Matematica finanziaria Flashcards
Definizione operazione finanziaria
Si definisce operazione finanziaria qualsiasi operazione che dia origine allo scambio tra somme di denaro riferite ad epoche diverse.
Si dividono in operazioni finanziarie certe e aleatorie.
Definizione legge di capitalizzazione
Si definisce legge di capitalizzazione una funzione che si definisce il montante i t, M(t), di un capitale iniziale C-
M(t) = F(C,t)
e che rispetta i seguenti postulati:
- F(C,t) è definita per ogni C > 0, t >0
- F(C,0) = C
- t1 < t2 –> F(C,t1) < F(C,t2)
- F(C,t) = C F (1,t)
Definizione funzione di montante
La funzione f(t) = F(1,t) si definisce fattore di montante ed esprime il montante, al tempo t, di un capitale unitario.
Legge di attualizzazione
Si definisce legge di attualizzazione una funzione che consente di stabilire oggi il valore attuale di un capitale C con scadenza futura
Va(t) = G(C,t)
e che rispetta i seguenti postulati:
- G(C,t) è definita per ogni C > 0, t > 0
- G(C,0) = C
- t1 < t2 –> G(C,t1) < G(C,t2)
- G(C,t) = C G (1,t)
Definizione fattore di sconto
La funzione g(t) = G(1,t) si definisce fattore di sconto ed esprime il valore in t=0 di ogni unità di capitale che scade in t.
g(t) = 1 / f(t)
Definizione tassi equivalenti
Due tassi d’interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura t e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.
Nel regime di interessi semplice tk = kt
Definizione tasso annuo nominale convertibile k volte all’anno
Si definisce tasso annuo nominale convertibile k volte all’anno il tasso Jk = Kik
Definizione tasso medio
Si definisce tasso medio quel tasso costante i equivalente alla sequenza di tassi variabili, ossia che consente di ottenere lo stesso montante
Definizione intensità di interesse
Si definisce intensità di interesse il rapporto
i(t, t+At) / At = f(t,At) - f(t) / At - 1/f(t)
Definizione intensità istantanea di interesse o forza di interesse
Si definisce intensità istantanea d’interesse la funzione S(t) = f’(t) / f(t)
Definizione scindibilità
Una legge si dice scindibile se il montante di un capitale C, impiegato fino a t ad un tasso assegnato i, non varia se l’operazione viene interrotta in t1, con o < t1 < t, e il montante ottenuto in t1, viene immediatamente reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo rimanente t-t1, ossia se f(t) soddisfa la seguente relazione:
f(t) = f(t1) * f(t - t1)
Teorema scindibilità
Sia f un fattore di montante derivabile:
le seguenti affermazioni so f sono allora equivalenti:
- f è scindibile, cioè f(t) = f(t1) * f(t - t1)
- la forza d’interesse S(t) = f’(t) / f(t) è costante rispetto al tempo
- f(t) e^St, cioè f è la legge composta esponenziale
Definizione rendita finanziaria
Si definisce rendita finanziaria un insieme di importi da riscuotere o da pagare a epoche differenti
Definizione a figurato n al tasso i
VA = a figurato n al tasso i = 1 - v^n / i
Se R è diverso da 1, VA = R * a figurato n al tasso i
Definizione a anticipato figurato n al tasso i
VA = a anticipato figurato n al tasso i = 1 - v^n / 1 - v
Se R è diverso da 1, VA = R * a anticipato figurato n al tasso i
Definizione a differita figurato n al tasso i
VA = p/a figurato n al tasso i = V^p * a figurato n al tasso i
Definizione a differita anticipato figurato n al tasso i
VA = p/a anticipato figurato n al tasso i = V^p * a anticipato figurato n al tasso i
Definizione a perpetua figurato n al tasso i
VA = a figurato ∞ al tasso i = 1 / i
Definizione a perpetua anticipato figurato n al tasso i
VA = a anticipato figurato ∞ al tasso i = 1 + 1 /1 = a figurato ∞ al tasso i (1 + i)
Definizione montante di una rendita
Il montante di una rendita è la somma dei montanti delle singole rate, calcolati al termine della rendita, nel regime di capitalizzazione prescelto.
Definizione di finanziariamente equivalenti
Due rendite si dicono finanziariamente equivalenti in t quando hanno in t lo stesso valore.
Teorema CNES dell’equivalenza finanziaria
CNES affinchè due rendite finanziariamente equivalenti in un certo istante T lo siano in qualsiasi altro istante t, è che i loro valori siano calcolati con leggi di capitalizzazioni ed attualizzazione esponenziali coniugate, cioè
f(t) = (1 + i)^t e g(t) = (1 + i)^t
Definizione scadenza media
Si definisce scadenza media di un complesso di prestazioni R1, R2…Rn alle scadenze t1, t2…tn la scadenza z che si deve dare ad un unico importo W pari alla somma delle rate in modo che il suo valore attuale, in un regime di sconto opportuno, coincida con il valore attuale della rendita.
