Derivate e calcolo differenziale Flashcards
Come è definita una funzione derivabile in un punto?
Come è definita una funzione derivabile in un intervallo?
Sia f:(a,b)–>R.
f si dice derivabile in x0 app- (a,b) se lim per h–>0 di (f(xo+h)-f(x0))/h esiste finito.
Una funzione si dice derivabile in (a,b) se lim per h–>0 di (f(xo+h)-f(x0))/h esiste finito per ogni x0 app. ad (a,b)
Come è definita la retta tangente al grafico di f in x0?
Sia f:(a,b)–>R derivabile in x0 app. (a,b).
La retta y= f(x0) + f’(x0)[x - x0] è detta retta tangente al grafico di f nel punto (x0, f(x0)).
Teorema sulla continuità di funzioni derivabili.
Sia f:(a,b)–>R derivabile in x0 app. (a,b).
Allora f è continua in x0.
Quali sono i tipi di punti di non derivabilità?
1) punto angoloso
2) cuspide
3) flesso a tangente verticale
4) il limite del rapporto incrementale non esiste
Teorema sulla derivata della somma, del prodotto, del rapporto
Siano f,g: (a,b)–>R derivabili in x0 app. (a,b)
Allora sono derivabili in x0:
- la funzione af + bg con D (af + bg) = af’(x0) + bg’(x0)
- la funzione fg e vale Dfg = f’(x0)g(x0) + f(x0)g’(x0)
- la funzione f/g e vale (derivata del prodotto)
Definizione di differenziabilità.
Sia f: (a,b) –> R, x0 app. (a,b)
Dico che f è differenziabile in x0 se esiste L app. R tale che
f(xo+h)=f(x0) + L*h + o(h) per h–>0
Teorema su derivabilità e differenziabilità.
Sia f:(a,b) –> R, x0 app. (a,b)
Allora:
- se f è derivabile in x0 allora f è differenziabile in x0 e vale L=f’(x0)
- se f è differenziabile in x0 allora f è derivabile in x0 e vale f’(x0)=L
Teorema sulla derivata della funzione composta. Enunciato.
Sia f:(a,b)–>(c,d) e g:(c,d) –> R
Si assuma f derivabile in x0 app. (a,b), g derivabile in f(x0) app. (c,d)
Allora la funzione composta g comp. f è derivabile in x0 e vale (g comp. f)’(x0) = g’(f(x0))*f’(x0)
Teorema sulla derivata della funzione composta. Dimostrazione.
Vedi appunti.
Teorema sulla derivata della funzione inversa.
Sia f:(a,b)–>R continua e strettamente monotona.
Sia f derivabile in x0 app. (a,b) con f’(x0)!=0
Allora la funzione inversa di f è ben definita in un opportuno intorno di y0 = f(x0), ed essa è inoltre derivabile in y0.
Vale: g:= f^-1 –> g’(y0)=1/f’(x0)
Come sono definiti i punti di massimo e minimo relativo di una funzione f.
Sia f: (a,b)–>R e sia x0 app. (a,b)
Dico che x0 è punto di massimo relativo (rispettivamente di minimo relativo) se esiste delta>0 : f(x0)>=f(x) [risp. f(x0)<=f(x)] per ogni x app. (x0 - delta, x0 + delta)
Teorema di Fermat.
Sia f:(a,b)–>R derivabile in x0 app. (a,b).
Si assuma che x0 sia punto di massimo (o di minimo) relativo per f
Allora f’(x0) = 0
OSSERVAZIONE: esistono punti la cui derivata vale 0, che non sono però punti di massimo o minimo relativi.
Teorema di Rolle.
Sia f:[a,b]–>R continua in [a,b], derivabile in (a,b)
Sia f(a)=f(b)
Allora esiste almeno un c appartenente ad (a,b) tale che f’(c)=0. Tale punto è detto punto stazionario per f.
Teorema di Cauchy.
Siano f,g : [a,b]–>R continue su [a,b]
Allora esiste c app. (a,b) tale che [f(b)-f(a)]g’(c)=[g(b)-g(a)]f’(c)
Teorema di Lagrange. (Teorema dei valori medi)
Sia f:[a,b] continua in [a,b], derivabile in (a,b).
Allora esiste c app. (a,b) tale che f’(c)=(f(a)-f(b))/a-b
Quali sono le applicazioni del teorema di Lagrange?
1) Test di monotonia
2) Test della costanza
3) Funzioni con derivata uguale differiscono per una costante
4) Proprietà dei valori intermedi per le derivate
In cosa consiste il test di monotonia?
Sia f:(a,b) –> R derivabile in (a,b)
Allora f è crescente (rispettivamente decrescente) in (a,b) se e solo se f’(x0)>=0 (rispettivamente <=0) per ogni x0 app. (a,b)
In cosa consiste il test di costanza?
Sia f:(a,b)–>R derivabile in (a,b)
Allora f è costante in (a,b) se e solo se f’(x)=0 per ogni x app. ad (a,b)
Cosa è possibile affermare sulle funzioni con derivata uguale?
Se f,g:(a,b)–>R sono derivabili in (a,b) e f’(x)=g’(x) per ogni x app. (a,b)
Allora esiste k app. R : f(x) = g(x) + k per ogni x app. (a,b). Le due funzioni differiscono per una costante.
Cosa sono le proprietà dei valori intermedi per le derivate?
