Integrali indefinite

Question 1

Definizione primitiva

Answer 1

Siano I c R un intervallo e f: I –> R.
Una funzione F: I –> R si dice primitiva di f in I se F è derivabile e la sua derivata coincide con f, cioè se F’(x) = f(x)

Question 2

Teorema F(x) + c + dimostrazione

Answer 2

Se F(x) è una primitiva di f(x) in I, allora F(x) + c è primitiva di f(x)

Question 3

Teorema primitiva + dimostrazione

Answer 3

Se F è primitiva di f, allora tutte le altre primitive di f devono essere del tipo F(x) + c

Question 4

Definizione di integrale indefinito

Answer 4

Sia f: I –> R
Sia F: I –> R una primitiva di f in I
Allora l’insieme di tutte le primitive di f, date da F + c viene detto integrale indefinito di f in I e si indica con ∫f(x)dx = F(x) + c

Question 5

Integrali immediati dimostrazioni

Answer 5

guardare il quaderno

Question 6

Definizione funzione integrale

Answer 6

Dati una fER[a,b] e un punto fissato x tratt E[a,b], e sia x un punto qualunque di [a,b], la funzione definita da F(x) = x tratt x ∫f(t)dt è detta funzione integrale di f relativa al punto x tratt.

Question 7

Teorema fondamentale calcolo integrale e corollario + dimostrazione

Answer 7

Siano f E R [a,b] e x tratt E [a,b]
F(x) = x tratt x ∫ f(t)dt la funzione integrale di f relativa a x tratt
Allora
1. F è continua in [a.b]
2. se f è continua in x0, allora F è derivabile in x e F’(x0) = f(x0)

COROLLARIO
Se f è continua in [a,b], allora ammette primitive nell’intervallo [a,b]; l’integrale indefinito di f è dato da V f(x)dx = x tratt x ∫ f(t)dt + c

Question 8

Corollario fondamentale del TFCI (torricelli barrow) + dimostrazione

Answer 8

Se f è continua in [a,b] e F una qualsiasi primitiva di f in [a,b], allora vale
ab∫ f(x) dx = F(b) - F(a)

Question 9

Integrazioni per parti + dimostrazione

Answer 9

Siano u e v due funzioni continue con derivata continua in un comune intervallo I. Vale la seguente uguaglianza:
∫u(x) * ∫v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫u’(x)v(x)dx

Question 10

Metodo di integrazione per sostituzione + dimostrazione

Answer 10

I caso
Sia f: I –> R continua in I. Sia Φ: j –> I derivabile con continuità su J, invertibile.
Allora
∫ f(Φ(x))Φ’(x)dx = ( ∫ f(t)dt) t=Φ(x) e
ab∫ f(Φ(x))Φ’(x)dx = Φ(a)Φ(b) ∫ f(t)dt) t=Φ(x)

II caso
Sia f: I –> R continua in I. Sia Φ: j –> I derivabile con continuità su J, invertibile.
Allora
∫ f(x)dx = ( ∫ f(Φ)(t)Φ’(t)dt) t=Φ^-1(x) e
ab∫ f(x)dx = Φ^-1(a)Φ^-1(b) ∫ f(Φ)(t))Φ’(t)dt) t=Φ^-1(x)

Bisogna sostituire x con una nuova variabile e devi scrivere anche il delta x in funzione della nuova variabile.

Question 11

Integrale improprio su intervallo illimitato

Answer 11

Sia f definita nell’intervallo [a, +∞) a valori in R e R-integrabile su ogni intervallo [a,k] per ogni k > a.
Se lim ak∫ f(x)dx =
1. l –> f ha integrale improprio convergente
2. ∞ –> f ha integrale improprio divergente
3. non esiste –> f ha integrale improprio oscillante

Sia f definita nell’intervallo (-∞, +∞) a valori in R: fissato un qualsiasi punto c, si considerino gli intervalli (-∞, c] e [c, +∞).
f ha integrale improprio convergente in (-∞, +∞) se e solo se -∞c∫ f e c+∞∫ f convergono entrambi e si pone:
-∞+∞∫ f(x)dx = -∞c∫ f(x)dx + c+∞∫ f(x)dx

Question 12

Integrale improprio di funzioni illimitate

Answer 12

Sia f definita nell’intervallo (a, b] a valori in R e R-integrabile su ogni intervallo [k, b] e illimitata in un intorno di a.
Si consideri:
lim kb∫ f(x)dx =
1. l –> f ha integrale improprio convergente
2. ∞ –> f ha integrale improprio divergente
3. non esiste –> f ha integrale improprio oscillante

Sia f definitiva nell’intervallo (a,b) a valori in R, illimitata in a e in b, fissato un qualsiasi punto c appartenente ad (a,b), si considerino gli intervalli (a,c) e (c,b).
f ha integrale improprio convergente in (a,b) se e solo se ac∫ f e cb∫ f convergono entrambi e si pone:
ab∫ f(x)dx = lim kc∫ f(x)dx + lim cb∫ f(x)dx