Numeri Reali Flashcards
Definisci N, Z, Q
N = insieme dei numeri interi positivi
Z = insieme dei numeri interi relativi
Q = insieme dei numeri razionali con la convenzione che frazioni simili si identificano
Che cosa si intende con “allineamento decimale”?
Il numero intero x corrisponde ad un punto sulla retta R, ma viene espresso utilizzando la rappresentazione decimale x0.x1x2x3x4… –> a tale scrittura viene dato il nome di allineamento decimale corrispondente a x
Quando due insiemi A e B possono essere messi in corrispondenza biunivoca?
A e B possono essere messi in corrispondenza biunivoca se esiste una f : A –> B che sia biunivoca
Quando un insieme A è definito numerabile?
Qual è un insieme numerabile?
Qual è un insieme non numerabile?
A è numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con N
- Q è numerabile
- R - Q non è numerabile
Come sono definite le operazioni elementari su R?
Le operazioni elementari sono definite come di consueto su Q, ma non su R –> non vi è una definizione immediata su R, a causa del fatto che le cifre decimali sono infinite e non periodiche (su R-Q)
Per la somma:
1)costruisco una successione di numeri Z dove Z0=x0+y0, Z1=x0.x1 + y0.y1 ecc –> questi oggetti approssimano sempre meglio quello che io vorrei chiamare somma di due numeri irrazionali
2) utilizzando il concetto di limite, si dimostra che tale procedura individua uno e un solo numero reale, detto somma di x e y, indicato con x+y
3) si procede analogamente per le altre operazioni
Che cos’è un campo?
Un campo è definito come un insieme dotato di due operazioni che soddisfano le proprietà delle operazioni elementari
- le operazioni devono essere interne all’insieme in questione
- R è un campo
Che cos’è un campo ordinato?
Un campo ordinato è definito come un insieme dotato di due operazioni (somma, prodotto) e di una relazione d’ordine, che soddisfino le proprietà delle operazioni fondamentali
- R è un campo ordinato
- C è un campo, ma non è un campo ordinato
Come è definito il massimo (risp. minimo) di un insieme A?
Sia A un insieme contenuto in R.
Dico che x è il massimo (risp. minimo) di A se x>=a per ogni a app. a A e se x app. A
-il massimo è il minimo dell’insieme dei maggioranti, se esso appartiene all’insieme
Come è definito un maggiorante (risp. minorante)?
Sia A un insieme contenuto in R.
Dico che x è il massimo (risp. minimo) di A se x>=a per ogni a app. a A
- i maggioranti possono appartenere o non appartenere all’insieme
Quando un insieme è limitato dall’alto (risp. dal basso)?
Un insieme è limitato dall’alto se esiste un suo maggiorante.
Come sono definiti l’estremo superiore (risp. inferiore) di un insieme A contenuto in R?
Se un insieme A ammette maggioranti e/o , detti A+ l’insieme dei maggioranti e A- l’insieme dei minoranti, si definiscono
- supA := minA+
- infA := maxA-
Se invece l’insieme non ammette maggioranti e/o minoranti si pone
- supA=+ inf
- infA = -inf
Se A ammette massimo e/o minimo –> supA=maxA e infA=minA
