup {an : n appartenente a N}
• Se {an} è monotona non crescente allora lim an = inf {an : n appartenente a N}

Question 21

Definizione simbolo di Landau

Answer 21

Date due successione {an} e {bn}, con {bn} definitivamente non nulla, si dice che, per n che tende a ∞, an è asintotica a bn se e solo se, lim an / bn = 1

Question 22

Teorema del confronto asintotico

Answer 22

Date due successioni {an} e {bn}, se an è asintotica a bn, per n che tende a zero e se lim bn = l o ∞, allora lim an = l o ∞

Question 23

Teorema prodotti e quozienti

Answer 23

Nel calcolo di un limite si può sostituire in prodotti e quozienti ad una successione an, un’altra bn, asintotica ad an

Question 24

Definizione successione infinita e infinitesima

Answer 24

• Una successione {an} è infinita se lim an = ∞

- Una successione {an} è infinitesima se lim an = 0

Question 25

Criterio del rapporto e corollario + DIMOSTRAZIONE DA FARE

Answer 25

Sia an una successione definitivamente positiva:

1. se esiste un numero ro, compreso tra 0 e 1, t.c., valga definitivamente an+1/an <= ro, allora lim an = 0
2. se esiste un numero ro > 1, t.c., valga definitivamente an+1/an >= ro, allora lim an = ∞

COROLLARIO

• lim an+1/an = l < 1 –> lim an = 0
• lim an+1/an = l > 1 –> lim an = ∞

Question 26

Criterio della radice e corollario + DIMOSTRAZIONE DA FARE

Answer 26

Sia an una successione definitivamente non negativa:

1. se esiste un numero ro, compreso tra 0 e 1, t.c., valga definitivamente √an <= ro, allora lim an = 0
2. se esiste un numero ro > 1, t.c. valga definitivamente √an >= ro, allora lim an = ∞

COROLLARIO

• lim √an = l < 1 –> lim an = 0
• lim √an = l > 1 –> lim an = ∞

Question 27

Definizione lim an e bn infinite e infinitesime

Answer 27

Date {an} e {bn} infinite, lim an/bn =

1. 0 –> an infinito di ordine inferiore a bn
2. ∞ –> an infinito di ordine superiore a bn
3. l ≠ 0 –> an, bn infinite dello stesso ordine
4. non esiste –> an, bn infinite non comparabili

Date {an} e {bn} infinitesime, lim an/bn =

1. 0 –> an infinitesimo di ordine superiore a bn
2. ∞ –> an infinitesimo di ordine inferiore a bn
3. l ≠ 0 –> an, bn infiniteisme dello stesso ordine
4. non esiste –> an, bn infinitesime non comparabili

Question 28

Teorema del principio di eliminazione degli ∞ di ordine inferiore

Answer 28

Un limite della forma ∞/∞ può essere calcolato lasciando a numeratore e denominatore l’infinito di ordine superiore e trascurando gli infiniti di ordine inferiore

Question 29

Teorema CNES ∃ limite successione (Cauchy)

Answer 29

Una successione {an} è convergente se e solo se è verificata la seguente condizione di Cauchy:

per ogni ε > 0, esiste n0 = n0(ε) t.c. | am - an | < ε

Question 30

Limiti notevoli

Answer 30

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