Successioni Flashcards
Definizione successione reale
Si definisce successione reale una funzione reale definita sull’insieme N dei numeri naturali.
Definizione definitivamente
Si dice che la successione {an} verifica definitivamente la proprietà P se tutti i suoi termini, fatta eccezione al più per un numero finito di essi, verificano la proprietà.
Definizione successione definita per ricorrenza
Si definisce successione definita per ricorrenza le successioni definite nel seguente modo:
- si assegna il valore iniziale a0
- si assegna una legge di ricorrenza che permette di conoscere an+1 una volta definito an
Successione in progressione aritmetica
La differenza tra ogni termine e il precedente è costante e si chiama ragione della progressione e si indica con d
an = a + nd
Successione in progressione geometrica
Il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante
an = a * q^n
Proprietà successioni (positiva, negativa costante)
- positiva se an > 0
- negativa se an < 0
- costante se an = c
Proprietà successioni (limitata superiormente o inferiormente)
- limitata superiormente se esiste un K t.c. an <= K
- limitata inferiormente se esiste un H t.c. an >= H
- limitata se esiste un K t.c. | an | <= K
Proprietà successioni (monotonia)
- monotona strettamente crescente se an < an+1
- monotona non decrescente se an <= an+1
- monotona strettamente decrescente se an > an+1
- monotona non crescente se an >= an+1
Proprietà successioni (maggiorante e minorante)
- maggiorante di {bn} se an >= bn
- minorante di {bn} se an <= bn
Definizione di convergenza e divergenza
Successioni regolari:
- Se lim an = l, la successione si dice convergente al limite l
- Se lim an = +∞, la successione si dice positivamente divergente
- Se lim an = -∞, la successione si dice negativamente divergente
Successione irregolare:
- Se una successione è tale che, pur non essendo ne’ divergente positivamente, ne’ negativamente, lim | an | = +∞, allora si scriverà brevemente lim an = ∞
Definizione di limite
Si dice che la successione {an} ha limite finito l o ha limite infinito per n che tende a zero, se e solo se, comunque fissato un intorno del limite, la successione cade definitamente in tale intorno.
Definizione limite per eccesso
Si dice che la successione {an} converge per eccesso al limite finito l appartenente a R se e solo se per ogni ε > 0, esiste n0 = n0(ε), appartenente ad N, t.c. l <= an < l + ε
Si scrive lim an = l+
Definizione limite per difetto
Si dice che la successione {an} converge per difetto al limite finito l appartenente a R se e solo se per ogni ε > 0, esiste n0 = n0(ε), appartenente ad N, t.c. l - ε < an <= l
Si scrive lim an = l-
Limite della successione armonica
lim 1/n = 0+
Limite successione artimetica
lim a0 + nd =
- +∞ se d > 0
- -∞ se d < 0
Limite successione geometrica
lim a0q^n =
1. q = 0 –> lim an = 0
- 0 < q < 1 –> lim an = 0+
- q = 1 –> lim an = 0+
- q > 1 –> lim an = +∞
- -1 < q < 1 –> lim an = 0
- q = -1 –> lim an NON esiste
- q < -1 –> lim an = ∞
Teorema limitatezza successioni convergenti
- Se una successione è convergente, è limitata
- Una successione divergente a +∞, è limitata inferiormente
- Una successione divergente a -∞, è limitata superiormente
Teorema permanenza del segno
Se una successione ha limite positivo finito o ∞, allora è definitivamente positiva
Teorema del confronto
Si considerino tre successioni, {an}, {bn}, {cn}, t.c. an <= bn <= cn, allora:
- se lim an = lim cn = l –> lim bn = l
- se lim an = +∞ –> lim bn = +∞
- se lim cn = -∞ –> lim bn = -∞
Teorema esistenza del limite per successioni monotone
- Se {an} è monotona non decrescente allora lim an = sup {an : n appartenente a N}
- Se {an} è monotona non crescente allora lim an = inf {an : n appartenente a N}
Definizione simbolo di Landau
Date due successione {an} e {bn}, con {bn} definitivamente non nulla, si dice che, per n che tende a ∞, an è asintotica a bn se e solo se, lim an / bn = 1
Teorema del confronto asintotico
Date due successioni {an} e {bn}, se an è asintotica a bn, per n che tende a zero e se lim bn = l o ∞, allora lim an = l o ∞
Teorema prodotti e quozienti
Nel calcolo di un limite si può sostituire in prodotti e quozienti ad una successione an, un’altra bn, asintotica ad an
Definizione successione infinita e infinitesima
- Una successione {an} è infinita se lim an = ∞
- Una successione {an} è infinitesima se lim an = 0
Criterio del rapporto e corollario + DIMOSTRAZIONE DA FARE
Sia an una successione definitivamente positiva:
- se esiste un numero ro, compreso tra 0 e 1, t.c., valga definitivamente an+1/an <= ro, allora lim an = 0
- se esiste un numero ro > 1, t.c., valga definitivamente an+1/an >= ro, allora lim an = ∞
COROLLARIO
- lim an+1/an = l < 1 –> lim an = 0
- lim an+1/an = l > 1 –> lim an = ∞
Criterio della radice e corollario + DIMOSTRAZIONE DA FARE
Sia an una successione definitivamente non negativa:
- se esiste un numero ro, compreso tra 0 e 1, t.c., valga definitivamente √an <= ro, allora lim an = 0
- se esiste un numero ro > 1, t.c. valga definitivamente √an >= ro, allora lim an = ∞
COROLLARIO
- lim √an = l < 1 –> lim an = 0
- lim √an = l > 1 –> lim an = ∞
Definizione lim an e bn infinite e infinitesime
Date {an} e {bn} infinite, lim an/bn =
- 0 –> an infinito di ordine inferiore a bn
- ∞ –> an infinito di ordine superiore a bn
- l ≠ 0 –> an, bn infinite dello stesso ordine
- non esiste –> an, bn infinite non comparabili
Date {an} e {bn} infinitesime, lim an/bn =
- 0 –> an infinitesimo di ordine superiore a bn
- ∞ –> an infinitesimo di ordine inferiore a bn
- l ≠ 0 –> an, bn infiniteisme dello stesso ordine
- non esiste –> an, bn infinitesime non comparabili
Teorema del principio di eliminazione degli ∞ di ordine inferiore
Un limite della forma ∞/∞ può essere calcolato lasciando a numeratore e denominatore l’infinito di ordine superiore e trascurando gli infiniti di ordine inferiore
Teorema CNES ∃ limite successione (Cauchy)
Una successione {an} è convergente se e solo se è verificata la seguente condizione di Cauchy:
per ogni ε > 0, esiste n0 = n0(ε) t.c. | am - an | < ε
Limiti notevoli
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