Teorema scadenza media
Se il fattore di sconto adottato g(t) è una funzione continua strettamente decrescente, la scadenza media z esiste ed è unica.
Proprietà della scadenza media nel regime composto
- Z < t trattino
- Z è decrescente rispetto a i
- lim da i a 0 z = t trattini
- lim da i a ∞ z = t1
Definizione duration
E’ la media ponderata delle scadenze avente per pesi i valori attuali delle rate
Definizione di costituzione di un capitale
La costituzione di un capitale è un’operazione nella quale, con una sequenza di prestazioni finanziarie periodiche (rendita) si vuole costituire, ad una determinata epoca futura, una disponibilità finanziaria di importo prestabilito.
Definizione di prestito
Un prestito o mutuo è un progetto di finanziamento che presenta una sola entrata monetaria o input seguita da uno o più uscite monetarie o output per il rimborso globale finale o i rimborsi parziali e per la corresponsione degli interessi.
Definizione rimborso di un prestito
Il rimborso di un prestito o ammortamento è la specificazione dei termini nei quali si concretizzano:
- la restituzione dell’importo mutuato
- la remunerazione del debito
Definizione ammortamento americano
Prestito a rimborso globale con interessi periodici al tassi i + costituzione di un capitale pari all’ammontare del prestito al tasso i’
Definizione ammortamento francese
L’ammortamento francese, a rata costante, prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponde n rate posticipate di ammortamento alle varie scadenze, in modo tale che le rate siano tutte di uguale importo R
Definizione ammortamento italiano
L’ammortamento italiano prevede che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponde le rate di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le quote capitale siano di uguale importo.
Definizione ammortamento tedesco
A fronte del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale, il debitore corrisponde:
- le quote interesse in via anticipata
- le quote capitale in via posticipata.
Definizione di valore di un prestito al tempo t
Il valore di un prestito al tempo t, valutato al tasso di valutazione i’, è la somma dei valori attuali dei pagamenti previsti dal piano di ammortamento e non ancora corrisposti.
Definizione progetto finanziario
Un progetto finanziario è una successione di capitali (Ck) di qualsiasi segno, previsti a certe scadenze tk.
Definizione valutazione di un progetto finanziario
Definiamo valutazione di un progetto il calcolo del valore numerico che viene assunto da un indicatore sintetico che in qualche modo misura la utilità che il progetto riveste, dal punto di vista finanziario, per il soggetto economico che lo attua.
Definizione dei criteri di scelta
I criteri di scelta sono dei criteri che consentono ad un operatore finanziario di effettuare una scelta razionale tra due o più operazioni finanziarie.
La scelta tra progetti P consiste nel definire un criterio di scelta che associ ad ogni progetto P, un numero I(P), detto indice di preferenza.
Affinché un criterio di scelta possa essere applicato correttamente è necessario che i progetti che vengono posti a confronto abbiano il requisito della completezza, ossia i progetti devono avere la medesima struttura rispetto al capitale e all’arco temporale.
Qualora la condizione di completezza non sia soddisfatta, sarà necessario definire un’operazione finanziaria integrativa.
Definizione tempo di recupero del capitale
Si definisce tempo di recupero del capitale di un’operazione finanziaria la scadenza più vicina tra quelle per le quali il totale dei ricavi consente di recuperare i costi sostenuti, cioè di eguagliarli o superarli.
Definizione di tempo di recupero attualizzato
Prima scadenza alla quale si realizza una conversione di segno nei saldi di cassa attualizzati Si(tk) del progetto stesso.
Non considera ne i costi e ricavi effettuati prima dell’epoca considerata, ne quelli dopo e non considera l’attualizzazione.
Definizione REA (risultato economico attualizzato)
Fissato un tasso di valutazione i, si dice REA di un’operazione finanziaria il valore attuale dei suoi flussi di cassa.
REA = V(i) = Σ Ck g(tk)
Si sceglie il REA maggiore.
E’ un criterio soggettivo e considera che il mercato consideri lo stesso tasso per tutto il periodo che è irrealistico, e non da informazioni sul rendimento del capitale investito.
Definizione TIR (tasso interno di rendimento)
Si dice TIR di un’operazione finanziaria, quel tasso di valutazione i* (se esiste ed è unico) che rende equa l’operazione, cioè quel tasso in corrispondenza del quale V(i*) = 0
Negli investimenti si sceglie chi ha il TIR successivo.
