Matematica finanziaria

Question 1

Definizione operazione finanziaria

Answer 1

Si definisce operazione finanziaria qualsiasi operazione che dia origine allo scambio tra somme di denaro riferite ad epoche diverse.

Si dividono in operazioni finanziarie certe e aleatorie.

Question 2

Definizione legge di capitalizzazione

Answer 2

Si definisce legge di capitalizzazione una funzione che si definisce il montante i t, M(t), di un capitale iniziale C-

M(t) = F(C,t)

e che rispetta i seguenti postulati:

1. F(C,t) è definita per ogni C > 0, t >0
2. F(C,0) = C
3. t1 < t2 –> F(C,t1) < F(C,t2)
4. F(C,t) = C F (1,t)

Question 3

Definizione funzione di montante

Answer 3

La funzione f(t) = F(1,t) si definisce fattore di montante ed esprime il montante, al tempo t, di un capitale unitario.

Question 4

Legge di attualizzazione

Answer 4

Si definisce legge di attualizzazione una funzione che consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale C con scadenza futura

Va(t) = G(C,t)

e che rispetta i seguenti postulati:

1. G(C,t) è definita per ogni C > 0, t > 0
2. G(C,0) = C
3. t1 < t2 –> G(C,t1) < G(C,t2)
4. G(C,t) = C G (1,t)

Question 5

Definizione fattore di sconto

Answer 5

La funzione g(t) = G(1,t) si definisce fattore di sconto ed esprime il valore in t=0 di ogni unità di capitale che scade in t.

g(t) = 1 / f(t)

Question 6

Definizione tassi equivalenti

Answer 6

Due tassi d’interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura t e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

Nel regime di interessi semplice tk = kt

Question 7

Definizione tasso annuo nominale convertibile k volte all’anno

Answer 7

Si definisce tasso annuo nominale convertibile k volte all’anno il tasso Jk = Kik

Question 8

Definizione tasso medio

Answer 8

Si definisce tasso medio quel tasso costante i equivalente alla sequenza di tassi variabili, ossia che consente di ottenere lo stesso montante

Question 9

Definizione intensità di interesse

Answer 9

Si definisce intensità di interesse il rapporto

i(t, t+At) / At = f(t,At) - f(t) / At - 1/f(t)

Question 10

Definizione intensità istantanea di interesse o forza di interesse

Answer 10

Si definisce intensità istantanea d’interesse la funzione S(t) = f’(t) / f(t)

Question 11

Definizione scindibilità

Answer 11

Una legge si dice scindibile se il montante di un capitale C, impiegato fino a t ad un tasso assegnato i, non varia se l’operazione viene interrotta in t1, con o < t1 < t, e il montante ottenuto in t1, viene immediatamente reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo rimanente t-t1, ossia se f(t) soddisfa la seguente relazione:

f(t) = f(t1) * f(t - t1)

Question 12

Teorema scindibilità

Answer 12

Sia f un fattore di montante derivabile:
le seguenti affermazioni so f sono allora equivalenti:

1. f è scindibile, cioè f(t) = f(t1) * f(t - t1)
2. la forza d’interesse S(t) = f’(t) / f(t) è costante rispetto al tempo
3. f(t) e^St, cioè f è la legge composta esponenziale

Question 13

Definizione rendita finanziaria

Answer 13

Si definisce rendita finanziaria un insieme di importi da riscuotere o da pagare a epoche differenti

Question 14

Definizione a figurato n al tasso i

Answer 14

VA = a figurato n al tasso i = 1 - v^n / i

Se R è diverso da 1, VA = R * a figurato n al tasso i

Question 15

Definizione a anticipato figurato n al tasso i

Answer 15

VA = a anticipato figurato n al tasso i = 1 - v^n / 1 - v

Se R è diverso da 1, VA = R * a anticipato figurato n al tasso i

Question 16

Definizione a differita figurato n al tasso i

Answer 16

VA = p/a figurato n al tasso i = V^p * a figurato n al tasso i

Question 17

Definizione a differita anticipato figurato n al tasso i

Answer 17

VA = p/a anticipato figurato n al tasso i = V^p * a anticipato figurato n al tasso i

Question 18

Definizione a perpetua figurato n al tasso i

Answer 18

VA = a figurato ∞ al tasso i = 1 / i

Question 19

Definizione a perpetua anticipato figurato n al tasso i

Answer 19

VA = a anticipato figurato ∞ al tasso i = 1 + 1 /1 = a figurato ∞ al tasso i (1 + i)

Question 20

Definizione montante di una rendita

Answer 20

Il montante di una rendita è la somma dei montanti delle singole rate, calcolati al termine della rendita, nel regime di capitalizzazione prescelto.

Question 21

Definizione di finanziariamente equivalenti

Answer 21

Due rendite si dicono finanziariamente equivalenti in t quando hanno in t lo stesso valore.

