Algebra lineare

Question 1

Definizione spazi vettoriali

Answer 1

Si denota con R^n l’insieme di tutte le n-ple ordinate con xj E R.

R^n è detto spazio vettoriale.

Question 2

Definizione vettore

Answer 2

Si definisce vettore v a n componenti una n-pla ordinata di numeri.

Question 3

Definizione combinazione lineare

Answer 3

Dati m vettori in R^n definiamo come loro combinazione lineare, qualsiasi vettore x E R, t.c.

x = (di j che va da 1 a m) Σ kj * x^j

Question 4

Definizione linearmente indipendenti e dipendenti

Answer 4

Dati m vettori di R^n, si dice che sono linearmente indipendenti se è possibile esprimere il vettore nullo come loro combinazione lineare solo con coefficienti tutti nulli.

Si dice che sono linearmente dipendenti se è possibile esprimere il vettore nullo come loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli.

Question 5

Definizione di base per spazio vettoriale

Answer 5

Si dice che m vettori costituiscono una base per uno spazio vettoriale se:

1. sono linearmente indipendenti
2. ogni vettore di R^n può essere scritto come loro combinazione lineare

Question 6

Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale

Answer 6

Si definisce dimensione di uno spazio vettoriale il numero di vettori contenuto in una delle sue basi.

Question 7

Definizione di matrice

Answer 7

Siano m,n due numeri interi positivi.
Una matrice reale è una tabella doppiamente ordinata di m*n numeri reali detti elementi e disposti in m righe e n colonne.

Question 8

Definizione di vettore riga, colonna, scalare, stesso tipo e corrispondenti

Answer 8

• Vettore riga –> una matrice costituita da una sola riga
• Vettore colonna –> una matrice costituita da una sola colonna
• Scalare –> una matrice di un solo elemento
• Due matrici si dicono dello stesso tipo quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne
• In due matrici dello stesso tipo gli elementi di egual posto si dicono corrispondenti

Question 9

Definizione matrice uguale, nulla, rettangolare, quadrata

Answer 9

• Due matrici dello stesso tipo A e B si dicono uguali se hanno uguali tutti gli elementi corrispondenti.
• Una matrice si dice nulla se sono nulli tutti i suoi elementi e si indica con A = 0
• Una matrice A(m,n) dove m≠n si dice rettangolare
• Una matrice A(m,n) dove m=n si dice quadrata e n è l’ordine della matrice

Question 10

Definizione diagonale principale e secondaria

Answer 10

In una matrice quadrata A l’insieme degli elementi aij con i=j costituisce la diagonale principale, mentre l’insieme degli elementi a1n, a2n-1, an1 costituisce la diagonale secondaria

Question 11

Definizione matrice diagonale

Answer 11

Una matrice quadrata di ordine n che ha nulli tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale, si dice matrice diagonale e si indica con Dn

Question 12

Definzione matrice scalare

Answer 12

Si dice matrice scalare una matrice diagonale con a11=a22=….=ann= a

Question 13

Definizione matrice identità

Answer 13

Si dice matrice identità e si indica con A = In una matrice quadrata di ordine n che ha uguali a 1 tutti gli elementi sulla diagonale principale e nulli tutti gli altri.

Question 14

Definizione matrice triangolare superiore e inferiore

Answer 14

Si dice matrice triangolare superiore una matrice quadrata n in cui gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli

Si dice matrice triangolare inferiore una matrice di ordine n in cui gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli

Question 15

Definizione coniugati

Answer 15

In una matrice quadrata A due elementi aik e aki che hanno gli stessi indici, ma in ordine inverso, si dicono coniugati; i loro posti sono simmetrici rispetto alla diagonale principale. Ogni elemento della diagonale principale è coniugato a se’ stesso.

Question 16

Definizione matrice simmetrica ed emisimmetrica

Answer 16

Si dice matrice simmetrica una matrice quadrata in cui gli elementi coniugati sono tra loro uguali.

Si dice matrice emisimmetrica una matrice quadrata in cui gli elementi coniugati tra loro sono tra loro opposti.

Question 17

Definizione matrice trasposta

Answer 17

Data una matrice A(m,n) si dice matrice trasposta della matrice A, la matrice A^t o A’(n,m) che si ottiene dalla A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

Question 18

Definizione di somma di due matrici

Answer 18

Si chiama somma di due matrici dello stesso tipo A e B, la matrice dello stesso tipo C ottenuta sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici date

Question 19

Proprietà somma matrici

Answer 19

Siano A,B,C matrici dello stesso tipo.

