Serie

Question 1

Definizione serie numerica

Answer 1

Data una successione {an} di numeri reali, si definisce serie numerica reale la seguente espressione simbolica:
Ʃ(da n=0 a ∞ )an = a0 + a1 + a2 + …

Question 2

Definizione della successione delle somme parziali

Answer 2

Sia {an} = a1. a2, a3…una successione numerica. A partire da {an} costruiamo una successione {Sn}, successione delle somme parziali, i cui termini sono definiti per ricorrenza.

Question 3

Definizione serie convergente, divergente, indeterminata

Answer 3

• Convergente, se e solo se, esiste finito il limite Sn = S
• Divergente, se e solo se, lim Sn = {+∞, -∞}
• Indeterminata, se e solo se, NON esiste il lim Sn

Question 4

Operazioni con le serie

Answer 4

Date due serie Ʃan e Ʃbn, e un numero K, definiziamo:

• prodotto di una serie per un numero (KƩan = ƩKan)
• somma di due serie (Ʃan + Ʃbn = Ʃ(an + bn))

Question 5

Proprietà successione delle somme parziali

Answer 5

1. se K ≠ 0 –> Ʃan e ƩKan hanno lo stesso carattere
2. se Ʃan = A –> Ʃkan = KA
3. se Ʃan converge e K = 0 –> Ʃkan converge e Ʃkan = 0
4. se Ʃan = A e Ʃbn = B –> Ʃ(an + bn) = A + B
5. se Ʃan converge e Ʃbn diverge –> Ʃ(an + bn) diverge
6. se Ʃan diverge e Ʃbn converge –> Ʃ(an + bn) diverge
7. se Ʃan = +∞, -∞ e Ʃbn = +∞, -∞ –> Ʃ(an + bn) = +∞, -∞
8. se Ʃan = +∞, -∞ e Ʃbn = -∞, +∞ –> Ʃ(an + bn) = indecisione

Question 6

Serie geometrica

Answer 6

Ʃa0q^n:

• converge |q| < 1 e S = a0 1/1-q
• diverge q >= 1
• irregolare q<= - 1

Question 7

Divergenza o convergenza della serie armonica (+ DIMOSTRAZIONE con teorema di Cauchy) e esponenziale

Answer 7

• La serie armonica è divergente

- La serie esponenziale è convergente per ogni x

Question 8

Definizione serie telescopiche

Answer 8

Una serie Ʃan si dice telescopica se il termine generale an si può scrivere come differenza di due termini consecutivi di un’altra successione {bn}, cioà an = bn - bn+1

Question 9

CNES convergenza serie

Answer 9

1. Serie converge, se e solo se, converge la successione {Sn}
2. Successione {Sn} converge, se e solo se, vale il criterio Cauchy per successioni

Question 10

CN convergenza serie + DIMOSTRAZIONE

Answer 10

• Condizione necessaria affinchè una serie converga è che lim an = 0
• Se la serie Ʃan converge, allora lim an = 0

Question 11

Teorema di regolarità delle serie a termini non negativi + DIMOSTRAZIONE

Answer 11

Se la serie Ʃan è a termini non negativi, allora è regolare, o converge (s>0) o diverge (+∞)

Question 12

Definizione serie maggiorante e minorante

Answer 12

Siano Ʃan e Ʃbn serie a termini non negativi e t.c. 0 <= an <= bn

• Ʃan è minorante della Ʃbn
• Ʃbn è maggiorante della Ʃan

Question 13

Criterio del confronto delle serie

Answer 13

Siano Ʃan e Ʃbn serie a termini non negativi e t.c. 0 <= an <= bn per ogni n < n0.

Allora:

1. se Ʃbn converge –> Ʃan converge
2. se Ʃan diverge –> Ʃbn diverge

Question 14

Criterio del confronto asintotico

Answer 14

Due serie Ʃan e Ʃbn a termini positivi con i termini generali asintotici tra loro hanno lo stesso carattere.

Question 15

Teorema criterio della radice delle serie e corollario + 2 DIMOSTRAZIONI

Answer 15

Sia Ʃan una serie a termini non negativi.

1. Se esiste p appartenente a R, compreso tra 0 e 1, t.c. definitiva per n che tende a ∞, valga √an <= p, allora la serie è convergente
2. Se esistono infiniti termini an della serie t.c. √n >= 1, allora la serie è divergente a +∞

COROLLARIO
Nel caso in cui esiste lim √an = l, vale:
1. lim√an = l < 1 –> Ʃan convergente
2. lim√an = l >= 1 –> Ʃan = +∞

Question 16

Teorema criterio del rapporto e corollario + 2 DIMOSTRAZIONI

Answer 16

Sia Ʃan una serie a termini positivi:

1. Se esiste p appartenente a R, compreso tra 0 e 1, t.c. definitiva per n che tende a ∞, valga an+1/an <= p, allora la serie è convergente
2. Se esistono infiniti termini an della serie t.c. an+1/an >= 1, allora la serie è divergente a +∞

COROLLARIO
Nel caso in cui esiste lim an+1/an = l, vale:
1. lim an+1/an = l < 1 –> Ʃan convergente
2. lim an+1/an = l >= 1 –> Ʃan = +∞

Question 17

Criterio di Leibniz (serie a segno alternato)

Answer 17

Sia Ʃ(-1)^nan una serie a termini di segno alternato, allora se la successione {an}:
1. è infinitesima
2. è monotona non crescente
Allora Ʃ(-1)^nan è convergente.

Inoltre

1. S2n+1 <= Ʃ(-1)^n*an <= S2n
2. |S - Sn| <= an+1

Question 18

Teorema convergenza assoluta + DIMOSTRAZIONE

Answer 18

Se la serie Ʃ|an| converge, allora converge anche la serie Ʃan

Question 19

Definizione di serie assolutamente e semplicemente convergente

Answer 19

Una serie Ʃan si dice assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti Ʃ|an| è convergente.

Si dice semplicemente convergente se converge e la serie dei valori assoluti diverge.