Limiti Flashcards
Cosa si intende per proprietà verificata “definitivamente”?
Una proprietà è verificata definitivamente per x–>x0 da una funzione se esiste un intorno di x0 tale che tale proprietà vale per ogni punto interno al dominio (contenuto ovviemente nell’intorno) eccetto al più x0
Come è definito un intorno di + o - infinito?
Intorno di + infinito: [a,+inf) o (a,+inf)
Intorno di - infinito: (-inf,b] o (-inf,b)
Definizione generale di limite
PREMESSE:
-f:X–>R, X contenuto in R
-x0 punto di accumulazione di X
- l numero reale o +-inf
DEFINIZIONE: f(x)—-(x–>x0)—->l se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x0 tale che f(x) appartiene a V se x appartiene a V, definitivamente
Definizioni particolari di limiti
VEDI APPUNTI
Cosa afferma il Teorema di Permanenza del segno?
IPOTESI: sia f:X contenuto in R –>R t.c. f(x)—-(x–>x0)—->L>0
- sia x0 punto di accumulazione di X
TESI: f(x)>0 definitivamente per x—>x0
inoltre se f(x)>=0 definitivamente per x–>x0 , se il limite esiste esso è >=0
Cosa afferma il Teorema del confronto?
IPOTESI:
-siano f,g,h : X –>R, X contenuto in R
- sia il lim f(x) = lim h(x) = L per x–>x0
- si supponga l’esistenza di un intorno di x0 in cui f(x)<=g(x)<=h(x) per ogni x appartenente all’intorno, definitivamente
TESI: lim g(x) = L per x–>x0
RICORDA: per + e - inf basta meno
Cosa afferma il teorema sull’algebra dei limiti?
IPOTESI: siano f,g funzioni definite da X a R
- sia x0 di accumulazione per X
- esistano e siano numeri finiti i limiti di f(x) e g(x) per x–>x0 (non + o - inf)
TESI:
1) la composizione lineare dei limiti è il limite della composizione lineare delle funzioni
2) il limite del prodotto delle funzioni è il prodotto dei limiti
3)il limite del rapporto delle funzioni è il rapporto dei limiti
Cosa afferma il teorema sui limiti di funzioni composte?
IPOTESI:
-Siano f:A–>R, g:B–>R
-sia Im(g):={y app. R : esiste x app. B con g(x)=y}
-si assuma che Im(g) sia contenuto in A, così che la funzione composta f°g: B–>R definita f(g(x)) per ogni x app. B
-sia x0 punto d accumulazione per B e valga g(x)–x–>x0—>l, l reale o +-inf, con g(x)!=l definitivamente per x–>x0
-si assuma che l sia punto di accumulazione per A e che valga f(y)–y–>l—>M, M reale o +-inf
TESI:
-il limite della funzione composta vale M
Quando una funzione f è asintoticamente equivalente a una funzione g per x–>x0?
Dico che due funzioni definite in un intervallo (a,b) sono asintoticamente equivalenti per x–>x0 se [f(x)/g(x)]–x–>x0–>1
es: sinx e x
Quando una funzione f è detta un “o piccolo” di una funzione g per x–>x0?
Dico che f è o piccolo di g per x–>x0 se [f(x)/g(x)]–x–>x0–>0, ovvero f va a zero più velocemente di g
es: x è un o piccolo di x^2 per x–>+inf
x^2 è un o piccolo di x per x–>0+
Quando una funzione f è un “infinito di ordine inferiore” di una funzione g?
Quando una funzione f è un “infinitesimo di ordine inferiore” di una funzione g?
INFINITO: Quando f è un “o piccolo” di g per x–>x0
INFINITESIMO: Quando f(x),g(x)–x–>x0–>0 e vale che f è un o piccolo di g per x–>x0
Come è definita una successione di numeri reali?
Una successione di numeri reali corrisponde a una funzione definita sugli interi che abbia valori reali.
L’unico punto di accumulazione del dominio di una tale funzione è +infinito
Cosa afferma il teorema sulle successioni monotone?
IPOTESI: sia an una successione monotona crescente o crescente
TESI: allora la successione considerata ammette limite e vale l=sup{an}
OSSERVAZIONE: se il limite è finito, significa che la successione è limitata, cioè esiste un M: |an|<=M per ogni n
ovvero: l è reale <=> an è limitata
Dimostrazione del teorema del numero di Nepero.
Vedi appunti
Come è definita una funzione continua in un punto x0?