1. A + B = B + A
2. (A+B) + C = A + (B+C)
3. A + 0 = 0 + A = A
4. Per ogni matrice A esiste un’unica matrice dello stesso tipo di A che sommata ad A da la matrice nulla
5. Se A + C = A + B allora C = B

Question 20

Definizione matrice opposta

Answer 20

Si chiama matrice opposta di una matrice data A la matrice dello stesso tipo -A che ha come elementi rispettivamente gli opposti di quelli di A

Question 21

Definizione della differenza di due matrici

Answer 21

Si chiama differenza di due matrici dello stesso tipo A e B la somma della matrice A con l’opposto di B

Question 22

Definizione di prodotto di una matrice per uno scalare

Answer 22

Data una matrice A(m,n) e un numero reale r, si chiama prodotto della matrice per il numero r, la matrice i cui elementi si ottengono moltiplicando per r tutti gli elementi di A.

Question 23

Proprietà del prodotto di una matrice

Answer 23

Siano a,b numeri reali e A,B matrici dello stesso tipo

1. (-1)A = -A
2. A + (-1)A = 0
3. a(A+B) = aA + aB
4. (a+b)A = aA + bA
5. (ab)A = a(bA)
6. 1A = A
7. 0A = 0
8. (aA + bB)^t = aA^t + bB^t

Question 24

Prodotto tra matrici

Answer 24

Siano A = [aij] di tipo mp e B = [bij] di tipo pn si chiama prodotto AB di A per B la matrice C = cij di tipo m*n i cui elementi sono definiti come segue:

Cij = Σ aik*bkj

Question 25

Proprietà

Answer 25

1. A(BC) = (AB)C
2. (A+B)C = AC + BC
3. C(A+B) = CA + BC
4. amda(AB) = (amdaA)B = A(amdaB)
5. (aA + uB)C = aAC + uCB
6. A0 = 0
7. 0A = 0
8. Se A è quadrata AI = IA = A
9. (AB)^t = B^tA^t
10. Se A e B sono matrici diagonali dello stesso ordine, anche C = AB è diagonale dello stesso ordine

Question 26

Dimostrazione non validità delle legge di semplificazione

Answer 26

Se AB = AC –> AB - AC = 0
A(B-C) = 0 siccome non vale la legge di annullamento del prodotto

-x-> A = 0
B - C = 0 –> B = C

Question 27

Potenza ad esponente intero di una matrice

Answer 27

Sia A quadrata di ordine n e sia p un numero intero positivo. Si definisce potenza p-esima di una matrice:
A^p = AAAAAAA…AAA p volte

Question 28

Proprietà esponente di una matrice

Answer 28

Sia A quadrata di ordine n, e siano p, q interi positivi.

1. A^pA^q = A^p+q = A^qA^p
2. (A^p)^q = A^p*q

Question 29

Definizione sottomatrice

Answer 29

Data una matrice A di ordine m*n si definisce sottomatrice di A una matrice che si ottiene da A eliminando alcune righe e/o alcune colonne, senza cambiarne l’ordine

Question 30

Definizione determinante per ricorrenza

Answer 30

n = 1 –> Sia k uno scalare. Allora Det(k)=K

n-1 –> supponiamo noto, data una qualsiasi matrice quadrata di ordine n-1 il suo determinante

n –> allora per ogni A E M(n,n) vale
Det(A) = Σ (-1)^1+j * a1j * Det(Aij)

Question 31

Definizione determinante pari, dispari, minore complementare e complemento algebrico

Answer 31

• aij si dice pari o dispari rispettivamente se i+j è pari o dispari
• det(Aij) è detto minore complementare dell’elemento aij
• Mij = -1^i+j * det(Aij) è detto complemento algebrico dell’elemento aij

Question 32

Teorema di Laplace 1

Answer 32

Sia A una matrice quadrata di ordine n, il suo determinante si può calcolare come la somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna della matrice per i rispettivi complementi algebrici.

Question 33

Teorema di Laplace 2 + dimostrazione

Answer 33

In una matrice quadrata la somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un’altra riga (o colonna) è uguale a zero.

