Algebra lineare Flashcards
Definizione spazi vettoriali
Si denota con R^n l’insieme di tutte le n-ple ordinate con xj E R.
R^n è detto spazio vettoriale.
Definizione vettore
Si definisce vettore v a n componenti una n-pla ordinata di numeri.
Definizione combinazione lineare
Dati m vettori in R^n definiamo come loro combinazione lineare, qualsiasi vettore x E R, t.c.
x = (di j che va da 1 a m) Σ kj * x^j
Definizione linearmente indipendenti e dipendenti
Dati m vettori di R^n, si dice che sono linearmente indipendenti se è possibile esprimere il vettore nullo come loro combinazione lineare solo con coefficienti tutti nulli.
Si dice che sono linearmente dipendenti se è possibile esprimere il vettore nullo come loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli.
Definizione di base per spazio vettoriale
Si dice che m vettori costituiscono una base per uno spazio vettoriale se:
- sono linearmente indipendenti
- ogni vettore di R^n può essere scritto come loro combinazione lineare
Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale
Si definisce dimensione di uno spazio vettoriale il numero di vettori contenuto in una delle sue basi.
Definizione di matrice
Siano m,n due numeri interi positivi.
Una matrice reale è una tabella doppiamente ordinata di m*n numeri reali detti elementi e disposti in m righe e n colonne.
Definizione di vettore riga, colonna, scalare, stesso tipo e corrispondenti
- Vettore riga –> una matrice costituita da una sola riga
- Vettore colonna –> una matrice costituita da una sola colonna
- Scalare –> una matrice di un solo elemento
- Due matrici si dicono dello stesso tipo quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne
- In due matrici dello stesso tipo gli elementi di egual posto si dicono corrispondenti
Definizione matrice uguale, nulla, rettangolare, quadrata
- Due matrici dello stesso tipo A e B si dicono uguali se hanno uguali tutti gli elementi corrispondenti.
- Una matrice si dice nulla se sono nulli tutti i suoi elementi e si indica con A = 0
- Una matrice A(m,n) dove m≠n si dice rettangolare
- Una matrice A(m,n) dove m=n si dice quadrata e n è l’ordine della matrice
Definizione diagonale principale e secondaria
In una matrice quadrata A l’insieme degli elementi aij con i=j costituisce la diagonale principale, mentre l’insieme degli elementi a1n, a2n-1, an1 costituisce la diagonale secondaria
Definizione matrice diagonale
Una matrice quadrata di ordine n che ha nulli tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale, si dice matrice diagonale e si indica con Dn
Definzione matrice scalare
Si dice matrice scalare una matrice diagonale con a11=a22=….=ann= a
Definizione matrice identità
Si dice matrice identità e si indica con A = In una matrice quadrata di ordine n che ha uguali a 1 tutti gli elementi sulla diagonale principale e nulli tutti gli altri.
Definizione matrice triangolare superiore e inferiore
Si dice matrice triangolare superiore una matrice quadrata n in cui gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli
Si dice matrice triangolare inferiore una matrice di ordine n in cui gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli
Definizione coniugati
In una matrice quadrata A due elementi aik e aki che hanno gli stessi indici, ma in ordine inverso, si dicono coniugati; i loro posti sono simmetrici rispetto alla diagonale principale. Ogni elemento della diagonale principale è coniugato a se’ stesso.
Definizione matrice simmetrica ed emisimmetrica
Si dice matrice simmetrica una matrice quadrata in cui gli elementi coniugati sono tra loro uguali.
Si dice matrice emisimmetrica una matrice quadrata in cui gli elementi coniugati tra loro sono tra loro opposti.
Definizione matrice trasposta
Data una matrice A(m,n) si dice matrice trasposta della matrice A, la matrice A^t o A’(n,m) che si ottiene dalla A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.
Definizione di somma di due matrici
Si chiama somma di due matrici dello stesso tipo A e B, la matrice dello stesso tipo C ottenuta sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici date
Proprietà somma matrici
Siano A,B,C matrici dello stesso tipo.
