Geometria analitica nello spazio Flashcards
Come si definisce l’operazione di somma tra vettori in R3?
Con la regola del parallelogramma
Come si definisce il prodotto scalare tra due vettori?
Siano u,v app. R.
Si pone uv:=|v||u|cos(alfa)
dove, posto ad esempio u=(u1, u2, u3), si è posto che |u|=rad(somma delle componenti al quadrato)
Il prodotto appena definito gode delle seguenti proprietà, per ogni u, w, v app. R3, per ogni lambda app. R
1)COMMUTATIVA: uv = vu
2)DISTRIBUTIVA: u(v+w)=uv + uw
3)ASSOCIATIVA: (lambdau)v=lambda(uv)
4)MODULO: uu =|u|^2
Si dimostra inoltre che u*v=somma dei prodotti delle componenti
Come si definisce il prodotto vettoriale?
Siano u,v app. R3.
Il loro prodotto vettoriale, indicato con u x v è il vettore che soddisfa le seguenti proprietà:
1) MODULO: |u x v| = |u||v|sin(alfa)
2) DIREZIONE: u x v è ortogonale al piano che contiene u e v
3) VERSO: u, v, u x v formano una terza destrorsa di vettori
Valgono le seguenti proprietà: per ogni u, v, w, app. R3, per ogni lambda app. R
1)ANTISIMMETRIA: u x v = -(v x u)
2)DISTRIBUTIVA: u x (v + w) = u x v + u x w
3)ASSOCIATIVA: (lambdau) x v = lambda(u x v)
Quali sono le proprietà geometriche del prodotto vettoriale?
1) il modulo del prodotto corrisponde all’area del parallelogramma formato dai due vettori in punta-coda
2)Se 2 vettori u,w,v non sono complanari e sono applicati nello stesso punto, il prodotto misto tra i tre, ovvero u*(v x w), coincide con l’area del parallelepipedo formato dai tre in punta coda
Come si scrive il prodotto vettoriale in termini di componenti cartesiane?
Vedi appunti.
Come si scrive l’equazione parametrica di una retta in R3?
- Considero un punto P0 della retta
- considero un vettore v che sia parallelo alla retta ma fissato nell’origine: questo viene detto “vettore direzione” della retta
- un generico punto appartenente alla retta ha equazione P = P0 + tv con t app. R opportuno
Si scrive quindi la rappresentazione parametrica della retta, in componenti
Come si scrive l’equazione cartesiana di una retta in R3?
Si consideri la rappresentazione cartesiana di una retta: si ricavi t da ognuna delle equazioni del sistema e si eguaglino le 3 espressioni ottenute: si trova così l’equazione cartesiana della retta.
Come si identifica una retta assegnando 2 punti distinti che vi appartengono?
- Si identifica il vettore direzione della retta ponendo v:=P1 - P0
Si scrive la retta in forma parametrica.
Quando due rette sono parallele?
Due rette sono parallele quando i loro due vettori direzione sono proporzionali, ovvero esiste lambda diverso da 0 : (a,b,c)=lambda(alfa, beta, gamma)
Inoltre, il loro prodotto vettoriale è nullo.
Quando due rette sono perpendicolari?
Dico che due rette in R3 sono perpendicolari se detti v1 e v2 i loro vettori direzione questi sono perpendicolari, ovvero:
v1 * v2 = 0
Le rette così definite non sono necessariamente incidenti: devo quindi specificarlo.
Quando due rette sono incidenti?
r1 e r2 si intersecano se e solo se esistono t,s app. R t.c. (uguaglanza delle forme parametriche)
Come si individua l’equazione di un piano in R3 assegnando un suo punto P0 e un vettore n perpendicolare a tale piano?
Individuo un piano pigreco, un punto P0 appartenente al piano, il vettore n perpendicolare al piano.