Question 22

Teorema CNES dell’equivalenza finanziaria

Answer 22

CNES affinchè due rendite finanziariamente equivalenti in un certo istante T lo siano in qualsiasi altro istante t, è che i loro valori siano calcolati con leggi di capitalizzazioni ed attualizzazione esponenziali coniugate, cioè

f(t) = (1 + i)^t e g(t) = (1 + i)^t

Question 23

Definizione scadenza media

Answer 23

Si definisce scadenza media di un complesso di prestazioni R1, R2…Rn alle scadenze t1, t2…tn la scadenza z che si deve dare ad un unico importo W pari alla somma delle rate in modo che il suo valore attuale, in un regime di sconto opportuno, coincida con il valore attuale della rendita.

Question 24

Teorema scadenza media

Answer 24

Se il fattore di sconto adottato g(t) è una funzione continua strettamente decrescente, la scadenza media z esiste ed è unica.

Question 25

Proprietà della scadenza media nel regime composto

Answer 25

1. Z < t trattino
2. Z è decrescente rispetto a i
3. lim da i a 0 z = t trattini
4. lim da i a ∞ z = t1

Question 26

Definizione duration

Answer 26

E’ la media ponderata delle scadenze avente per pesi i valori attuali delle rate

Question 27

Definizione di costituzione di un capitale

Answer 27

La costituzione di un capitale è un’operazione nella quale, con una sequenza di prestazioni finanziarie periodiche (rendita) si vuole costituire, ad una determinata epoca futura, una disponibilità finanziaria di importo prestabilito.

Question 28

Definizione di prestito

Answer 28

Un prestito o mutuo è un progetto di finanziamento che presenta una sola entrata monetaria o input seguita da uno o più uscite monetarie o output per il rimborso globale finale o i rimborsi parziali e per la corresponsione degli interessi.

Question 29

Definizione rimborso di un prestito

Answer 29

Il rimborso di un prestito o ammortamento è la specificazione dei termini nei quali si concretizzano:

1. la restituzione dell’importo mutuato
2. la remunerazione del debito

Question 30

Definizione ammortamento americano

Answer 30

Prestito a rimborso globale con interessi periodici al tassi i + costituzione di un capitale pari all’ammontare del prestito al tasso i’

Question 31

Definizione ammortamento francese

Answer 31

L’ammortamento francese, a rata costante, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponde n rate posticipate di ammortamento alle varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R

Question 32

Definizione ammortamento italiano

Answer 32

L’ammortamento italiano prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponde le rate di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo.

Question 33

Definizione ammortamento tedesco

Answer 33

A fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponde:

1. le quote interesse in via anticipata
2. le quote capitale in via posticipata.

Question 34

Definizione di valore di un prestito al tempo t

Answer 34

Il valore di un prestito al tempo t, valutato al tasso di valutazione i’, è la somma dei valori attuali dei pagamenti previsti dal piano di ammortamento e non ancora corrisposti.

Question 35

Definizione progetto finanziario

Answer 35

Un progetto finanziario è una successione di capitali (Ck) di qualsiasi segno, previsti a certe scadenze tk.

Question 36

Definizione valutazione di un progetto finanziario

Answer 36

Definiamo valutazione di un progetto il calcolo del valore numerico che viene assunto da un indicatore sintetico che in qualche modo misura la utilità che il progetto riveste, dal punto di vista finanziario, per il soggetto economico che lo attua.

Question 37

Definizione dei criteri di scelta

Answer 37

I criteri di scelta sono dei criteri che consentono ad un operatore finanziario di effettuare una scelta razionale tra due o più operazioni finanziarie.

La scelta tra progetti P consiste nel definire un criterio di scelta che associ ad ogni progetto P, un numero I(P), detto indice di preferenza.

Affinché un criterio di scelta possa essere applicato correttamente è necessario che i progetti che vengono posti a confronto abbiano il requisito della completezza, ossia i progetti devono avere la medesima struttura rispetto al capitale e all’arco temporale.

Qualora la condizione di completezza non sia soddisfatta, sarà necessario definire un’operazione finanziaria integrativa.

Question 38

Definizione tempo di recupero del capitale

Answer 38

Si definisce tempo di recupero del capitale di un’operazione finanziaria la scadenza più vicina tra quelle per le quali il totale dei ricavi consente di recuperare i costi sostenuti, cioè di eguagliarli o superarli.

Question 39

Definizione di tempo di recupero attualizzato

Answer 39

Prima scadenza alla quale si realizza una conversione di segno nei saldi di cassa attualizzati Si(tk) del progetto stesso.

Non considera ne i costi e ricavi effettuati prima dell’epoca considerata, ne quelli dopo e non considera l’attualizzazione.

Question 40

Definizione REA (risultato economico attualizzato)

Answer 40

Fissato un tasso di valutazione i, si dice REA di un’operazione finanziaria il valore attuale dei suoi flussi di cassa.

REA = V(i) = Σ Ck g(tk)

Si sceglie il REA maggiore.

E’ un criterio soggettivo e considera che il mercato consideri lo stesso tasso per tutto il periodo che è irrealistico, e non da informazioni sul rendimento del capitale investito.

Question 41

Definizione TIR (tasso interno di rendimento)

Answer 41

Si dice TIR di un’operazione finanziaria, quel tasso di valutazione i* (se esiste ed è unico) che rende equa l’operazione, cioè quel tasso in corrispondenza del quale V(i*) = 0

Negli investimenti si sceglie chi ha il TIR successivo.

