Matrici Flashcards
Come è definita una matrice?
Una matrice è una collezione finita di numeri reali e complessi ordinati per righe e colonne.
Indico con Mm,n lo spazio delle matrici con m righe e n colonne.
Come è definita la somma tra matrici?
Siano Ai,j, Bi,j, A,B app. Mm,n ovvero matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.
Definisco A+B app. Mm,n come la matrice di elementi Ai,j+Bi,j
Come è definita la moltiplicazione tra uno scalare e una matrice?
Sia A app. Mm,n, lambda app. K
Definisco lambda*Am,n come la matrice che ha elementi lambdaAi,j
Come è definito il prodotto tra matrici?
Quali sono le sue proprietà?
Siano A app. Mm,n, B app. Mn,k
Definisco il prodotto A*B app. Mm,k. Esso è la matrice i cui elementi (ci,j) sono definiti come:
ci,j = sommatoria per l che va da 1 a m ( ai,l * bl,j)
Il prodotto tra matrici in generale non è commutativo. Valgono però le seguenti proprietà, se i prodotti e le somme scritte hanno senso:
1) A(BC) = (AB)C
2) A(B+C) =AB + AC
3) Sia A app. Mm,n e sia [MATRICE IDENTITA’] app. Mn,n
Vale allora che AI=IA
4) (AB)t =Bt*At
5) (A+B)t = At + Bt
Come è definita la trasposta di A?
Sia A app. Mm,n.
La matrice trasposta di A, indicata con At, è la matrice app. Mn,m ottenuta le righe con le colonne di A.
Teorema di rappresentazione. Enunciato.
Siano Vn, Vm spazi vettoriali di dimensione N e M rispettivamente, N,M app. N, entrambi sullo stesso tipo di campo K.
Sia L:Vn–>Vm un’applicazione lineare.
Siano fissate una base u1, … , un in Vn e una base v1, … , vm in Vm.
Si scriva dunque, dato un qualsiasi u app. Vn:
- u =x1u1 + … xnun
- L(u)=y1v1 + … + ymvm
Allora esiste una e una sola matrice A app. Mm,n che rappresenta L nel senso che y=Ax
Teorema di rappresentazione. Dimostrazione.
Vedi appunti.
Come si calcola il determinante di una matrice quadrata A app. Mn,n?
- Il minore complementare Mi,j di un elemento di ai,j di A è definito come il determinante della matrice (N-1)x(N-1) ottenuta da A cancellando la rica e la colonna relativa a ai,j
- Il complemento algebrico di un elemento ai,j di A è definito da Ai,j:=(-1)^(i+j)*Mi,j
Il determinante di A è quindi definito come segue:
-si fissi, ad esempio, la riga K, e si ponga: det A:= ak,1Ak,1 + … ak,nAk,n
-alternativamente, si fissi la colonna ad esempio h, e si scriva det A := a1,hA1,h + … + an,hAn,h
Teorema di Laplace.
Sia A app. Mn,n. Il detA non dipende dalla riga, o dalla colonna scelta?
Quali sono le proprietà del determinante?
Sia A app. Mn,n. Allora:
1) Se A ha una riga, o una colonna, di zeri il detA=0
2)Scambiando tra loro due righe o due colonne il detA cambia segno
3)Se A ha due righe o 2 colonne uguali allora detA=0
4)Il det è lineare in ciascusa sua riga o colonna
5)Se a una riga (risp. colonna) si aggiunge una combinazione lineare delle altre righe (risp. colonne) il determinante non cambia
6)Se le righe, o le colonne, di A sono vettori tra loro linearmente dipendenti allora detA=0
7)det(lambdaA)=lambda^ndetA
8)det(AB)=detAdetB
Dimostrazione delle proprietà 1-6 del determinante.
Vedi appunti.
Teorema sulla matrice estratta.
1) n vettori di Rn sono tra loro linearmente indipendenti se e solo se la matrice A che si ottiene accostandoli è t.c. detA!=0
2) Siano a1, … ar r vettori (ad esempio riga) di Rn, con r<N
Sia A app. Mr,n la matrice che si ottiene accostandoli.
Allora tali vettori sono tra loro linearmente dipendenti se e soltanto se per ogni Mr,r estratta da A essa ha det=0.
Sono tra loro linearmente indipendenti se e soltanto se almeno una tale matrice ha det!=0
Come è definito il rango di una matrice?
Sia A app. Mm,n e sia k<=min(m,n)
Si dice minore di ordine k estratto da A il det di una qualsiasi sottomatrice kxk estratta da A.
Si definisce il rango di A l’intero r: esiste un minore di ordine r estratto da A non nullo e ogni minore r+1 estratto da A (se ve ne sono), è nullo.
Teorema di Kroneker.
Sia A app. Mm,n.
Allora rk(A) = k se e solo se esiste un minore di ordine k non nullo e sono tutti nulli i minori di ordine k+1 ottenuti orlando la sottomatrice kxk a det non nullo con una qualsiasi altra riga o colonna
Come è definita la matrice inversa di A app. Mn,n?
Sia A app. Mn,n.
Mi chiedo se esiste B app. mn,n : AB = BA = I
Se tale matrice esiste, essa viene detta matrice inversa di A e viene indicata con A^-1.
Si mostra che l’inversa, se esiste, è unica.