Un generico punto P appartiene al piano pigreco se e solo se (P-P0)n=0
Scriviamo tale condizione in forma analitica:
- Siano P = (x,y,z), P0 =(x0, y0, z0), n=(a, b, c)
- deve valere che (P - P0)n = 0 e ciò accade se e solo se (x - x0)a + (y - y0)b + (z - z0)c = 0 cioè ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
- Dunque l’equazione generale di un piano in forma cartesiana è: ax + by + cz = d con d sopra definito.
- n:=(a,b,c) è un vettore normale al piano considerato e d = n*P0 per un opportuno P0 app. pigreco.
Come si individua un piano assegnando 3 punti non allineati ad esso appartenenti?
Siano P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) punti assegnati
- si definiscono v1:= p0 - P1 e v2:=P2 - P1
- per ipotesi v1 e v2 non sono paralleli, dal momenti che P0, P1 e P2 non sono allineati
- definiscono n:= v1 x v2 , vettore perpendicolare al piano assegnato
- si procede avendo il vettore normale al piano
Come individuare un piano assegnando 2 rette appartenenti ad esso e tra loro incidenti?
- Siano le due rette r1 e r2 non parallele scritte in formula parametrica e sia P0 l’unico punto di intersezione di tali rette.
- allora un vettore normale al piano delle due rette è dato da n:= v1 x v2
E’ possibile usare l’equazione di due piani non paralleli per individuare una retta?
Si: una retta può essere individuata come intersezione di piani non paralleli, cioè come sistema.
Il vettore direzione della retta sarà n:= n1 x n2
Quando due piani sono paralleli?
Due piani sono paralleli quando i due vettori normali ai piani considerati sono proporzionali, ovvero paralleli, ovvero esiste lambda app. R t.c. (a,b,c)=lambda(alfa, beta, gamma), ovvero n1 x n2 = 0
Quando due piani sono perpendicolari?
Due piani sono paralleli quando i due vettori normali ai piani considerati sono perpendicolari, ovvero v1 * v2 = 0
Come si definisce lo spazio euclideo n-dimensionale?
Rn := {(x1, x2, x3, x4,…,xn), x1, x2, x3, … , xn app. R} e le n-uple si intendono ordinate.
Gli elementi di Rn si indiano con il simbolo dei vettori.
Quali operazioni sono definite su Rn?
Se v=(v1,v2,v3, …, vn), w=(w1, w2, … , wn), lambda app. R, si pone:
- v + w := (v1+w1, … , vn + wn) detta SOMMA DI VETTORI
- lambdav = (lambdav1, … , lambda*vn) detta MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE
Quali proprietà valgono su Rn?
per ogni u, v, w app. Rn, per ogni lambda,n app. R
1) ASSOCIATIVA: u + (v + w) = (u + v) + w
2)COMMUTATIVA: u+v = v + u
3) esiste un elemento app. Rn, indicato con zerovettore, t.c. v + zerovettore = v
4) per ogni v app. Rn esiste un elemento di Rn indicato con -v t.c. v + (-v) =0
5) ELEMENTO NEUTRO DEL PRODOTTO: 1vettore * v = v
6) lambda(uv) = (lambdau)v
7) lambda(u + v) = lambdav + lambdau
8) (lambda + u)v = lambdav + uv
Come è definito uno spazio vettoriale in Rn?
Sia V un insieme.
Dico che V è uno spazio vettoriale su R (risp. su C) se sono definite
- un’operazione detta SOMMA che associa a u,v app. V un altro elemento di V indicato con u+v
-un’operazione detta PRODOTTO di un vettore e di uno scalare, ndicata con lambdav che associa a v app. V, lambda app. R (risp. C), un altro elemento di V indicato con lambdav
Si richiede inoltre che valgano le seguenti proprietà: per ogni u,v,w app. V, per ogni lambda, n app. R
1) (u+v) + w = u + (v+w)
2) u + v = v + u
3) esiste un elemento di V indicato con zerovettore t.c. v + zerovettore = v
4) per ogni u app. V, esiste un elemento di V indicato con -u t.c. u+ (-u) = 0
5) 1vettore * u = u
6)lambda(u + v) = lambdau + lambdav
7)lambda(uv)=(lambdau)v
8)(lambda + u)v =lambdav + u*v
Gli elementi di uno spazio vettoriale vengono detti vettori.