Il TIR presenta dei limiti: NON tutte le operazioni possono essere classificate come finanziamenti, o investimenti. E’ un criterio soggettivo e non dipende dall’andamento del mercato ma dalle caratteristiche delle operazioni.

Question 42

Teorema di levi

Answer 42

Dato un investimento (finanziamento) con saldo contabile alla scadenza positivo (negativo) S(tn) = Σ Ck > 0 (<0)

Condizione sufficiente di esistenza del TIR positivo è che:
- la scadenza media aritmetica delle uscite tc (entrate tr) preceda la scadenza della prima entrata t1R (uscita t1c) cioè tcosti < t1 ricavi (t ricavi < t1 costo)

ossia che l’investimento sia in senso lato

Question 43

Teorema di Norstrom

Answer 43

Dato un investimento (finanziamento), condizione sufficiente di esistenza del TIR positivo è che il saldo contabile cambi segno una sola volta, ossia che l’investimento sia puro.

Question 44

Definizione TAN (tasso annuo nominale)

Answer 44

In un’operazione di finanziamento, il TAN, espresso in percentuale e su base annua, è il TIR dell’operazione finanziaria nella quale vengono considerate unicamente gli esborsi richiesti per la restituzione e remunerazione del debito; non compaiono nei flussi di cassa le spesse, ne’ altri oneri accessori.

Question 45

Definizione TAEG (tasso annuo effettivo globale)

Answer 45

Il TAEG espresso in termini percentuali e su base annua, esprime il vero costo del credito per il cliente. Il TAEG è il TIR dell’operazione di finanziamento nel quale però si prendono in considerazione, nelle definizione dei flussi di cassa, tutte le spese accessorie obbligatorie che il debitore deve sostenere, oltre a quelle per la remunerazione del debito.

Question 46

Definizione di obbligazioni

Answer 46

Contratti in cui due parti si impegnano a scambiarsi quantità di denaro in epoche diverse.

Sono titoli di debito contratto dall’emittente nei confronti dei sottoscrittori, da restituire e remunerare secondo condizioni prefissate corrispondendo ai portatori quote capitali e quote interesse.

BOT = buoni ordinari del tesoro
CTZ = certificati del tesoro zero coupon
CCT = certificati di credito del tesoro
BTP = buoni del tesoro pluriennali

Question 47

Cosa consente la valutazione dei titoli obbligazionari?

Answer 47

• di evidenziare la congruità del prezzo
• di stimare i prezzi futuri formulando ipotesi sull’andamento futuro del mercato
• di calcolare il tasso di rendimento dell’investimento

Question 48

Caratteristiche titoli obbligazionari

Answer 48

Ogni obbligazione prevede:
- il rimborso del capitale in un’unica scadenza

Gli interessi invece possono essere pagati:

• integralmente alla scadenza
• mediante cedole periodiche

Question 49

Valore nominale D, tasso di interesse nominale i, prezzo tel-quel

Answer 49

Il valore nominale D = è su questo importo, che verrà restituito al sottoscrittore, che si calcola l’interesse. Per convenzione le quotazioni di mercato si enunciano per ogni 100 euro di valore nominale.

Il tasso di interesse nominale i = esso determina l’importo delle cedole come percentuale del valore nominale. Se i pagamenti sono ad esempio semestrali, l’importo di ciascuna cedola risulterà il prodotto del valore nominale D per i2 = i/2

Il prezzo tel-quel Pt, in vigore all’epoca t. Nel caso particolare che si tratti di sottoscrizione, il prezzo si considera al netto di eventuali oneri di emissione.

Question 50

Tasso yield

Answer 50

E’ quel tasso y che realizza l’uguaglianza tra il prezzo d’acquisto dell’obbligazione all’epoca t, Pt, e la somma dei valori attuali di tutte le sue prestazioni future.

Question 51

Definizione curva dei rendimenti

Answer 51

Si definisce Curva dei Rendimenti (Yield curve) la rappresentazione grafica, sul piano cartesiano, delle coppie ordinate (Ti, yi)

Question 52

Definizione struttura per scadenza dei tassi di rendimenti

Answer 52

Si definisce struttura per scadenza dei tassi di rendimento la successione {Rk|k = 1,2..}
dove gli Rk sono i tassi spot o tassi a pronti, cioè i tassi d’interesse che il mercato finanziario adotta a una determinata epoca t per valutare prestazioni finanziarie certe esigibili alle scadenze future T.

Question 53

Definizione tassi forward

Answer 53

Si definiscono tassi forward i tassi d’interesse implicati dai tassi spot per periodi di tempo nel futuro. I tassi forward sono degli strumenti di valorizzazione di contratti differiti nel tempo.

Indica il tasso di interesse che il mercato debba manifestare per S periodi per delle obbligazioni che durano P periodi.

Question 54

Definizione duration

Answer 54

La duration è un indicatore della volatilità delle obbligazioni in quanto la variazione del prezzo dell’obbligazione provocata da una variazione del fattore di montante (1 + y) è proporzionale alla duration.