- A + B = B + A
- (A+B) + C = A + (B+C)
- A + 0 = 0 + A = A
- Per ogni matrice A esiste un’unica matrice dello stesso tipo di A che sommata ad A da la matrice nulla
- Se A + C = A + B allora C = B
Definizione matrice opposta
Si chiama matrice opposta di una matrice data A la matrice dello stesso tipo -A che ha come elementi rispettivamente gli opposti di quelli di A
Definizione della differenza di due matrici
Si chiama differenza di due matrici dello stesso tipo A e B la somma della matrice A con l’opposto di B
Definizione di prodotto di una matrice per uno scalare
Data una matrice A(m,n) e un numero reale r, si chiama prodotto della matrice per il numero r, la matrice i cui elementi si ottengono moltiplicando per r tutti gli elementi di A.
Proprietà del prodotto di una matrice
Siano a,b numeri reali e A,B matrici dello stesso tipo
- (-1)A = -A
- A + (-1)A = 0
- a(A+B) = aA + aB
- (a+b)A = aA + bA
- (ab)A = a(bA)
- 1A = A
- 0A = 0
- (aA + bB)^t = aA^t + bB^t
Prodotto tra matrici
Siano A = [aij] di tipo mp e B = [bij] di tipo pn si chiama prodotto AB di A per B la matrice C = cij di tipo m*n i cui elementi sono definiti come segue:
Cij = Σ aik*bkj
Proprietà
- A(BC) = (AB)C
- (A+B)C = AC + BC
- C(A+B) = CA + BC
- amda(AB) = (amdaA)B = A(amdaB)
- (aA + uB)C = aAC + uCB
- A0 = 0
- 0A = 0
- Se A è quadrata AI = IA = A
- (AB)^t = B^tA^t
- Se A e B sono matrici diagonali dello stesso ordine, anche C = AB è diagonale dello stesso ordine
Dimostrazione non validità delle legge di semplificazione
Se AB = AC –> AB - AC = 0
A(B-C) = 0 siccome non vale la legge di annullamento del prodotto
-x-> A = 0
B - C = 0 –> B = C
Potenza ad esponente intero di una matrice
Sia A quadrata di ordine n e sia p un numero intero positivo. Si definisce potenza p-esima di una matrice:
A^p = AAAAAAA…AAA p volte
Proprietà esponente di una matrice
Sia A quadrata di ordine n, e siano p, q interi positivi.
- A^pA^q = A^p+q = A^qA^p
- (A^p)^q = A^p*q
Definizione sottomatrice
Data una matrice A di ordine m*n si definisce sottomatrice di A una matrice che si ottiene da A eliminando alcune righe e/o alcune colonne, senza cambiarne l’ordine
Definizione determinante per ricorrenza
n = 1 –> Sia k uno scalare. Allora Det(k)=K
n-1 –> supponiamo noto, data una qualsiasi matrice quadrata di ordine n-1 il suo determinante
n –> allora per ogni A E M(n,n) vale
Det(A) = Σ (-1)^1+j * a1j * Det(Aij)
Definizione determinante pari, dispari, minore complementare e complemento algebrico
- aij si dice pari o dispari rispettivamente se i+j è pari o dispari
- det(Aij) è detto minore complementare dell’elemento aij
- Mij = -1^i+j * det(Aij) è detto complemento algebrico dell’elemento aij
Teorema di Laplace 1
Sia A una matrice quadrata di ordine n, il suo determinante si può calcolare come la somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna della matrice per i rispettivi complementi algebrici.
Teorema di Laplace 2 + dimostrazione
In una matrice quadrata la somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un’altra riga (o colonna) è uguale a zero.
Σ aik * Mjk = 0
Proprietà del determinante + dimostrazioni
- Det(A^t) = det(A)
- Se A ha una riga (colonna) di zeri –> det(A) = 0
- Se gli elementi di una riga o colonna di A vengono moltiplicati per uno scalare K, allora il determinante della matrice ottennuta è KDet(a)
Se tutti gli elementi di A vengono moltiplicati per uno scalare K, allora il determinante della matrice ottenuta è K^nDet(A) - Se la matirce A ha due righe o due colonne uguali –> det(A) = 0
- Se A* ha due righe o due colonne proporzionali –> det(A*) = 0
- Se si scambiano tra loro due righe o colonne di A, allora il determinante della matrice ottenuta è uguale al determinante di A cambiato di segno.
