Sistemi lineari Flashcards
Come è definito un sistema lineare?
Quando un sistema è omogeneo o non omogeneo?
Come si scrive un sistema in forma matriciale?
Un sistema di n operazioni in n incognite del tipo:
{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
….
{am1x1+am2x2+…+amnxn=bn
con coefficienti aij, incognite xi, termini noti bj
si dice sistema lineare.
Tutte le grandezze coinvolte possono essere reali o complesse.
Il sistema si dice omogeneo se b1=b1=…=bm=0, non omogeneo se almeno uno dei bi è non nullo.
Poniamo A:=(aij), i=1,…,m j=1,…,n app. Mm,n
bvettore:=(b1 …. bn), xvettore:=(x1 … xn) app. Rn
Il sistema si scrive in forma matriciale come Ax=b
Teorema su sistemi lineari a n incognite e n equazioni dove detA della matrice associata !=0
Sia A app. Mm,n : detA!=0.
Allora il sitema Ax=b ha una e una sola soluzione data da x=A^-1*b
Teorema di Cramer.
Sia A app. Mm,n : detA!=0
Sia b app. Rn
Allora l’unica soluzione x=A^-1*b può essere scritta in componenti come segue:
Sia Bi=(a11 a12 … b1 …. a1n
a21 a22 … b2 … a2n
an1 an2 … bn … ann) per ogni i=1, … , n dove A=(aij)
e xi=detBi/detA per ogni i=1, … , n
Teorema sulle soluzioni di un sistema omogeneo.
Sia A app. Mn,n t.c. detA=0
Allora il sistema omogeneo Ax=0 ha infinite soluzioni
Teorema sulle soluzioni di un sistema non omogeneo con detA=0
Sia A app. Mn,n t.c. detA=0
Sia bvettore app. Rn
SI assuma che il sistema Ax=b ammetta almeno una soluzione x1vettore
Allora tale sistema ammette infinite soluzioni x date da x=x1+X0 dove x0 è soluzione del sistema omogeneo Ax=0
Come sono definiti nucleo e immagine di un’applicazione lineare?
Sia L:Vn–>Vm lineare
Definisco
IMMAGINE DI L: Im(L):={v app. Vm : esiste u pp. Vn con L(u)=v}
NUCLEO DI L: Ker(L):={u app. Vn : L(u)=0}
Teorema su nucleo e immagine di un’applicazione lineare.
Vale che:
1) Im(L) è un sottospazio di Vm
2)Ker(L) è un sottospazio di Vn
3) Sia A app. Mm,n una matrice che rappresenta L in opportune basi:
dim(Im(L))=rk(A)
Teorema di nullità più rango. Enunciato.
Sia L:Vn–>Vm lineare
Allora dim(Im(L))+dim(ker(L))=n
dove, per un teorema precedente, dim(Im(L))=rkA
Teorema di nullità più rango. Dimostrazione.
Vedi appunti.
Definizione di un’applicazione lineare suriettiva, iniettiva, biunivoca.
Sia L:Vn–>Vm.
Dico che L è suriettiva se Im(L)=Vm.
Dico che L è iniettiva se ker(L)=0vettore. Questo basta a dimostrare che se due oggetti hanno la stessa immagine allora coincidono.
Dico che L è biettiva, o invertibile, se essa è sia iniettiva che suriettiva
Nel caso n=m, dim(Im(L))=n, ovvero dim(ker(L))=0, ovvero Ker(L)=0vettore, ovvero nel caso n=m L lineare è iniettiva se e solo se L è suriettiva.
Teorema di Rouchè-Capelli.
Sia A app. Mm,n
Sia b app. Rm
Il sistema Ax=b ammette soluzioni se e solo se rk(A)=rk(A|b)
Come cambiano le componenti di un fissato vettore se cambia la base di riferimento?
Si consideri V=Rn, riferito alla base canonica e1,…,en
- Scelgo altri n vettori linearmente indipendenti e1’, … ,en che rappresentano quindi una nuova base per Rn
-Sia poi S la matrice ottenuta accostanto e1’ , … ,en’
- Vale che Sei=ei’
-i vettori ei’ sono per ipotesi indipendenti, quindi detS!=0 e dunque esiste s^-1
-posso affermare che se v app. Rn ha coordinate x=(x1, … ,xn) nella base canonica, allora esso ha, nella nuova base ei’, coordinate x’=S^-1x
-si noti che, scritto S=sij, vale che si,j=(e’j)i
- quindi da x=sommatoria per j che va da 1 a n(x’je’j) si ottiene xi=sommatoria per j che va da 1 a n(x’j(e’j)i)
-dunque xi=sommatoria per j che va da 1 a n(i’jsi,j) ovvero x=Sx’
Si assuma che valga y=Ax dove i vettori sono intesi in base canonica.
-dovrà allora essere che y’=S^-1y=S^-1Ax=S^-1ASx’
-ne segue che l’applicazione lineare rappresentata da A nella base canonica è rappresentata da S^-1AS nella base e1’, … ,en’
Come è definita una matrice diagonalizzabile?
Sia A app. Mn,n a elementi in K
Dico che A è diagonalizzabile su K se esistono due matrici LAMBDA diagonale, S invertibile, entrambe a elementi in K t,.c. LAMBDA=S^-1AS
Come sono definiti autovalori e autovettori di una matrice A?
Sia A app. Mn,n a elementi in K
Sia lambda app. C, v app. Cn, v!=0 : Av=lambdav
Dico che v è un autovettore di A relativo all’autovalore lambda
Teorema sull’autospazio relativo all’autovalore lambda di una matrice A.
Siano A app. Mn,n, lambda app. C
Se esistono autovettori di A relativi all’autovalore lambda all’ora l’insieme di tali autovettori è un sottospazio di Cn detto autospazio relativo all’autovalore lambda, se unito all’elemento 0vettore