Σ aik * Mjk = 0

Question 34

Proprietà del determinante + dimostrazioni

Answer 34

1. Det(A^t) = det(A)
2. Se A ha una riga (colonna) di zeri –> det(A) = 0
3. Se gli elementi di una riga o colonna di A vengono moltiplicati per uno scalare K, allora il determinante della matrice ottennuta è KDet(a)
   Se tutti gli elementi di A vengono moltiplicati per uno scalare K, allora il determinante della matrice ottenuta è K^nDet(A)
4. Se la matirce A ha due righe o due colonne uguali –> det(A) = 0
5. Se A* ha due righe o due colonne proporzionali –> det(A*) = 0
6. Se si scambiano tra loro due righe o colonne di A, allora il determinante della matrice ottenuta è uguale al determinante di A cambiato di segno.
7. Det(Ab) = Det(A)*Det(B) (teorema di Binet)
8. Il determinante di una matrice diagonale o triangolare è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale

Question 35

Definizione matrice inversa

Answer 35

Sia A una matrice quadrata di ordine n, si definisce inversa di A, se esiste, una matrice quadrata dello stesso ordine, che pre moltiplicata o post moltiplicata per A da’ come risultato la matrice identità, cioè t.c. AB = BA = In

Question 36

Definizione matrice invertibile

Answer 36

Sia A una matrice quadrata di ordine n, la matrice A si dice invertibile o non singolare se esiste una matrice B, t.c. AB = BA = In.
Tale matrice B, se esiste, è necessariamente quadrata di ordine n, ed è detta inversa di A e si indica con A^-1

Question 37

Teorema di unicità + dimostrazione

Answer 37

Sia A una matrice quadrata di ordine n, la matrice inversa di A, se esiste, è unica.

Question 38

Definizione matrice dei complementi algebrici

Answer 38

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisce matrice dei complementi algebrici di A la matrice M i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi di A.

Question 39

Definizione matrice aggiunta

Answer 39

Si definisce matrice aggiunta di A la matrice A* ottenuta come trasposta della matrice dei complementi algebrici di A: A* = M^t

Question 40

Teorema esistenza dell’inversa + dimostrazione CN e CS

Answer 40

Sia A quadrata di ordine n, CNES affinchè esista la matrice inversa A^-1 di A è che det(A) ≠ 0

Question 41

Proprietà dell’inversa + dimostrazione

Answer 41

Siano A,B matrici quadrate di ordine n non singolari e C conformabile con A.

1. I^-1 = I
2. Det(A^-1) = 1/det(A)
3. (A^-1)^-1 = A
4. (AB)^-1 = B^-1*A^-1
5. (A^t)^-1 = (A^-1)^t
6. Se A ≠ 0, AC = 0, allora C = 0
7. A,B,C invertibili AC = BC allora A = B
8. L’inversa di una matrice simmetrica, se esiste, è simmetrica
9. Se A è diagonale A = diag(d1, d2, d3…) ≠ 0, allora A^-1 = diag(1/d1, 2/d2…)

Question 42

Definizione matrice ortogonale

Answer 42

Una matrice P quadrata di ordine n si dice ortogonale se P^t = P^-1

Question 43

Definizione di rango o caratteristica

Answer 43

Si dice rango o caratteristica di A, e si indica con r(A), l’ordine della più grande sottomatrice quadrata non singolare di A.

1. r(A) è l’ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da A
2. r(A) è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che possiamo estrarre da A

Question 44

Teorema di Kronecker (degli orlati)

Answer 44

Se una matrice A di ordine m*n contiene una sottomatrice quadrata di ordine r, non singolare e sono nulli tutti i determinanti delle sottomatrici quadrate ottenute orlando tale sottomatrice con una qualsiasi riga e colonna di A, allora il rango di A è r.

Question 45

Proprietà del rango

Answer 45

Sia A una matrice m*n

1. r(A) = 0 se e solo se A = 0
2. r(In) = n
3. r(A) = r(A^t)
4. Se in una matrice A si scambiano tra loro alcune righe o colonne, il rango della matrice ottenuta è uguale al rango di A.
5. Se A è una matrice quadrata di ordine n, allora r(A) = n, se e solo se det(A) ≠ 0

Question 46

Teorema del sistema lineare + dimostrazione

Answer 46

Dato il sistema lineare Ax = b con A E M(m,n), se esso ammette più di una soluzione allora ne ammette infinite.

Question 47

Teorema di Rouche-Capelli

Answer 47

Dato il sistema lineare Ax = b, CNES affinchè il sistema sia consistente è che il rango della matrice A coincida con il rango della matrice A orlata con il vettore b, cioè r(A) = r(A|b)

Question 48

Teorema sistema determinato e indeterminato

Answer 48

Dato il sistema lineare Ax = b, si supponga che esso sia consistente con r(A) = r(A|b) = K con K <= min(m,n)

Allora:
se k = n il sistema è determinato
se k < n il sistema è indeterminato e ha ∞^n-k soluzioni

Question 49

Teorema di Cramer + dimostrazione

Answer 49

Il sistema lineare Ax = b con A matrice quadrata di ordine n non singolare, detto sistema di Cramer, ammette un’unica soluzione le cui componenti sono date da:

xi =Det(A^i)/Det(A)

dove A^i è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore dei termini noti.