Rn è uno spazio vettoriale.
Si mostra che anche Cn è uno spazio vettoriale.
Come è definito un sottospazio di uno spazio vettoriale?
Sia V spazio vettoriale su R (o su C)
Dico che W contenuto o coincidente con V è un SOTTOSPAZIO di V se W è a sua volta uno spazio vettoriale su R, cioè se
per ogni u,v app. W, per ogni lambda,n app. R (o a C) vale che lambdau + nv app.W
Quando due vettori sono tra loro linearmente dipendenti o indipendenti?
Sia V spazio vettoriale su K (K coinc. R oppure K coinc. con C) e siano lambda1, … , lambdan elementi di questo K.
Siano poi v1, …, vn app. V. La combinazione lineare di v1, … , vn con coefficienti lambda1, … , lambdan è il vettore lambda1v1, … , lambdanvn
Dico che v1, … , vn sono tra loro linearmente dipendenti se esistono lambda1, … , lambdan non tutti nulli t.c. lambda1v1 + … + lambdanvn = 0
Dico invece che v1, … , vn sono tra loro linearmente indipendenti se, al contrario, lambda1v1 + … + lambdanvn = 0 se e solo se lambda1 = … = lambdan = 0, ovvero l’unica combinazione possibile è quella con coefficienti nulli
Come è definita la base di uno spazio vettoriale?
Dico che v1, … , vn app. V sono una base di V se:
1) v1, … , vn sono tra loro vettori linearmente indipendenti
2) per ogni v app. V esistono lambda1, … , lambdan app. K t.c. v = lambda1v1 + … + lambdanvn
Teorema sulla base di uno spazio vettoriale.
Sia V spazio vettoriale e siano v1, … , vn app. V una base di V, composta da n vettori.
Allora ogni base di V è composta da n vettori.
Se V spazio vettoriale ammette una base composta da n elementi, allora l’intero n viene detto dimensione di V.
Esistono spazi vettoriali che non ammettono alcuna base nel senso precedente.
Come è definito uno spazio vettoriale con prodotto scalare?
Sia V uno spazio vettoriale reale.
Si assuma definita un’operazione che a coppie di vettori v,w app. V associa un numero reale indicato con vw app. R
Si assuma che valgano le seguenti proprietà:
1) vw=wv
2)u(v+w)=uv + uw
3)(lambdav)w = lambda(vw)
4)vv >= 0 per ogni v app. V, e inoltre v*v = 0 se e solo se v = 0
Proprietà del modulo di un vettore. Enunciato.
Sia V spazio vettoriale con prodotto scalare.
Si definisca |v| := rad(vv)
Valgono allora le seguenti proprietà:
- |v|>=0 , per ogni v app. V e |v|=0 se e solo se v=0
- |lambdav| =|lambda||v|
- |uv|<=|u|*|v|
- |u + v| <= |u| + |v|
Dimostrazione della Disuguaglanza di Cauchy-Schwartz.
Vedi appunti.
Come è definita una base ortonormale?
Sia V spazio vettoriale con prodotto scalare.
Si assuma che v1, … , vn app. V siano una base di V.
Dico che tale base è ortonormale se vi*vj=0 per ogni i!=j
e inoltre |vi|=1 per ogni i
Come è definita un’applicazione lineare tra spazi vettoriali?
Siano V1 e V2 spazi vettoriali sullo stesso campo K. Sia L:V1 –>V2
Dico che L è lineare se vale L(lambdav1 + muv2)=lambdaL(v1) + muL(v2)
Per ogni lambda, mu app. K, per ogni v1,v2 app. V1