- Det(Ab) = Det(A)*Det(B) (teorema di Binet)
- Il determinante di una matrice diagonale o triangolare è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale
Definizione matrice inversa
Sia A una matrice quadrata di ordine n, si definisce inversa di A, se esiste, una matrice quadrata dello stesso ordine, che pre moltiplicata o post moltiplicata per A da’ come risultato la matrice identità, cioè t.c. AB = BA = In
Definizione matrice invertibile
Sia A una matrice quadrata di ordine n, la matrice A si dice invertibile o non singolare se esiste una matrice B, t.c. AB = BA = In.
Tale matrice B, se esiste, è necessariamente quadrata di ordine n, ed è detta inversa di A e si indica con A^-1
Teorema di unicità + dimostrazione
Sia A una matrice quadrata di ordine n, la matrice inversa di A, se esiste, è unica.
Definizione matrice dei complementi algebrici
Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisce matrice dei complementi algebrici di A la matrice M i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi di A.
Definizione matrice aggiunta
Si definisce matrice aggiunta di A la matrice A* ottenuta come trasposta della matrice dei complementi algebrici di A: A* = M^t
Teorema esistenza dell’inversa + dimostrazione CN e CS
Sia A quadrata di ordine n, CNES affinchè esista la matrice inversa A^-1 di A è che det(A) ≠ 0
Proprietà dell’inversa + dimostrazione
Siano A,B matrici quadrate di ordine n non singolari e C conformabile con A.
- I^-1 = I
- Det(A^-1) = 1/det(A)
- (A^-1)^-1 = A
- (AB)^-1 = B^-1*A^-1
- (A^t)^-1 = (A^-1)^t
- Se A ≠ 0, AC = 0, allora C = 0
- A,B,C invertibili AC = BC allora A = B
- L’inversa di una matrice simmetrica, se esiste, è simmetrica
- Se A è diagonale A = diag(d1, d2, d3…) ≠ 0, allora A^-1 = diag(1/d1, 2/d2…)
Definizione matrice ortogonale
Una matrice P quadrata di ordine n si dice ortogonale se P^t = P^-1
Definizione di rango o caratteristica
Si dice rango o caratteristica di A, e si indica con r(A), l’ordine della più grande sottomatrice quadrata non singolare di A.
- r(A) è l’ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da A
- r(A) è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che possiamo estrarre da A
Teorema di Kronecker (degli orlati)
Se una matrice A di ordine m*n contiene una sottomatrice quadrata di ordine r, non singolare e sono nulli tutti i determinanti delle sottomatrici quadrate ottenute orlando tale sottomatrice con una qualsiasi riga e colonna di A, allora il rango di A è r.
Proprietà del rango
Sia A una matrice m*n
- r(A) = 0 se e solo se A = 0
- r(In) = n
- r(A) = r(A^t)
- Se in una matrice A si scambiano tra loro alcune righe o colonne, il rango della matrice ottenuta è uguale al rango di A.
- Se A è una matrice quadrata di ordine n, allora r(A) = n, se e solo se det(A) ≠ 0
Teorema del sistema lineare + dimostrazione
Dato il sistema lineare Ax = b con A E M(m,n), se esso ammette più di una soluzione allora ne ammette infinite.
Teorema di Rouche-Capelli
Dato il sistema lineare Ax = b, CNES affinchè il sistema sia consistente è che il rango della matrice A coincida con il rango della matrice A orlata con il vettore b, cioè r(A) = r(A|b)
Teorema sistema determinato e indeterminato
Dato il sistema lineare Ax = b, si supponga che esso sia consistente con r(A) = r(A|b) = K con K <= min(m,n)
Allora:
se k = n il sistema è determinato
se k < n il sistema è indeterminato e ha ∞^n-k soluzioni
Teorema di Cramer + dimostrazione
Il sistema lineare Ax = b con A matrice quadrata di ordine n non singolare, detto sistema di Cramer, ammette un’unica soluzione le cui componenti sono date da:
xi =Det(A^i)/Det(A)
dove A^i è la matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore dei termini noti.
