Integrali definite Flashcards
Definizione di partizione di I
Dato un intervallo chiuso e limitato I = [a, b], si dice partizione di I un insieme finito di punti appartenenti ad I e t.c. a = x0 < x1 < x2 < …. < xn = b
Definizione Mi e mi
Sia f: I = [a,b] –>R una funzione limitata in [a,b], e sia P una partizione di I.
Definiamo
Mi = sup {f(x): xi-1 <= x <= xi}
mi = inf {f(x): xi-1 <= x <= xi}
Sia f, la funzione in I, definita nell’intervallo a,b e a valore nei reali, e sia una funzione limitata nell’intervallo a,b e sia P una partizione di questo intervallo.
Definiamo
- Mi, gli estremi superiori della funzione f(x) quando x è compreso tra xi e xi-1
- mi, gli estremi inferiori che la funzione assume in ogni sottointervallo
Partizione fine
Dato un intervallo [a,b], una partizione P̃ si dice più fine di una partizione P se P̃ possiede anche solo un punto in più di P.
Teorema limitata
Per ogni funzione f: [a,b] –> limitata, vale sup s (P,f) <= inf S (P,f)
L’area del trapezoide è compreso tra l’estremo superiore delle somme inferiore e l’estremo inferiore delle somme superiori.
Definizione integrabile secondo Riemann
Una funzione f: [a,b] –> limitata si dirà integrabile secondo Riemann se sup s (P,f) = inf S (P,f), in tal caso si pone
∫f(x)dx = sup s(P,f) = inf S(P,f).
Questo numero reale si dice integrale definito di Riemann di f in [a,b]
CNES di R integrabilità
Una funzione f:[a,b] –> limitata è R-integrabile in [a,b] se e solo se per ogni ε > 0, esiste una partizione P di [a,b] dipendente da ε t.c. S(Pε, f) - s(Pε, f) < ε
CS 1
Teorema continuità
Se f:[a,b] –> R è continua in [a,b], allora è R-integrabile
CS 2
Teorema monotonia
Se f:[a,b] –> R è monotona in [a,b], allora è R-integrabile in [a,b]
CS 3
Teorema limitatezza
Sia f:[a,b] –> R limitata con un numero finito o al più con una infinità numerabile di punti di discontinuità, allora è R-integrabile in [a,b]
Proprietà integrabilità di Riemann
aa∫ f(x)dx = o
ba∫ f(x)dx = ab∫ f(x)dx
Teorema linearità
Date f,g definite su uno stesso dominio, dati due numeri reali, alfa e beta, consideriamo la combinazione lineare di f e g.
Se f, g E R(I) –> alfa f + beta g E R(I) e I∫ alga f + beta g = alfa I∫ f + beta I∫g
Teorema additività rispetto all’intervallo di integrazione
Sia f:[a,b] –> R
Allora per ogni c E (a,b) si ha che f è R-integrabile in [a,b], se e solo se f E R[a,c] e f E R[c,b] e vale che ab∫ f(x)dx = ac∫ f(x)dx + cb∫ f(x)dx
Teorema senza nome + dimostrazione
Sia f E R(I) Se f(x) >= 0 per ogni x E [a,b] --> ab∫ f(x) dx >= 0
Teorema del confronto + dimostrazione
Siano f,g E R(I) Se f(x) >= g(x) per ogni x E I --> ab∫ f(x)dx >= ab∫ g(x)dx
Teorema 3.12
Siano f una funzione R-integrabile in I e teta una funzione definita e continua in un insieme chiuso, e limitato che contenga l’immagine di f; allora la funzione composta teta * f definita da (teta * f)(x) := teta(f(x)) è anch’essa R-integrabile in I.