Sia f:X cont. in R –> R e sia x0 punto di accumulazione di X, che appartiene a X
Dico che f è continua in x0 se vale una delle seguenti proprietà, tra loro equivalenti:
- f(x)–x–>x0–>f(x0)
- definizione di limite con l=f(x0)
- per ogni intorno V di f(x0) esiste un intorno U di x0 : f(x) app. V se x app. a U intersecato X
- per ogni successione xn : xn app. X def. e : xn–n–>+inf–>f(x0) vale f(xn)–n–+inf–>f(x0)
NB: non è necessario chiedere xn!=x0 definitivamente
Quali sono le proprietà delle funzioni continue? (Teorema)
IPOTESI:
-siano f,g : X–>R
- sia x0 punto di accumulazione per X
- siano f e g continue in x0
TESI: Sono continue in x0:
- af + bf
- f*g
- f/g se g(x0)!=0
- se f è continua in x0 e g è continua in f(x0) allora la funzione composta g(f(x)) è continua in x0 (e viceversa)
Definizioni di discontinuità eliminabile e a salto.
ELIMINABILE:
f(x)–x–>xo+–>l e f(x)–x–>xo(-)–>l ma f(x0)!=0
in tal caso è possibile ridefinire la funzione in modo che sia continua
A SALTO:
Definizioni di discontinuità eliminabile e a salto.
ELIMINABILE:
f(x)–x–>xo+–>l e f(x)–x–>xo(-)–>l ma f(x0)!=0
in tal caso è possibile ridefinire la funzione in modo che sia continua
A SALTO:
f(x)–x–>xo+–>l1
f(x)–x–>xo(-)–>l2
con l1 != l2
Definizione di funzione monotona.
Una funzione che soddisfa f(x1)<=f(x2) per ogni x1<=x2 con x1,x2 appartenenti al dominio viene detta MONOTONA CRESCENTE (se f(x1)>=f(x2) viene detta MONOTONA DECRESCENTE)
se le disuguaglianze sono strette, la funzione è detta MONOTONA STRETTAMENTE CRESCENTE/DECRESCENTE
OSSERVAZIONE: con questa definizione, anche le funzioni costanti sono crescenti o decrescenti
Teorema delle discontinuità delle funzioni monotone.
Sia f:[a,b]–> R monotona
Allora essa può avere al più un infinità numerabile di punti di discontinuità; gli unici punti in cui è possibile che siano presenti discontinuità di tipo eliminabile sono a e b.
In particolare, per tale f esistono finiti il lim(x–>x0+) di F(x) e il lim(x–>x0-) di F(x) per ogni x0 app (a,b)
Per a, esiste finito lim(x–>x0+) di F(x)
Per b, esiste finito lim(x–>x0-) di F(x)
Teorema degli zeri, enunciato.
Sia f: [a,b] –>R continua in [a,b]
Sia f(a)f(b)<0.
Allora esiste c appartenente ad (a,b) : f(c) = 0
Dimostrazione teorema degli zeri.
Sia c=a+b/2 il punto medio di [a,b]
1) Può essere che f(c)=0, in tal caso non vi è altro da dimostrare
2) Altrimenti in esattamente uno tra gli intervalli [a,c] e [c,b] la funzione cambia segno agli estremi:
-Indichiamo con [a1, b1] tale intervallo
-Iteriamo il procedimento –> è possibile che ad un certo passo si ottenga uno zero di f, in tal caso non c’è altro da dimostrare
-Otteniamo una successione di intervalli [an, bn]:
–{an} è crescente, {bn} è decrescente e vale a<=an<bn<=b per ogni n naturale
– bn - an = b-a/2^2
–f(an)f(bn)<0
-Vale che esiste l1,l2 app [a,b] : an –n–>+inf–>l1 e bn–n–>+inf–>l2 in quanto tali successioni sono monotone e limitate
e dunque sup(an), inf(bn) app [a,b]
3) Mostro ora che l1=l2
-l1<=l2 e quindi 0<=l2-l1 = lim(n–>+inf) bn - an = lim(n–>+inf) b-a/2^n = 0
e quindi l2 - l1 = 0 e quindi l2 = l1
-chiamiamo c tale valore comune
4) Mostro che f(c)=0
-Per ipotesi, f è continua in [a,b], quindi anche in c: dunque vale f(c)=lim(n–>+inf) f(an) = lim(n–>+inf) f(bn)
- ma f(an)>=0 e f(bn)<=0 per ogni n per costruzione, ovvero f(c)=0
Teorema dei valori intermedi enunciato.
Sia f: I –> R con I intervallo e sia f continua in I
Siano lambda := inf{f(x), x app I} e LAMBDA := sup{f(x), x app I} e si assuma lamdba!=LAMBDA che sarebbe un caso banale
Sia t app (lambda, LAMBDA)
Allora esiste c app I : f(c) = t
Teorema continuità della funzione inversa.
Sia f: I –> A con I intervallo.
Si assuma f continua in I e invertibile
Allora f^-1 : A–>I è continua in A