Il TIR presenta dei limiti: NON tutte le operazioni possono essere classificate come finanziamenti, o investimenti. E’ un criterio soggettivo e non dipende dall’andamento del mercato ma dalle caratteristiche delle operazioni.
Teorema di levi
Dato un investimento (finanziamento) con saldo contabile alla scadenza positivo (negativo) S(tn) = Σ Ck > 0 (<0)
Condizione sufficiente di esistenza del TIR positivo è che:
- la scadenza media aritmetica delle uscite tc (entrate tr) preceda la scadenza della prima entrata t1R (uscita t1c) cioè tcosti < t1 ricavi (t ricavi < t1 costo)
ossia che l’investimento sia in senso lato
Teorema di Norstrom
Dato un investimento (finanziamento), condizione sufficiente di esistenza del TIR positivo è che il saldo contabile cambi segno una sola volta, ossia che l’investimento sia puro.
Definizione TAN (tasso annuo nominale)
In un’operazione di finanziamento, il TAN, espresso in percentuale e su base annua, è il TIR dell’operazione finanziaria nella quale vengono considerate unicamente gli esborsi richiesti per la restituzione e remunerazione del debito; non compaiono nei flussi di cassa le spesse, ne’ altri oneri accessori.
Definizione TAEG (tasso annuo effettivo globale)
Il TAEG espresso in termini percentuali e su base annua, esprime il vero costo del credito per il cliente. Il TAEG è il TIR dell’operazione di finanziamento nel quale però si prendono in considerazione, nelle definizione dei flussi di cassa, tutte le spese accessorie obbligatorie che il debitore deve sostenere, oltre a quelle per la remunerazione del debito.
Definizione di obbligazioni
Contratti in cui due parti si impegnano a scambiarsi quantità di denaro in epoche diverse.
Sono titoli di debito contratto dall’emittente nei confronti dei sottoscrittori, da restituire e remunerare secondo condizioni prefissate corrispondendo ai portatori quote capitali e quote interesse.
BOT = buoni ordinari del tesoro CTZ = certificati del tesoro zero coupon CCT = certificati di credito del tesoro BTP = buoni del tesoro pluriennali
Cosa consente la valutazione dei titoli obbligazionari?
- di evidenziare la congruità del prezzo
- di stimare i prezzi futuri formulando ipotesi sull’andamento futuro del mercato
- di calcolare il tasso di rendimento dell’investimento
Caratteristiche titoli obbligazionari
Ogni obbligazione prevede:
- il rimborso del capitale in un’unica scadenza
Gli interessi invece possono essere pagati:
- integralmente alla scadenza
- mediante cedole periodiche
Valore nominale D, tasso di interesse nominale i, prezzo tel-quel
Il valore nominale D = è su questo importo, che verrà restituito al sottoscrittore, che si calcola l’interesse. Per convenzione le quotazioni di mercato si enunciano per ogni 100 euro di valore nominale.
Il tasso di interesse nominale i = esso determina l’importo delle cedole come percentuale del valore nominale. Se i pagamenti sono ad esempio semestrali, l’importo di ciascuna cedola risulterà il prodotto del valore nominale D per i2 = i/2
Il prezzo tel-quel Pt, in vigore all’epoca t. Nel caso particolare che si tratti di sottoscrizione, il prezzo si considera al netto di eventuali oneri di emissione.
Tasso yield
E’ quel tasso y che realizza l’uguaglianza tra il prezzo d’acquisto dell’obbligazione all’epoca t, Pt, e la somma dei valori attuali di tutte le sue prestazioni future.
Definizione curva dei rendimenti
Si definisce Curva dei Rendimenti (Yield curve) la rappresentazione grafica, sul piano cartesiano, delle coppie ordinate (Ti, yi)
Definizione struttura per scadenza dei tassi di rendimenti
Si definisce struttura per scadenza dei tassi di rendimento la successione {Rk|k = 1,2..}
dove gli Rk sono i tassi spot o tassi a pronti, cioè i tassi d’interesse che il mercato finanziario adotta a una determinata epoca t per valutare prestazioni finanziarie certe esigibili alle scadenze future T.
Definizione tassi forward
Si definiscono tassi forward i tassi d’interesse implicati dai tassi spot per periodi di tempo nel futuro. I tassi forward sono degli strumenti di valorizzazione di contratti differiti nel tempo.
Indica il tasso di interesse che il mercato debba manifestare per S periodi per delle obbligazioni che durano P periodi.
Definizione duration
La duration è un indicatore della volatilità delle obbligazioni in quanto la variazione del prezzo dell’obbligazione provocata da una variazione del fattore di montante (1 + y) è proporzionale alla duration.