Sia f:(a,b)–>R derivabile in (a,b)
Siano x1, x2 app. (a,b) fissati
Allora f’ assume tutti i valori compresi tra f’(x1) e f’(x2), nell’intervallo (x1, x2)
Teorema di De L’Hospital. Enunciato.
Siano f,g:(a,b)–>R, con -inf<=a<b<=+inf
Si assuma, inoltre:
-lim x–>a+ di f(x) = lim x–>a+ di g(x) = 0 (oppure +-inf), ovvero che esista una forma di indecisione nel lim x–>a+ di f(x)/g(x)
-f,g derivabili in (a,b) e g’(x)!=0 per ogni x app. ad (a,b)
-lim x–>a+ di f’(x)/g’(x) = L app. R U (+-inf), ovvero che esista il limite per x–>a+ del rapporto delle derivate di f,g
Allora lim x–>a+ di f(x)/g(x) = L
Analoghi risultati valgono per lim x–>b- di f(x)/g(x)
Teorema di De L’Hospital. Dimostrazione del caso 0/0.
Vedi appunti.
Teorema su Polinomio di Taylor.
Sia n app. N e f:(a,b)–>R derivabile n volte in x0 app. (a,b)
Allora esiste uno e un solo polinomio tn(x) di grado <=n che ha in x0 un punto di contatto di orgine n con f
Tale polinomio è:
tn(x)=Sommatoria per k da 0 a n di: [f^k (x0)/k!]*(x-x0)^k
LEMMA:
Sia tn(f) il polinomio di Taylor di ordine n di f, centrato in un punto x0 fissato
Allora D[tn(f)]=tn-1(f’) per ogni n>=1 con t0(f):=f(x0)
Teorema della formula di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Enunciato.
Sia n app. N e f:[a,b]–>R derivabile n volte in x0 app. (a,b).
Sia tn il suo polinomio di Taylor du ordine n centrato in x0.
Allora:
1)f(x)=tn(x)+o(x-x0)^n per x–>x0 [formula di Taylor con resto di Peano]
2) Se inoltre f è derivabile n+1 volte in (a,b)
Allora si ha che per ogni x app. (a,b) f(x)=tn(x) + [f^(n+1)(c)/(n+1)!]*(x-x0)^(n+1) per un opportuno c app (x, x0) [formula di Taylor con resto di Lagrange]
Teorema della formula di Taylor con resto di Lagrange. Dimostrazione.
Vedi appunti
Come si determina la natura dei punti stazionari di una funzione?
Sia n app. N e n>1.
Sia f:(a,b)–>R derivabile n volte in x0 app. (a,b) e sia f’(x0)=f’‘(x0)=…=f^(n-1)(x0)=0 ma f^n!=0
Allora:
- Sia n pari: se f^n(x0)>0 (rispettivamente f^n(x0)<0) f(x0) è punto di minimo relativo (rispettivamente massimo relativo) per f
- Sia n dispari: x0 non è punto di estremo relativo
Come è definito un insieme convesso?
Sia A contenuto in Rn.
Dico che A è convesso se per ogni x1,x2 punti appartenenti ad A il segmento che li congiunge è interamente contenuto in A.
Cioè se s(t)=x1 + t(x2-x1) , t app [0,1] è interamente contenuto in A
Come è definito l’epigrafico di una funzione?
Sia f:I–>R, con I intervallo.
L’epigrafico di f è definito come:
epi(f):= {(x,y)app R2, x app. I, y>=f(x)}
ESSENZIALMENTE: la parte di piano al di sopra della funzione
Quando una funzione è definita convessa (rispettivamente concava)?
Sia f:I–>R, con I intervallo.
Dico che f è convessa (rispettivamente concava) su I se epi(f) è un insieme convesso (rispettivamente, se epi(-f) è un insieme convesso).
Teorema su concavità/convessità , continuità e derivabilità
Sia f:(a,b)–>R, convessa o concava su (a,b)
Allora:
-f è continua su (a,b)
- per ogni x0 app. (a,b) esiste f’+(x0) e f’-(x0)
NB: la tesi è in generale falsa in x=a, x=b se si ponte l’intervallo chiuso
Teorema su concavità e convessità e retta tangente al grafico di f in un punto.
Sia f: (a,b)–>R convessa (rispettivamente concava) in (a,b)
Si assuma che f sia derivabile in x0
Allora la retta tangente al grafico di f in (x0,f(x0)) sta non strettamente sopra (risp. sotto) il grafico di f in (a,b)
Teorema su concavità/convessità e derivata prima e seconda.
Sia f:(a,b)–>R
1) Se f è derivabile in (a,b), f è convessa (rispettivamente concava) in (a,b) se e solo se f’ è crescente (rispettivamente decrescente) in (a,b)
2) Se f è due volte derivabile in (a,b), f è convessa (rispettivamente concava) in (a,b) se e solo se f’‘(x0)>=0 (rispettivamente f’‘(x0)<=0) su (a,b)
Come è definito un punto di flesso di f?
Sia f:(a,b)–>R, x0 app. (a,b)
Si assuma f derivabile in x0, oppure che la derivata valga +-inf
Dico che x0 è punto di flesso per f se esiste epsilon>0 : f è strettamente convessa in [x0, x0+epsilon] e strettamente concava in [x0-epsilon, x0], e viceversa
